Factorizando Trinomios
Objetivos de Aprendizaje
· Factorizar trinomios cuyo coeficiente del primer término es 1.
· Factorizar trinomios con un factor común.
· Factorizar trinomios cuyo coeficiente del primer término es distinto de 1.
Introducción
Un polinomio con tres términos se llama trinomio. Normalmente (¡pero no siempre!) los trinomios tienen la forma x2 + bx + c. A simple vista, parecen difíciles de factorizar, pero puedes tomar ventaja de algunos patrones matemáticos interesantes para factorizar incluso los trinomios que más complicados se ven.
Entonces, ¿cómo pasas de 6x2 + 2x – 20 a (2x + 4)(3x −5)? Veamos.
Los trinomios de la forma x2 + bx + c normalmente pueden factorizarse como el producto de dos binomios. Recuerda que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Empecemos observando qué pasa cuando multiplicamos dos binomios, como (x + 2) y (x + 5).
| Ejemplo | ||
| Problema |
Multiplicar (x + 2)(x + 5). | |
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| (x + 2)(x + 5) | Usa el método FOIL para multiplicar los binomios. |
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| x2 + 5x + 2x +10 | Luego combina los términos semejantes 2x y 5x. |
| Respuesta | x2 + 7x +10 |
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Factorizar es el reverso de multiplicar. Entonces vayamos en reversa y factoricemos el trinomio x2 + 7x + 10. Los términos individuales x2, 7x, y 10 no comparten factores comunes. Entonces vamos a reescribir x2 + 7x + 10 como x2 + 5x + 2x + 10.
Y, puedes agrupar los pares de factores: (x2 + 5x) + (2x + 10)
Factorizar cada par: x(x + 5) + 2(x + 5)
Luego sacar el factor común x + 5: (x + 5)(x + 2)
A continuación se muestra el mismo problema en la forma de un ejemplo:
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar x2 + 7x +10. | |
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| x2 + 5x + 2x +10 | Reescribe el término de en medio 7x como 5x + 2x. |
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| x(x + 5) + 2(x + 5) | Agrupa los pares y saca el factor común x del primer par y el factor 2 del segundo par. |
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| (x + 5)(x + 2) | Saca el factor común (x + 5). |
| Respuesta | (x + 5)(x + 2) |
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¿Cómo sabemos la manera de reescribir el término de en medio? Desafortunadamente, no puedes reescribirlo de una única manera. Si reescribes 7x como 6x + x, este método no funcionará. Afortunadamente, existe una regla para eso.
| Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio . Los factores resultantes serán (x + r) y (x + s).
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Por ejemplo, para factorizar x2 + 7x +10, buscas dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término central) y cuyo producto sea 10 (el último término).
Piensa en pares de factores de 10: 1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de ellos suman 7? Sí, 2 y 5. Entonces puedes reescribir 7x como 2x + 5x, y continuar factorizando como el ejemplo anterior. Observa que también puedes reescribir 7x como 5x + 2x. Ambas forman funcionan.
Factoricemos el trinomio x2 + 5x + 6. En este polinomio, la parte b del término central es 5 y el término c es 6. Una tabla nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enlista todos los factores posibles del término c, 6; a la derecha encontrarás las sumas.
| Factores cuyo producto es 6 | Suma de los factores |
| 1 • 6 = 6 | 1 + 6 = 7 |
| 2 • 3 = 6 | 2 + 3 = 5 |
Sólo hay dos combinaciones posibles de factores, 1 y 6, y 2 y 3. Puedes ver que 2 + 3 = 5. Entonces 2x + 3x = 5x, que nos da el término central correcto.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar x2 + 5x + 6. |
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| x2 + 2x + 3x + 6 | Usa los valores de la tabla anterior. Reemplaza el 5x con 2x + 3x. |
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| (x2 + 2x) + (3x + 6) | Agrupa los pares de términos. |
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| x(x + 2) + (3x + 6) | Saca el factor x del primer par de términos. |
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| x(x + 2) + 3(x + 2) | Saca el factor 3 del segundo par de términos. |
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| (x + 2)(x + 3) | Saca el factor (x + 2). |
| Respuesta | (x + 2)(x + 3) |
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Observa que si hubieras escrito x2 + 5x + 6 como x2 + 3x + 2x + 6 y agrupado los pares como (x2 + 3x) + (2x + 6); luego factorizado, x(x + 3) + 2(x + 3), y sacado el factor x + 3, la respuesta habría sido (x + 3)(x + 2). Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Entonces esta respuesta también es correcta; son resultados equivalentes.
