Operaciones con Polinomios
Objetivos de Aprendizaje
· Sumar polinomios con más de una variable.
· Restar polinomios con más de una variable.
· Multiplicar polinomios con más de una variable.
· Dividir polinomios con más de una variable.
Introducción
Así como puedes realizar las cuatro operaciones en polinomios con una variable, puedes sumar, restar, multiplicar, y dividir polinomios con más de una variable. El proceso es exactamente el mismo, pero tienes más variables que tomar en cuenta. Cuando estás sumando o restando polinomios con más de una variable, debes tener cuidado de combinar sólo los términos semejantes. Cuando multiplicas o divides, también debes poner atención a todas las variables y términos. Puedes multiplicar y dividir términos que no son semejantes, pero al sumar o restar términos, deben ser semejantes.
Para sumar polinomios, primero necesitas identificar los términos semejantes en los polinomios y luego combinarlos de acuerdo con operaciones correctas. Como los términos semejantes deben tener exactamente las mismas variables elevadas a la misma potencia, hay que poner atención al identificarlos en los polinomios de múltiples variables. Algunas veces se usan paréntesis para distinguir entre la suma de dos polinomios y la suma de una colección de monomios. En el caso de la suma, puedes simplemente eliminar los paréntesis y realizar la suma.
Ejemplo | |||||
Problema | Sumar. (4x2 – 12xy + 9y2) + (25x2 + 4xy – 32y2) |
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| 4x2 +(−12xy) + 9y2 + 25x2 + 4xy + (−32y2) | Elimina los paréntesis agrupando el polinomio y reescribe cualquier resta como la suma del opuesto. | |||
| (4x2 +25x2) +[(−12xy)+ 4xy] + [9y2+ (−32y2)]
| Agrupa los términos semejantes usando las propiedades conmutativa y asociativa. | |||
| 29x2 + (−8xy) +(−23y2) | Combina los términos semejantes. | |||
Respuesta | La suma es 29x2 – 8xy – 23y2. | Reescribe la resta. | |||
A algunas personas se les hace más fácil escribir una suma polinomial de manera vertical para combinar los términos semejantes. El proceso de sumar polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El ejemplo siguiente muestra este método “vertical” de sumar polinomio:
Ejemplo | |||||||||||||||||
Problema | Sumar. (3x + 2y – 4z ) + (45x – y + 75z) |
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| Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos semejantes. | |||||||||||||||
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| Combina los términos semejantes, poniendo atención en los signos. | |||||||||||||||
Respuesta | La suma es 48x + y + 71z. |
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Cuando no hay un término semejante para cada polinomio, habrá espacios vacíos en el arreglo vertical de los polinomios. Este arreglo hace más fácil comprobar que estas combinado sólo términos semejantes.
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Problema | Sumar. (10ab + 15ac – 25bc + 5) + (4ab – 8bc – 12) |
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| Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos semejantes. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Combina los términos semejantes, poniendo atención en los signos. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Respuesta | La suma es 14ab + 15ac – 33bc – 7. |
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Suma. (8a3b2 + 6a2b – 4b2 + 5) + (10a2b – 4a3b2 + 6a2 – 7)
A) 18a3b2 + 2a2b + 2b2 – 2
B) 4a3b2 + 16a2b + 6a2 – 4b2 – 2
C) 18a3b2 + 2a2b + 6a2 – 4b2 – 2
D) 4a6b4 + 16a4b2 + 6a2 – 4b2 – 2
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Para restar polinomios con más de una variable, puedes aplicar el mismo proceso usado para restar polinomios con una variable. Para eliminar los paréntesis después del signo de resta, debes multiplicar cada término por −1.
Ejemplo | ||
Problema | Restar. (14x3y2 – 5xy + 14y) – (7x3y2 – 8xy + 10y) | |
14x3y2 – 5xy + 14y – 7x3y2 + 8xy – 10y | Elimina los paréntesis. ¡Observa los signos! | |
14x3y2 – 7x3y2 – 5xy + 8xy + 14y – 10y | Reagrupa para juntar los términos. Cuando reagrupas términos que son restados, piensa en la resta como la “suma del opuesto” y mueve el signo negativo junto con el término. | |
| 7x3y2 + 3xy + 4y | Combina los términos semejantes. |
Respuesta | La resta es 7x3y2 + 3xy + 4y. |
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Una manera alternativa de resolverlo es el método vertical para arreglar el problema de resta. Este método se muestra a continuación para un problema distinto. Ambos métodos son efectivos para restar polinomios — la idea es identificar y organizar los términos semejantes para poder operarlos.
