Introducción a los Polinomios de Una Variable

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Identificar los términos, los coeficientes y los exponentes de un polinomio.

·         Evaluar un polinomio para ciertos valores de la variable.

·         Simplificar polinomios juntando términos comunes.

 

 

 

Las expresiones algebraicas se crean al combinar números y variables usando operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. Usándolas todas excepto la división, puedes crear una expresión llamada polinomio al sumar o restar términos. Los polinomios son muy útiles en aplicaciones de ciencia e ingeniería a negocios. Los monomios (y polinomios en general) pueden tener más de una variable, pero en esta unidad, sólo trabajaremos con polinomios de una sola variable.

 

 

 

El bloque de construcción básico de un polinomio es un monomio. Un monomio es un término que puede ser un número, una variable, o el producto de un número y variables con un exponente. La parte numérica del término se llama coeficiente.

 

 

 

El coeficiente puede ser cualquier número real, incluido el 0. El exponente de la variable debe ser un número entero —0, 1, 2, 3, etc. Un monomio no puede tener una variable en el denominador o un exponente negativo.

 

El valor del exponente es el grado del polinomio. Recuerda que una variable que aparentemente no tiene exponente en realidad tiene un exponente de 1. Y un monomio sin variable tiene un grado de 0. (Porque x⁰ tiene el valor de 1 si x ≠ 0, un número como 3 puede también escribirse como 3x⁰, si x ≠ 0. Al igual que 3x⁰ = 3 • 1 = 3.)

 

 

 

 

 

 

Identifica el coeficiente, la variable, y el exponente de 3y.   A) La variable es y, el exponente es 3, y el coeficiente es 1. B) La variable es y, el exponente es 0, y el coeficiente es 3. C) La variable es y, el exponente es 1, y el coeficiente es 3. D) La variable es y, el exponente es 3, y el monomio no tiene coeficiente.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) La variable es y, el exponente es 3, y el coeficiente es 1. Incorrecto. El exponente es la potencia de la variable y el coeficiente es el número antes de la variable. El coeficiente en este caso es 3, y el exponente es 1 porque 3y = 3y1.   B) La variable es y, el exponente es 0, y el coeficiente es 3. Incorrecto. El coeficiente es 3, pero el exponente es 1 porque 3y = 3y1. Un exponente de 0 sería 3y0, y como y0 = 1 cuyo y ≠ 0, this sería igual a 3 (cuyo y ≠ 0).   C) La variable es y, el exponente es 1, y el coeficiente es 3. Correcto. El coeficiente es 3, la variable es y, y el exponente es 1 porque 3y = 3y1.   D) La variable es y, el exponente es 3, y el monomio no tiene coeficiente. Incorrecto. El exponente es la potencia de la variable y el coeficiente es el número antes de la variable. El coeficiente en este caso es 3, y el exponente es 1 porque 3y = 3y1.

 

 

 

Un polinomio es un monomio o la suma o resta de dos o más polinomios. Cada monomio se llama el término del polinomio.

 

Algunos polinomios tienen nombres específicos indicados por su prefijo.

 

monomio – es un polinomio con exactamente un término (“mono” – significa uno)

binomio – es un polinomio con exactamente dos términos (“bi” – significa dos)

trinomio – es un polinomio con exactamente tres términos (“tri” – significa tres)

 

La palabra “polinomio” tiene el prefijo, “poli” que significa muchos. Sin embargo, la palabra polinomio se puede usar para cualquier número de términos, incluyendo los que tienen sólo un término.

 

Ya que el exponente de la variable debe ser un número entero, los monomios y los polinomios no pueden tener una variable en el denominador.

 

Los polinomios pueden clasificarse de acuerdo con el grado del polinomio. El grado del polinomio es el grado de su término más alto. Entonces el grado de 2x³ + 3x² + 8x + 5 es 3.

 

Se dice que un polinomio está escrito en su forma estándar cuyo los términos se arreglan desde el de mayor grado hasta el de menor grado. Cuyo está escrito en su forma estándar es fácil determinar el grado del polinomio.