Finalmente, observemos el trinomio x2 + x – 12. En este trinomio, el término c es −12. Entonces busquemos todas las combinaciones de factores cuyo producto sea −12. Luego vemos cuál de estas combinaciones te da el término centra correcto, donde b es 1.
| Factores cuyo producto es −12 | Suma de los factores |
| 1 • −12 = −12 | 1 + −12 = −11 |
| 2 • −6 = −12 | 2 + −6 = −4 |
| 3 • −4 = −12 | 3 + −4 = −1 |
| 4 • −3 = −12 | 4 + −3 = 1 |
| 6 • −2 = −12 | 6 + −2 = 4 |
| 12 • −1 = −12 | 12 + −1 = 11 |
Sólo hay una combinación donde el producto es −12 y la suma es 1, y es cuando r = 4, y s = −3. Usémoslos para factorizar nuestro trinomio original.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar x2 + x – 12 |
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| x2 + 4x + −3x – 12 | Reescribe el trinomio usando los valores de la tabla anterior. Usa los valores r = 4 y s = −3.
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| (x2 + 4x) + (−3x – 12) | Agrupa los pares de términos. |
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x(x + 4) + (−3x – 12) |
Saca el factor x del primer par de términos. |
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x(x + 4) – 3(x + 4) |
Saca el factor −3 del segundo par de términos. |
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(x + 4)(x – 3) |
Saca el factor (x + 4). |
| Respuesta | (x + 4)(x – 3) |
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En el ejemplo anterior, también pudiste reescribir x2 + x – 12 como x2 – 3x + 4x – 12. Luego factorizar x(x – 3) + 4(x – 3), y sacar el factor (x – 3) para obtener (x – 3)(x + 4). Como la multiplicación es conmutativa, esta respuesta es equivalente.
Consejos para Factorizar
Factorizar trinomios es cuestión de práctica y paciencia. Algunas veces, ¡el número apropiado de combinaciones será obvio! Otras veces, a pesar de muchas posibilidades, la combinación correcta es difícil de encontrar. Y, habrá veces que el trinomio no puede ser factorizado.
Si bien no hay un método universal para encontrar la combinación correcta al primer intento, existen algunos consejos que te pueden ayudar.
| Consejos para Encontrar la Combinación Adecuada de Valores
Cuando factorizamos un trinomio de la forma x2 + bx + c, considera los siguientes consejos.
Observa primero el término c. o Si el término c es un número positivo, entonces los factores de c serán ambos positivos o negativos. En otras palabras, r y s tendrán el mismo signo. o Si el término c es un número negativo, entonces un factor de c será positivo, y el otro factor de c será negativo. Alguno de r o s, será negativo, pero no ambos.
Después observa el término b. o Si el término c es positivo y el término b es positivo, entonces r y s son positivos. o Si el término c es positivo y el término b es negativo, entonces r y s son negativos. o Si el término c es negativo y el término b es positivo, entonces el factor que es positivo tendrá un valor absoluto mayor. Esto es, |r| > |s|, entonces r es positivo y s es negativo. o Si el término c es negativo y el término b es negativo, entonces el factor que es negativo tendrá un valor absoluto mayor. Esto es, |r| > |s|, entonces r es negativo y s es positivo.
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Una vez que has factorizado algunos trinomios de la forma x2 + bx + c, te darás cuenta que los números que identificas como r y s terminan siendo incluidos en la forma factorizada del polinomio. Observa la siguiente tabla, que resume los problemas que hemos visto hasta ahora.
| Trinomio | x2 + 7x + 10 | x2 + 5x + 6 | x2 + x - 12 |
| valores de r y s | r = + 5, s = + 2 | r = + 2, s = + 3 | r = + 4, s = –3 |
| Forma factorizada | (x + 5)(x + 2) | (x + 2)(x + 3) | (x + 4)(x – 3) |
Observa que en cada uno de estos ejemplo, los valores de r y s aparecen en la forma factorizada del trinomio.