Ejemplo | ||||||||||||||||||||
Problema | Restar. (10a3 + 5b2 – 5c + 10) – (15 + 5c – 15b2 + 10a3) | |||||||||||||||||||
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| Organiza los términos semejantes usando el método vertical. | ||||||||||||||||||
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| Combina los términos semejantes. Pon atención en los signos al momento de restar. | ||||||||||||||||||
Respuesta | La diferencia es 20b2 – 10c – 5. |
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Los ejemplos siguientes ilustran los métodos de izquierda a derecha y vertical para ella misma resta de polinomios. Piensa en qué método te parece más fácil.
Ejemplo | |||
Problema | Restar. (3x4y3 + 5x3y2 – 2x2y2) – (−2x4y3 + 4x3y2 – 2x2y3 – 1) | ||
3x4y3 + 5x3y2 – 2x2y2 + 2x4y3 – 4x3y2 + 2x2y3 + 1 | Elimina los paréntesis. El primer polinomio no cambia. Los signos del segundo polinomio sí cambian. | ||
3x4y3 + 2x4y3 + 5x3y2 – 4x3y2 – 2x2y2 + 2x2y3 + 1
| Reagrupa usando las propiedades conmutativa y asociativa. | ||
5x4y3 + x3y2 – 2x2y2 + 2x2y3 + 1
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Combina los términos semejantes. | ||
Respuesta | La resta es 5x4y3 + x3y2 – 2x2y2 + 2x2y3 + 1. | ||
Ejemplo | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Problema | Restar. (3x4y3 + 5x3y2 – 2x2y2) – (−2x4y3 + 4x3y2 – 2x2y3 – 1) |
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| Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos semejantes. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Combina los términos semejantes, poniendo atención en los signos. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Respuesta | La resta es 5x4y3 + x3y2 – 2x2y2+ 2x2y3 + 1. |
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Los polinomios con más de una variable también pueden multiplicarse unos con otros. Usas las mismas técnicas que cuando multiplicas polinomios con una variable. Considera el siguiente ejemplo.
(4x2y3)(5x4y2)
Ese es un ejemplo de una multiplicación de dos polinomios, específicamente monomios, con dos variables. Para hacer esta multiplicación, multiplica los coeficientes y usas las reglas de los exponentes para encontrar el exponente para cada variable y calcular el producto. Veamos.
(4x2y3)(5x4y2) = (4 • 5)(x2+4)(y3+2) = 20x6y5
Para multiplicar uno monomio por un binomio, usas la propiedad distributiva de la misma forma que cuando multiplicas polinomios de una variable.
Ejemplo | |||
Problema | Multiplicar. |
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| Multiplica usando la propiedad distributiva. | |
Respuesta | El producto es . |
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Para multiplicar dos binomios que contienen más de una variable, puedes usar el método FOIL (First, Outer, Inner, Last) que funciona para binomios de una variable. Después de todo, FOIL es simplemente un atajo para usar la propiedad distributiva para multiplicar cada término en un binomio por cada término en el otro binomio. Este proceso funciona para multiplicar cualquier par de binomios. A continuación se muestran dos ejemplos.
Ejemplo | |||
Problema | Multiplicar. (4x – 7xy)(2y + 3x) |
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| 4x • 2y = 8xy | First | |
4x • 3x = 12x2 | Outer | ||
−7xy • 2y = −14xy2 | Inner | ||
−7xy • 3x = −21x2y | Last | ||
| Ten cuidado al incluir el signo negativo de −7xy, ya que el término está siendo restado. | ||
| 8xy + 12x2 – 14xy2 – 21x2y | Combina los términos para formar una expresión. | |
Respuesta | El producto es 8xy + 12x2 – 14xy2 – 21x2y. | ||
El siguiente ejemplo muestra el producto de un binomio y un trinomio, cada uno con dos variables. Como FOIL sólo puede usarse con el producto de dos binomios, necesitas multiplicar sistemáticamente cada término en el binomio con cada término en el trinomio.
