Escribiendo la ecuación de una recta

 

Objetivos de aprendizaje

·         Encontrar la pendiente y la intersección en y y escribir una ecuación de la recta.

·         Dada la pendiente y un punto en la recta, escribir la ecuación de la recta.

·         Dados dos puntos, escribir la ecuación de una recta.

 

 

Una ecuación lineal puede expresarse en la forma . En esta ecuación, x y y son coordenadas de un punto, m es la pendiente y b es la coordenada y de la intersección en y. Ya que esta ecuación describe una recta en términos de su pendiente y su intersección en y, se dice que esta ecuación está en su forma pendiente-intersección. Cuando trabajamos con estas relaciones lineales, la forma pendiente-intersección nos ayuda a traducir entre la gráfica de una recta y la ecuación de una recta.

 

 

La gráfica siguiente representa cualquier recta que puede escribirse en la forma pendiente-intersección. Tiene dos barras deslizantes que pueden manipularse. La barra etiquetada como m te permite ajustar la pendiente o inclinación, de la recta. La barra etiquetada como b cambia la intersección en y. Intenta deslizando cada barra de un lado a otro y ve cómo afecta a la recta.

 

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Seguramente notaste que cambiando el valor de m puede mover la recta de horizontal a casi vertical y entre cada pendiente. Conforme m, la pendiente, aumenta, la recta se hace más empinada. Cuando el valor absoluto de m se acerca a cero, la pendiente se aplana.

 

Cambiar los valores de b mueven la recta en el plano de coordenadas. Una intersección en y positiva significa que la recta cruza el eje y por encima del origen, mientras que una intersección en y negativa significa que la recta cruza por debajo del origen.

 

Con sólo cambiar los valores de m y b, puedes definir cualquier recta. Así de poderosa y versátil es la fórmula de la pendiente-intersección.

 

Ahora que entiendes la forma pendiente-intersección, puedes ver la gráfica de una recta y escribir su ecuación con sólo identificar la pendiente y la intersección en y a partir de la gráfica. Intentemos con esta recta.

 

 

Para esta recta, la pendiente es y la intersección en y es 4. Si pones esos valores en la forma pendiente-intersección, y = mx + b, obtienes la ecuación .

 

 

 

 

Si conoces la pendiente de una recta y un punto en la recta, puedes dibujar una gráfica. Entonces usando una ecuación en la forma pendiente-intersección, puedes fácilmente identificar la pendiente y un punto. Considera la ecuación . Puedes obtener de la ecuación que la intersección en y está en (0, −1). Empieza graficando ese punto, (0, −1), en la gráfica.

 

También puedes saber de la ecuación que la pendiente de esta recta es −3. Entonces empieza en (0, −1) y cuenta 3 desde el −1 (1 unidad en la dirección negativa, izquierda) y grafica el segundo punto (También pudiste haber ido desde 3 hasta 1.) Luego dibuja una recta pasando por ambos puntos y ahí está, la gráfica de .

 

 

 

 

¿Cuál es la ecuación de una recta que tiene pendiente −2 y pasa por el punto (0, 8)?   A) y = −2x + 8   B) y = 8x – 2   C) y = −2x + 0   D) 0 = 8x – 2   Mostrar/Ocultar Respuesta A) y = −2x + 8 Correcto. El punto (0, 8) también es la intersección en y de la recta, por lo que b = 8. La pendiente, m, es −2. Sustituyendo estos valores en la ecuación y = mx + b, obtienes y = −2x + 8.   B) y = 8x – 2 Incorrecto. Recuerda que en la forma pendiente-intersección de una ecuación y = mx + b, m = pendiente y b = el valor y de la intersección en y. La elección correcta es y = −2x + 8.   C) y = −2x + 0 Incorrecto. Recuerda que en la forma pendiente-intersección de una ecuación y = mx + b, b = el valor de y (no el valor de x) de la intersección en y. La elección correcta es y = −2x + 8.   D) 0 = 8x – 2 Incorrecto. Recuerda que en la forma pendiente-intersección de una ecuación y = mx + b, m = pendiente y b = el valor y de la intersección en y. La elección correcta es y = −2x + 8.

 

 

 

Es posible usar la forma pendiente-intersección para ayudarnos a escribir la ecuación de una recta cuando conocemos la pendiente (m) y la intersección en y (b), pero ¿qué si conoces la pendiente y cualquier otro punto en la recta, no necesariamente la intersección en y? ¿También puedes escribir la ecuación? La respuesta es sí, pero necesitarás poner un poco más de trabajo que antes.

 

Recuerda que un punto es un par coordenado (x, y) y que todos los puntos en la recta satisfacen la ecuación lineal Entonces, si tienes un punto en la recta, debe ser una solución de la ecuación. Aunque aún no conozcas la ecuación, sabes que puedes expresar la recta en la forma pendiente-intersección y = mx + b.

 

Conoces la pendiente (m), pero no conoces el valor de la intersección en y (b). Como el punto (x, y) es una solución de la ecuación, ¡puedes sustituir sus coordenadas para x y y en y = mx + b t resolverla para encontrar b!

 

Esto parece un poco confuso con todas las variables, pero un ejemplo con una pendiente y un punto te ayudará a entender mejor.

 

 

 

Para confirmar nuestra álgebra, puedes comprobar graficando la ecuación y = 3x + 1. La ecuación concuerda ya que la gráfica pasa por el punto (1, 4).