¿Y esto qué significa? Significa que en los trinomios de la forma x2 + bx + c (donde el coeficiente enfrente de x2 es 1), si puedes identificar los valores correctos de r y s, puedes evitar los pasos de agrupación e ir directamente a la forma factorizada. Puede que quieras continuar con el método de agrupación hasta que te sientas más seguro al factorizar, ¡pero es bueno conocer este tipo de trucos!
| Jess está tratando de usar el método de agrupación para factorizar el trinomio v2 – 10v + 21. ¿Cómo debe reescribir el término central b, −10v?
A) +7v + 3v
B) −7v – 3v
C) −7v + 3v
D) +7v – 3v
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No todos los trinomios tiene la forma x2 + 5x + 6, donde el coeficiente enfrente del término x2 es 1. En estos casos, el primer paso debe ser buscar factores comunes para los tres términos.
| Trinomio | Saca el factor común | Factorizado |
| 2x2 + 10x + 12 | 2(x2 + 5x + 6) | 2(x + 2)(x + 3) |
| −5a2 − 15a − 10 | −5(a2 + 3a + 2) | −5(a + 2)(a + 1) |
| c3 – 8c2 + 15c | c(c2 – 8c + 15) | c(c – 5)(c – 3) |
| y4 – 9y3 – 10y2 | y2(y2 – 9y – 10) | y2(y – 10)(y + 1) |
Observa que una vez que has identificado y sacado el factor común, puedes factorizar el resto del trinomio como lo has hecho antes. Este proceso se muestra a continuación.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar 3x3 – 3x2 – 90x. | |
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| 3(x3 – x2 – 30x) | Como 3 es factor común de los tres términos, saca el factor 3. |
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| 3x(x2 – x – 30) | x también es factor común, saca el factor x. |
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3x(x2 – 6x + 5x – 30) | Ahora puedes factorizar el trinomio x2 – x – 30. Para encontrar r y s, identifica los números cuyo producto es −30 y cuya suma es −1.
El par de factores es −6 y 5. Entonces reemplaza –x con −6x + 5x. |
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| 3x[(x2 – 6x) + (5x – 30)] | Agrupa para poner los términos como pares. |
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| 3x[(x(x – 6) + 5(x – 6)] | Saca el factor x del primer grupo y el factor 5 del segundo grupo. |
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3x(x – 6)(x + 5) |
Luego saca el factor x – 6. |
| Respuesta | 3x(x – 6)(x + 5) |
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La forma general de trinomios que tienen un coeficiente a es ax2 + bx + c. Algunas veces el factor de a puede ser obtenido de la manera que ya vimos; esto sucede cuando podemos sacar el factor a de los tres términos. El trinomio resultante debe seguir siendo factorizado para hacerlo más simple, con el término x2 en lugar del término ax2.
Sin embargo, si los coeficientes de los tres términos del trinomio no tienen un factor común, entonces necesitarás factorizar el trinomio con un coeficiente diferente de 1.
| Factorizando Trinomios de la forma ax2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, encuentra los enteros, r y s, cuya suma sea b y cuyo producto sea ac. Reescribe el trinomio como ax2 + rx + sx + c y luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
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Esto es casi lo mismo que factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, ya que en esta forma a = 1.Ahora estás buscando dos factores cuyo producto sea a • c, y cuya suma sea b.
Veamos cómo funciona esta estrategia factorizando 6z2 + 11z + 4.
