Factorizando: Casos Especiales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Factorizar trinomios que son cuadrados perfectos.

·         Factorizar binomios en la forma de diferencia de cuadrados.

 

 

Una de las claves para factorizar es encontrar patrones entre el trinomio y los factores del trinomio. Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes te hará más fácil factorizarlos. El conocimiento de los patrones característicos de los productos especiales — los trinomios que se forman a partir de elevar al cuadrado binomios — provee un atajo para encontrar sus factores.

 

 

Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de la multiplicación de un número entero con sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son cuadrados perfectos — provienen de elevar al cuadrado cada número del 1 al 10. Observa que estos cuadrados perfectos también provienen de elevar al cuadrado los números negativos del −1 al −10, como (−1)( −1) = 1, (−2)( −2) = 4, (−3)( −3) = 9, etc.

 

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9. El trinomio x² + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya conocemos.

 

 

 

 

Observa que en el trinomio x² + 6x + 9, los términos a y c son cuadrados perfectos, como x² = x • x, y 9 = 3 • 3. También el término central es dos veces el producto de los términos x y 3, 2(3)x = 6x.

 

 

Ahora veamos un ejemplo un poco distinto. El ejemplo anterior muestra cómo (x + 3)² = x² + 6x + 9. ¿A qué es igual (x – 3)²? Aplicando lo que sabes sobre multiplicación de binomios, encuentras lo siguiente.

 

 

Observa: ¡(x + 3)² = x² + 6x + 9, y (x – 3)² = x² – 6x + 9! Aquí 9 puede escribirse como (−3)², entonces el término centra es 2(−3)x = −6x. Entonces cuando el signo del término central es negativo, el trinomio puede factorizarse como (a – b)².

 

Intentemos con otro ejemplo: 9x² – 24x + 16. Observa que 9x² es un cuadrado perfecto, porque(3x)² = 9x²  y que 16 es un cuadrado perfecto, porque 4² = 16. Sin embargo, el término central, –24x es negativo, entonces intenta 16 = (−4)². En este caso, el término central es 2(3x)( −4) = −24x. Por lo que el trinomio 9x² – 24x + 16 es un cuadrado perfecto y se factoriza como (3x – 4)².

 

También puedes continuar factorizando usando agrupamiento, como se muestra abajo.

 

 

Observa que si sacas el factor 4 en lugar del −4, el factor 3x – 4 habría sido −3x + 4, que es el opuesto de 3x – 4. Al sacar el factor −4, los factores de la agrupación resultan los mismos, ambos 3x – 4. Necesitamos que esto suceda si vamos a sacar un factor común en el siguiente paso.

 

El patrón para factorizar trinomios cuadrados perfectos nos lleva a la siguiente regla general.

 

 

Trinomios Cuadrados Perfectos   Un trinomio de la forma a2 + 2ab + b2 puede factorizarse como (a + b)2. Un trinomio de la formaa2 – 2ab + b2 puede factorizarse como (a – b)2.   Ejemplos: La forma factorizada de 4x2 + 20x + 25 es (2x + 5)2. La forma factorizada de x2 – 10x + 25 es (x – 5)2.

 

Ahora vamos a factorizar un trinomio usando la regla anterior. Una vez que has determinado que el trinomio es un cuadrado perfecto, el resto es fácil. Observa que en un trinomio cuadrado perfecto el término c siempre es positivo.

 

 

 

Puedes, y deberías, multiplicar para comprobar la respuesta. (x – 7)² = (x – 7)(x – 7) = x² – 7x – 7x + 49 = x² – 14x + 49.

 

 

Factorizar x2 – 12x + 36.   A) (x – 4)(x – 9)   B) (x + 6)2   C) (x – 6)2   D) (x + 6)(x – 6)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) (x – 4)(x – 9) Incorrecto. Si bien −4 • (−9) da el término constante 36, el término central sería −13x en lugar de −12x. La respuesta correcta es (x – 6)2.   B) (x + 6)2 Incorrecto. Si bien 62 es 36, el término central en el polinomio original es negativo, por lo que debes restar en el binomio que elevaste al cuadrado. La respuesta correcta es (x – 6)2.   C) (x – 6)2 Correcto. Este es un trinomio cuadrado perfecto a2 – 2ab + b2 donde a = x y b = 6. La forma factorizada es (a – b)2, o (x – 6)2.   D) (x + 6)(x – 6) Incorrecto. Este es un trinomio cuadrado a2 – 2ab + b2 donde a = x y b = 6, entonces la forma factorizada es (a – b)2, o (x – 6)2. Observa que si expandes (x + 6)(x – 6), obtienes x2 + 6x – 6x – 36. El 36 se resta en lugar de sumarse, y el 6x – 6x da un término central de 0 (esto es, no hay término central).