Ejemplo | |||
Problema | Multiplicar. (9b – ab)(5a2b + 7ab – b) |
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| 9b(5a2b + 7ab – b) 45a2b2 + 63ab2 – 9b2
−ab(5a2b + 7ab – b) −5a3b2 – 7a2b2 + ab2
| Multiplica 9b por cada término en el trinomio, poniendo atención a los signos.
Multiplica −ab por cada término en el trinomio, poniendo atención a los signos. | |
45a2b2 + 63ab2 – 9b2 – 5a3b2 – 7a2b2 + ab2 | Combina los productos. | ||
45a2b2 + 63ab2 – 9b2 - 5a3b2 – 7a2b2 + ab2 38a2b2 + 64ab2 – 9b2 – 5a3b2 | Combina los términos semejantes. | ||
Respuesta | El producto es 38a2b2 + 64ab2 – 9b2 – 5a3b2. | ||
Al multiplicar polinomios multivariable de esta manera, algunas personas prefieren acomodar la multiplicación de manera vertical — como lo harías al multiplicar 45 • 189. El ejemplo siguiente muestra (9b – ab)(5a2b + 7ab – b) acomodado de manera vertical.
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||||||
Problema | (9b – ab)(5a2b + 7ab – b) | ||||||||||||||||||||||||||
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| Acomoda el problema de manera vertical, y empieza multiplicando 9b – ab por −b. ¡Asegúrate de poner atención a los signos! Coloca los productos debajo, como se muestra. | |||||||||||||||||||||||||
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| Ahora multiplica 9b – ab por+7ab. Observa que(9b)(7ab) = 63ab2; ya que este término es similar a ab2, colócalo directamente debajo. | |||||||||||||||||||||||||
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| Finalmente, multiplica 9b – ab por 5a2b. | |||||||||||||||||||||||||
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| Ahora suma los términos semejantes. | |||||||||||||||||||||||||
Respuesta | −5a3b2 + 38a2b2 – 9b2 + 64ab2 |
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Observa que los productos de los dos ejemplos son iguales, aunque el orden individual de los términos es diferente debido a los métodos diferentes de solución.
Encuentra el producto. −4pt2(5pt3 + 3pt2 – t)
A) −20p2t5 – 12p2t4 + 4pt3
B) −20t5 + 12p2t4 – 4pt3
C) −20pt6 – 12pt4 + 4pt2
D) −20p2t5 + 3pt2 – t
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La cuarta operación aritmética es la división. Los polinomios con más de una variable también pueden dividirse. Cuando divides monomios con más de una variable, divides los coeficientes y luego divides las variables. Cuando hay exponentes con la misma base, las reglas de los exponentes dicen que puedes dividir al restar los exponentes. Considera el siguiente ejemplo.
Ejemplo | ||||
Problema | Dividir. |
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| Para hacerlo más fácil, puedes romper los coeficientes y variables en factores numéricos y de variables. | ||
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| Divide los coeficientes, y luego divide las variables restando los exponentes con bases semejantes. | ||
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| Reescribe con exponentes positivos. | ||
Respuesta | El cociente es . |
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Ahora vemos otro ejemplo de dividir un trinomio con más de una variable entre un monomio con más de una variable. Se sigue el mismo procedimiento que cuando tenías una variable, pero necesitas poner atención al distinguir entre variables.
Ejemplo | ||
Problema | Dividir. | |
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| Para hacerlo más fácil, puedes romper la división en términos en el polinomio ya que cada término está siendo dividido entre 2x2y. |
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| Realiza la división de cada término dividiendo los coeficientes y dividiendo las variables restando los exponentes de las variables con bases similares. |
Respuesta | El cociente es . |
Dividir.
A) 5st2 – 2s2t + 1
B) 5st2 – 10s3t3 + 5st2
C) 20st2 – 5s2t
D)
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Sumario
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones , y divisiones de polinomios con más de una variable se siguen los mismos pasos que al operar polinomios de una variable. Las cosas importantes en las que hay que poner atención son que debes combinar sólo términos semejantes, aplicar correctamente las reglas de los exponentes, las operaciones con enteros, y el orden de las operaciones.