En este trinomio, a = 6, b = 11, y c = 4. De acuerdo con la estrategia, necesitas encontrar dos factores, r y s, cuya suma sea b (11) y cuyo producto sea ac ó (6 • 4 = 24). Puedes hacer una tabla para organizar las combinaciones posibles de factores. (Observa que esta tabla sólo tiene número positivos. Como ac es positivo y b es positivo, puedes estar seguro de que los factores que buscas también son números positivos.)
| Factores cuyo producto es 24 | Suma de los factores
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| 1 • 24 = 24 | 1 + 24 = 25 |
| 2 • 12 = 24 | 2 + 12 = 14 |
| 3 • 8 = 24 | 3 + 8 = 11 |
| 4 • 6 = 24 | 4 + 6 = 10 |
Sólo hay una combinación donde el producto es 24 y la suma es 11, y es cuando r = 3, y s = 8. Usemos estos valores para factorizar el trinomio original.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar 6z2 + 11z + 4. |
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| 6z2 + 3z + 8z + 4 | Reescribe el término central, 11z, como 3z + 8z (de la tabla anterior.) |
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(6z2 + 3z) + (8z + 4) |
Agrupa en pares. |
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3z(2z + 1) + 4(2z + 1) | Saca el factor 3z del primer grupo y el factor 4 del segundo grupo. |
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(2z + 1)(3z + 4) |
Saca el factor (2z + 1).
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| Respuesta | (2z + 1)(3z + 4) |
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Antes de seguir adelante, es importante mencionar que no todos los trinomios pueden factorizarse usando pares enteros. Por ejemplo, el trinomio 2z2 + 35z + 7. ¿Se te ocurren dos enteros cuya suma sea b (35) y cuyo producto sea ac (2 · 7 = 14)? ¡No hay ninguno! Este tipo de trinomio, que no puede ser factorizado usando enteros, se llama trinomio primo.
| Factorizar 3x2 + x – 2.
A) (3x + 2)(x – 1)
B) (3x – 2)(x + 1)
C) (3x + 1)(x – 2)
D) (3x – 1)(x + 2)
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Términos Negativos
En algunas situaciones, el término a es negativo, como en −4h2 + 11h + 3. Normalmente tiene sentido sacar el factor −1 como un primer paso para la factorización, al hacer esto, el signo de ax2 cambia de negativo a positivo, haciendo más fácil factorizar el trinomio resultante.
| Ejemplo | ||||||||||
| Problema |
Factorizar −4h2 + 11h + 3 |
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| −1(4h2 – 11h – 3) | Saca el factor −1 del trinomio. Observa que los signos de los tres términos deben ser cambiados. | ||||||||
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−1(4h2 – 12h + 1h – 3) | Para factorizar el trinomio, necesitas encontrar la forma de reescribir −11h. El producto de rs = 4 • −3 = −12, y la suma de rs = −11.
Reescribe el término central −11h como −12h + 1h. | ||||||||
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| −1[(4h2 – 12h) + (1h – 3)] | Agrupa los términos. | ||||||||
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| −1[4h(h – 3) + 1(h – 3)] | Saca el factor 4h del primer par. El segundo grupo no puede seguir siendo factorizado, pero lo puedes escribir como +1(h – 3) ya que +1(h – 3) = (h – 3). Esto ayuda en el siguiente paso con la factorización. | ||||||||
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| −1[(h – 3)(4h + 1)] | Saca el factor común (h – 3). Observa que te queda (h – 3)(4h + 1); e +1 viene del término +1(h – 3) del paso anterior. | ||||||||
| Respuesta | −1(h – 3)(4h + 1) |
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Observa que la respuesta anterior también puede escribirse como (−h + 3)(4h + 1) o (h – 3)( −4h – 1) si multiplicas −1 por uno de los otros factores.
Sumario
Los trinomios de la forma x2 + bx + c pueden factorizarse encontrando dos enteros, r y s, cuya suma sea b y cuya resta sea c. Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
Cuando un trinomio tiene la forma ax2 + bx + c, donde a es un coeficiente distinto de 1, primero busca factores comunes para los tres términos. Saca el factor común, luego factoriza resto del trinomio simplificado. Si el resto del trinomio todavía tiene la forma ax2 + bx + c, encuentra dos enteros, r y s, cuya suma sea b y cuyo producto sea ac. Luego reescribe el trinomio como ax2 + rx + sx + c luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
Cuando ax2 es negativo, puedes sacar el factor −1 del trinomio antes de continuar.