 

 

 

La resta de dos cuadrados, a² – b², también es un producto especial que se factoriza como el producto de dos binomios.

 

Vamos a factorizar 9x² – 4 escribiéndolo como un trinomio, 9x² + 0x – 4. Ahora puedes factorizar este trinomio como lo hemos estado haciendo.

 

9x² + 0x – 4 cumple con el estándar de un trinomio, ax² + bx + c. Ahora factoricemos este trinomio de la misma manera que cualquier otro monomio. Encuentra los factores de ac (9 • −4 = −36) cuya suma sea b, en este caso, 0.

 

 

Hay más factores, pero has encontrado el par que tiene como suma 0, e y −6. Puedes usar este factor 9x² – 4.

 

 

 

 

Como la multiplicación es conmutativa, la respuesta también se puede escribir como (3x + 2)(3x – 2).

Puedes comprobar la respuesta multiplicando (3x – 2)(3x + 2) = 9x² + 6x – 6x – 4 = 9x² – 4.

 

 

Factorizando una Resta de Cuadrados   Un binomio en la forma a2 – b2 puede factorizarse como (a + b)(a – b).   Ejemplo La forma factorizada de x2 – 100 es (x + 10)(x – 10). La forma factorizada de 49y2 – 25 es (7y + 5)(7y – 5).

 

 

Ahora factoricemos la resta de dos cuadrados usando la regla anterior. Una vez que has determinado que tienes la resta de dos cuadrados, sólo sigue el patrón.

 

 

 

 

Comprueba la respuesta multiplicando: (2x + 6)(2x – 6) = 4x² – 12x + 12x – 36 = 4x² – 36.

 

 

Factorizar 4b2 – 25.   A) (2b – 25)(2b + 1)   B) (2b + 5)2   C) (2b – 5)2   D) (2b + 5)(2b – 5)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) (2b – 25)(2b + 1) Incorrecto. (2b – 25)(2b + 1) = 4b2 + 2b – 50b – 25 = 4b2 – 48b – 25. El término central debe ser 0b, no −48b. La respuesta correcta es (2b + 5)(2b – 5).   B) (2b + 5)2 Incorrecto. (2b + 5)2 = (2b + 5)(2b + 5) = 4b2 + 10b + 10b + 25 = 4b2 + 20b + 25. El término central debe ser 0b, no 20b.La respuesta correcta es (2b + 5)(2b – 5).   C) (2b – 5)2 Incorrecto. (2b – 5)2 = (2b – 5)(2b – 5) = 4b2 – 10b –10b + 25 =  4b2 – 20b + 25. El término central debe ser 0b, no −20b. La respuesta correcta es (2b + 5)(2b – 5).   D) (2b + 5)(2b – 5) Correcto. 4b2 – 25 es un caso especial. Es la resta de dos cuadrados. (2b + 5)(2b – 5) = 4b2 – 10b + 10b – 25 = (2b + 5)(2b – 5), que es correcto.

 

 

Observa que no puedes factorizar la suma de dos cuadrados, a² + b². Podrías querer factorizar esto como (a + b)², pero revísalo multiplicando:  (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², NO a² + b².

 

 

 

Aprender a identificar ciertos patrones en los polinomios ayuda a factorizar rápidamente algunos “casos especiales” de polinomios. Los casos especiales son:

 

• trinomios que son cuadrados perfectos, a² + 2ab + b² y a² – 2ab + b², que se factoriza como (a+ b)² y (a – b)², respectivamente;
• binomios que son la resta de dos cuadrados, a² – b², que se factorizan como (a + b)(a – b).

 

Para algunos polinomios, tal vez necesites combinar técnicas (buscando factores comunes, agrupando, y usando productos especiales) para factorizar completamente el polinomio.