 

 

 

 

 

Escribe la forma pendiente-intersección de la recta con pendiente  y que contiene el punto (9, 4).   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Resolviste correctamente para la intersección en y pero has usado la pendiente para la intersección en y y la intersección en y para la pendiente cuando sustituiste en y = mx + b. La respuesta correcta es .   B) Correcto. La pendiente de esta recta es  y la intersección en y es −2.   C) Incorrecto. Comprueba tu álgebra cuando resuelves b. Para encontrar b, sustituye los valores conocidos de x, y y m en la forma pendiente-intersección. Esto te da , que se simplifica como , entonces b = −2. La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. Cuando resolviste b, usaste el 9 como la coordenada y y el 4 como la coordenada x. Para encontrar b, sustituye los valores conocidos de x, y y m en la forma pendiente-intersección. Esto te da , que se simplifica como , entonces b = −2. La respuesta correcta es .

 

 

Pregunta avanzada Escribe la forma pendiente-intersección de la recta con una pendiente de -0.6 y que contiene el punto (3.8, 7.25).   A) y = -0.6x + 3.8 B) y = -0.6x + 4.97 C) y = 3.8x + 7.25 D) y = -0.6x + 9.53   Mostrar/Ocultar Respuesta A) y = -0.6x + 3.8 Incorrecto. El valor de m es correcto en esta ecuación, pero el valor de b no lo es. Intenta sustituyendo (3.8, 7.25) en la ecuación y = -0.6x + b y despeja b. La respuesta correcta es y = -0.6x + 9.53.   B) y = -0.6x + 4.97 Incorrecto. Parece que restaste 7.25 – 2.28 para llegar al valor de 4.97 para b. Comprueba de nuevo los signos + y – en el problema. La respuesta correcta es y = -0.6x + 9.53.   C) y = 3.8x + 7.25 Incorrecto. El valor de m es incorrecto; recuerda que m representa la pendiente. La respuesta correcta es y = -0.6x + 9.53.   D) y = -0.6x + 9.53 Correcto. Sustituyendo (3.8, 7.25) en la ecuación y = -0.6x + b, encontraste b = 9.53. Esto significa que la ecuación de la recta es y = -0.6x + 9.53.

 

 

 

Supongamos que no conoces ni la pendiente ni la intersección en y, pero conoces la localización de dos puntos en la recta. Es más difícil, pero puedes encontrar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Usarás de nuevo la forma pendiente-intersección para ayudarte.

 

La pendiente de una ecuación lineal es siempre la misma, no importa que par de puntos usas para encontrarla. Como tienes dos puntos, puedes usarlos para encontrar la pendiente (m). ¡Ahora tienes la pendiente y un punto en la recta! Ahora puedes sustituir los valores de m, x y y en la ecuación y = mx + b y encontrar b.

 

 

Observa que no importa qué punto usas cuando sustituyes y resuelves b — obtienes el mismo resultado para b de cualquier manera. En el ejemplo anterior, sustituiste las coordenadas del punto (2, 1) en la ecuación y = 2x + b. Empecemos con la misma ecuación y = 2x + b, pero sustituyendo (−1, −5):

 

y = 2x + b

−5 = 2(−1) + b

−5 = −2 + b

−3 = b

 

La ecuación final es la misma: y = 2x – 3.

 

 

 

Escribe la forma pendiente-intersección de la recta que pasa por (5, 2) y (−1, −10).   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. La pendiente (m = 2) es correcta, pero revisa tu álgebra cuando resuelves b. Sustituye m = 2, x = 5 y y = 2 en la ecuación y = mx + b para encontrar b: 2 = 2(5) + b, entonces 2 = 10 + b, entonces b = −8. La respuesta correcta es.   B) Incorrecto. Parece que escribiste la pendiente como  en lugar de . La respuesta correcta es.   C) Correcto. Encuentra la pendiente . Luego usa la pendiente y uno de los puntos para encontrar el valor de b.   D) Incorrecto. Asegúrate de que sustituyes la coordenada x del punto por la variable x y la coordenada y de la variable y = mx + b cuando resuelves b.  La respuesta correcta es.

 

 

Pregunta avanzada ¿Cuál de las siguientes rectas pasan por los puntos  y ?   A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Para encontrar la pendiente de una recta, usa la fórmula . Luego sustituye la pendiente por m en la ecuación  y resuelve b. La respuesta es .   B) Correcto. La pendiente de la recta que tiene estos puntos es 8 y sustituyendo cualquiera de los puntos en la ecuación  resulta en .   C) Incorrecto. Intenta calcular de nuevo la pendiente usando la fórmula . Cuando tengas la pendiente, úsala (junto con uno de los puntos dados) para encontrar el valor de b. La respuesta correcta es   D) Incorrecto. Has encontrado correctamente la pendiente, pero el valor de b es incorrecto. Intenta sustituyendo ya sea  o  en la ecuación  para resolver b. La respuesta correcta es .

 

 

 

La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal se escribe como y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el valor de y en la intersección en y, que puede escribirse como (0, b). Cuando conoces la pendiente y la intersección en y de una recta puedes usar la forma pendiente-intersección para escribir directamente la ecuación de esa recta. La forma pendiente-intersección también te puede ayudar a escribir la ecuación de una recta cuando conoces la pendiente y un punto en la recta o cuando conoces dos puntos de la recta.