 

La tabla siguiente ilustra algunos ejemplos de monomios, binomios, trinomios, y otros polinomios. Todos están escritos en su forma estándar.

 

 

Cuyo el coeficiente del término de un polinomio es 0, normalmente no se escribe (porque 0 multiplicado por cualquier cosa es 0, y sumar 0 no cambia el valor). El último binomio de la tabla pudo haberse escrito como el trinomio, 14y³ + 0y² + 3y.

 

Un término que no tiene una variable se llama un término constante, y el grado de dicho término es 0. Por ejemplo 13 es el término constante en 3y + 13. Normalmente dirías que 14y³ + 3y no tiene términos constantes o que su término constante es 0.

 

 

¿Cuál de las siguientes expresiones es un polinomio?   2x4 − 3x3   14     A) Sólo 2x4 − 3x3 y  son polinomios. B) Sólo 2x4 − 3x3 y 14 son polinomios. C) Sólo 2x4 − 3x3 es un polinomio. D) Ninguna de las expresiones es un polinomio.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Sólo 2x4 − 3x3 y  son polinomios. Incorrecto.  no es un polinomio porque tiene una variable en el denominador. La respuesta correcta es 2x4 – 3x3 y 14.   B) Sólo 2x4 − 3x3 y 14 son polinomios. Correcto.  no es un polinomio porque tiene una variable en el denominador.   C) Sólo 2x4 − 3x3 es un polinomio. Incorrecto. 14 también es un monomio, un tipo de polinomio. La respuesta correcta es 2x4 – 3x3 y 14.   D) Ninguna de las expresiones es un polinomio. Incorrecto. x4 – 3y3 y 14 son polinomios.  no es un polinomio porque tiene una variable en el denominador.

 

 

 

Puedes evaluar polinomios de la misma forma que has evaluado expresiones. Para evaluar una expresión para cierto valor de la variable, sólo sustituyes el valor de la variable cada vez que aparece. Luego usas el orden de las operaciones para encontrar el valor resultante de la expresión.

 

 

 

 

 

 

Evalúa 3x3 − 2x2 para x = -2.   A) -24 – 2x2 B) -32 C) -16 D) 16     Mostrar/Ocultar Respuesta A) -24 – 2x2 Incorrecto. x = -2 para todas las veces que aparece x en la expresión. Debes sustituir -2 en ambos casos: 3(-2)3 – 2(-2)2. La respuesta correcta es -32.   B) -32 Correcto. Como x = -2, 3x3 − 2x2 = 3(-2)3 – 2(-2)2 = 3(-8) – 2(4) = -24 – 8 = -32.   C) -16 Incorrecto. Seguramente olvidaste que (-2)2 es positivo, o cometiste otro error en tus cálculos. Como x = -2, 3x3 − 2x2 = 3(-2)3 – 2(-2)2 = 3(-8) – 2(4) = -24 – 8 = -32.   D) 16 Incorrecto. Seguramente olvidaste que (-2)3 es negativo (el producto de dos valores negativos es positivo, por lo que multiplicar por un tercer negativo resulta en un producto negativo). Como x = -2, 3x3 − 2x2 = 3(-2)3 – 2(-2)2 = 3(-8) – 2(4) = -24 – 8 = -32.

 

 

 

Un polinomio podría necesitar ser simplificado. Una manera de simplificar un polinomio es combinar los términos semejantes si es que existen. Dos o más términos en un polinomio son términos semejantes si tienen la misma variable (o variables) con el mismo exponente. Por ejemplo, 3x² y -5x² son términos semejantes: Ambos tienen a x como la variable, y el exponente es 2 para ambos. Sin embargo, 3x² y 3x no son términos semejantes, porque sus exponentes son distintos.

 

Aquí hay algunos ejemplos de términos que son semejantes y otros que no lo son.

