Simplificar Usando las Reglas del Producto, Cociente, y Potencia

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Usar la regla del producto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base.

·         Usar la regla de la potencia para elevar potencias a potencias.

·         Usar la regla de la división de exponentes para dividir expresiones exponenciales con la misma base.

·         Simplificar expresiones usando una combinación de las propiedades.

 

Introducción

 

La notación exponencial se desarrolló para escribir una multiplicación repetida más eficientemente, Hay veces cuando es más fácil dejar las expresiones en notación exponencial cuando multiplicamos o dividimos. Veamos las reglas que te permiten hacer esto.

 

 

La Regla del Producto para Exponentes

 

Recuerda que los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida. Por ejemplo, la notación 54 se puede expandir y escribir como 5 • 5 • 5 • 5, o 625. Y no olvides, el exponente sólo se aplica al número inmediato a su izquierda, a menos que haya paréntesis.

¿Qué pasa si multiplicas dos números en forma exponencial que tienen la misma base? Considera la expresión (23)(24). Expandiendo cada exponencial, esto se puede escribir como (2 2 2) (2 2 2 2) o  2 2 2 2 2 2 2. En forma exponencial, escribirías este producto como 27. Observa que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4.

 

¿Y qué ocurre con (x2)(x6)? Esto puede escribirse como (x • x)(x • x • x • x • x • x) = x • x • x • x • x • x • x • x  o x8. Y una vez más, 8 es la suma de los dos exponentes originales.

 

La Regla del Producto de Exponentes

 

Para cualquier número x y cualesquiera enteros a y b, (xa)(xb) = xa+b.

 

 

Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente suma los exponentes.

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

(a3)(a7)

 

 

(a3)(a7)

La base de ambos exponentes es a, entonces se puede aplicar la regla del producto.

 

a3+7

Sumar los exponentes con base común.

Respuesta

(a3)(a7) = a10

 

 

 

Cuando multipliques términos más complicados, multiplica los coeficientes y luego multiplica las variables.

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

5a4 · 7a6

 

 

35 · a4 · a6

Multiplicar los coeficientes.

 

35 · a4+6

La base de ambos exponentes es a, entonces se puede aplicar la regla del producto.

 

35 · a10

Sumar los exponentes con base común.

Respuesta

5a4 · 7a6 = 35a10

 

 

 

Simplificar la expresión, manteniendo la respuesta en notación exponencial.

 

(4x5)( 2x8)

 

A) 8x5x8

B) 6x13

C) 8x13

D) 8x40

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 8x5x8

Incorrecto. 8x5x8  es equivalente a (4x5)(2x8), pero aun no está en su forma más simple. Simplifica x5x8 usando la regla del producto y suma los exponentes. La respuesta correcta es 8x13.

 

B) 6x13

Incorrecto. 6x13 no es equivalente a (4x5)(2x8). Aquí, se están sumando los exponentes, pero también los coeficientes también se suman y deberían ser multiplicados. La respuesta correcta es 8x13.

 

C) 8x13

Correcto. 8x13  es equivalente a (4x5)(2x8). Multiplica los coeficientes (4 • 2) y aplica la regla del producto para sumar los exponentes de las variables (en este caso x) que son iguales.

 

D) 8x40

Incorrecto. 8x40  no es equivalente a (4x5)(2x8). No multipliques los coeficientes y los exponentes. Recuerda, al usar la regla del producto sumas los exponentes cuando las bases son iguales. La respuesta correcta es 8x13.

 

 

 

La Regla de la Potencia de un Exponente

 

Simplifiquemos (52)4. En este caso, la base es 52 y el exponente es 4, entonces multiplicas 52 cuatro veces: (52)4  = 52 52 52 52 = 58 (usando la regla del producto – sumas los exponentes).

 

(52)es la potencia de una potencia, Es la cuarta potencia del 5 a la segunda potencia. Y vimos entes que la respuesta es 58. Observa que la nueva potencia es igual al producto de los exponentes originales: 2 4 = 8.

 

Entonces, (52)= 52 4  =  58 (que equivale a 390,625, si haces la multiplicación).

 

De la misma forma, (x4)3 = x4 3 = x12.