 

 

 

 

 

 

¿Cuáles de los siguientes términos son semejantes?   −3a   3a2   8b   −3b3   8a   14b2   9a   A) Sólo −3a, 8a, y 9a son términos semejantes. B) Sólo 8a y 9a son términos semejantes. C) 8b, −3b3, y 14b2 son términos semejantes, y −3a, 3a2, 8a, y 9a son términos semejantes. D) 3a2 y 14b2  son términos semejantes, y −3a, 8b, 8a, y 9a son términos semejantes.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Sólo −3a, 8a, y 9a son términos semejantes. Correcto. Estos términos tienen la misma variable, a, con un exponente de 1.   B) Sólo 8a y 9a son términos semejantes. Incorrecto. -3a también es un término semejante con 8a y 9a, porque tiene la misma variable y el mismo exponente.   C) 8b, −3b3, y 14b2 son términos semejantes, y −3a, 3a2, 8a, y 9a son términos semejantes. Incorrecto. Cada grupo tiene la misma variable, pero sus exponentes son distintos. Los únicos términos con la misma variable y el mismo exponente son −3a, 8a, y 9a.   D) 3a2 y 14b2  son términos semejantes, y −3a, 8b, 8a, y 9a son términos semejantes. Incorrecto. Cada grupo tiene el mismo exponente, pero sus variables son distintas. Los únicos términos con la misma variable y el mismo exponente son −3a, 8a, y 9a.

 

 

Puedes usar la propiedad distributiva para simplificar la suma de los términos semejantes. Recuerda que la propiedad distributiva de la suma dice que el producto de un número y una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos.

 

                        2(3 + 6) = 2(3) + 2(6)

 

Ambas expresiones son iguales a 18. Entonces puedes escribir la expresión de la manera que te sea más útil.

 

Veamos cómo podemos usar esta propiedad para combinar términos semejantes.

 

 

 

 

Seguramente notaste que combinar términos semejantes consiste en combinar los coeficientes para encontrar un nuevo coeficiente del término semejante. Puedes usar esto como un atajo.

 

 

 

 

Cuyo tienes un polinomio con muchos términos, debes tener cuidado de que sólo combinas los términos semejantes. Si dos términos no son semejantes, no puedes combinarlos.

 

 

 

 

Simplifica combinado los términos semejantes.   -3a + 3a2 + 8a + 9a – 3   A) 3a2 + 17a – 3 B) 3a2 + 14a – 3 C) 17a – 3 D) 17a – 3a – 3   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 3a2 + 17a – 3 Incorrecto. Hay tres términos con a (recuerda que a1 se escribe como a): -3a, 8a, y 9a. Combinándolos resulta -3a + 8a + 9a = (-3 + 8 + 9)a = 14a, por lo que el polinomio simplificado es 3a2 + 14a – 3.   B) 3a2 + 14a – 3 Correcto. Hay tres términos con a (recuerda que a1 se escribe como a): -3a, 8a, y 9a. Combinándolos resulta -3a + 8a + 9a = (-3 + 8 + 9)a = 14a, por lo que el polinomio simplificado es 3a2 + 14a – 3.   C) 17a – 3 Incorrecto. Probablemente combinaste incorrectamente los dos primeros términos, -3a + 3a2. Estos no son términos similares, por lo que no puedes combinarlos. Hay tres términos con a (recuerda que a1 se escribe como a): -3a, 8a, y 9a. Combinándolos resulta -3a + 8a + 9a = (-3 + 8 + 9)a = 14a, por lo que el polinomio simplificado es 3a2 + 14a – 3.   D) 17a – 3a – 3 Incorrecto. Hay tres términos con a (recuerda que a1 se escribe como a): -3a, 8a, y 9a. Combinándolos resulta -3a + 8a + 9a = (-3 + 8 + 9)a = 14a, por lo que el polinomio simplificado es 3a2 + 14a – 3.

 

 

 

Los polinomios son expresiones algebraicas que contienen cualquier número de términos combinados usando la suma o la resta. Un término es un número, una variable, o el producto de un número y una o más variables con exponentes. Los términos semejantes (que tienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia) pueden combinarse para simplificar el polinomio. Los polinomios pueden evaluarse sustituyendo cierto valor de la variable en cada instancia de la variable, luego se usa el orden de las operaciones para completar los cálculos.