 

Esto lleva a otra regla de los exponentes — la Regla de la Potencia de un Exponente. Para simplificar una potencia de un exponente, multiplicas los exponentes, manteniendo la misma base. Por ejemplo, (23)5 = 215.

 

 

La Regla de la Potencia de un Exponente

 

Para cualquier número x y cualesquiera enteros a y b: (xa)b= xa· b.

 

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

6(c4)2

 

 

6(c4)2

Como estás elevando una potencia a otra potencia, aplica la regla de la potencia de un exponente para simplificar. El coeficiente no cambia porque está fuera del paréntesis.

Respuesta

6(c4)2 = 6c8

 

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

a2(a5)3

 

 

Eleva a5 a la potencia de 3 multiplicando los exponentes (la regla de la potencia de un exponente).

 

Como los exponentes comparten la misma base, a, pueden combinarse (la regla de la potencia de un exponente).

 

 

Respuesta

 

 

 

Simplificar:

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Esta expresión aun no está simplificada. Recuerda que –a también se puede escribir como –a1. Multiplica –a1 por a8 para llegar a la respuesta. La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. No sumes los exponentes 2 y 4. La regla de la potencia de un exponente dice que multiplicas los exponentes. La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. No sumes los exponentes 2 y 4. La regla de la potencia de un exponente dice que multiplicas los exponentes. La respuesta correcta es .

 

D)

Correcto. Usando la regla de la potencia de un exponente, .

 

 

 

La Regla de la División de Exponentes

 

Ahora veamos la división de términos que contienen expresiones exponenciales. ¿Qué pasa si divides dos números en forma exponencial con la misma base? Considera la siguiente expresión.

 

Puedes reescribir la expresión como: . Entonces puedes cancelar los factores comunes de 4 en el numerador y en el denominador:

 

Finalmente, la expresión puede reescribirse como 43 usando la notación exponencial. Observa que el exponente, 3, es la diferencia entre los dos exponentes de la expresión original, 5 y 2.

 

Entonces,  = 45-2 = 43.

 

Ten cuidado, ya que debes restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

 

o

 

  = x79 = x-2

 

Entonces, para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.

 

La Regla de la División de Exponentes

Para cualquier número x y cualesquiera enteros a y b:

 

 

Observa que  = 40. Y sabemos que   =  = 1. Y esto puede ayudar a explicar por qué 40 = 1.

 

 

Ejemplo

Problema

Evaluar.  

 

 

Los dos exponentes tienen la misma base, 4. De acuerdo a la regla de la división de exponentes, puedes restar la potencia en el denominador de la potencia en el numerador.

Respuesta

 = 45

 

 

 

Cuando dividimos términos que también contienen coeficientes, divide los coeficientes y luego divide las potencias de la variable con la misma base restando los exponentes.

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

 

 

Separa en factores numéricos y variables.

 

 

Como las bases de los exponentes son la misma, puedes aplicar la regla de la división de exponentes. Divide los coeficientes y resta los exponentes de las variables iguales.

Respuesta

=

 

 

 

Aplicando las Reglas

 

Todas estas reglas de los exponentes — del producto, del exponente, y de la división de exponentes — son útiles cuando evaluamos expresiones con bases comunes.

 

 

Ejemplo

Problema

Evaluar  cuando x = 4.

 

 

 

Separar en factores numéricos y variables.

 

 

Dividir los coeficientes, y restar los exponentes de las variables.

 

Simplificar.

 

Sustituir el valor 4 por la variable x.

Respuesta

 = 768

 

 

 

Normalmente, es más fácil simplificar la expresión antes de restar cualquier valor de tus variables, pero obtienes la misma respuesta de cualquier forma.

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.  

 

 

Usa el orden de las operaciones con PEMDAS:

E: Evaluar exponentes. Usar la regla de los exponentes para simplificar (a5)3.

 

 

 

M: Multiplicar, usar la regla de los exponentes porque las bases son iguales.

 

 

 

D: Dividir usando la regla de la división de exponentes.

Respuesta

 =

 

 

 

Sumario

 

Existen reglas que nos ayudan cuando multiplicamos o dividimos expresiones exponenciales con la misma base. Para multiplicar términos con la misma base, sumamos sus exponentes. Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes. Para dividir dos términos exponenciales con la misma base, restamos los exponentes.