Notación Exponencial

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Evaluar expresiones que contienen exponentes.

·         Evaluar notaciones exponenciales con exponentes 0 y 1.

·         Escribir una expresión exponencial de exponentes negativos con exponentes positivos.

 

 

Es necesario un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas de manera clara y eficiente. La notación exponencial es un ejemplo. Se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas eficientemente. Por ejemplo, el crecimiento de organismos vivos por división de células. Un tipo de célula se divide 2 veces en una hora. Entonces, en 12 horas, la célula se divide 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 veces. Esto se puede escribir de manera más eficiente como 2¹².

 

Usamos la notación exponencial para escribir multiplicaciones repetidas, como 10 • 10 • 10 como 10³. El 10 en 10³ se llama base. El 3 en 10³ se llama exponente. La expresión 10³ se llama expresión exponencial.

 

                                               base   →  10^{3   ←exponente}

 

10³ se lee como “10 a la tercera potencia” o “10 al cubo.” Significa 10 • 10 • 10, o 1,000.

 

8² se lee como “8 a la cuarta potencia” o “8 al cuadrado.” Significa 8 • 8, o 64.

 

5⁴ se lee como “5 a la quinta potencia.” Significa 5 • 5 • 5 • 5, o 625.

 

b⁵ se lee como “ b a la quinta potencia.” Significa b • b • b • b • b. Su valor depende del valor de b.

 

El exponente aplica sólo al número junto a él. Entonces, en la expresión xy⁴, sólo la y es afectada por el 4. xy⁴ significa x • y • y • y • y.

 

Si la expresión exponencial es negativa, como −3⁴, significa –(3 •  3 • 3 • 3) o −81.

 

Si −3 es la base, se debe escribir como (−3)⁴, que significa −3 • −3 • −3 • −3, o 81.

De la misma forma, (−x)⁴ = (−x) • (−x) • (−x) • (−x)  = x⁴, mientras que −x⁴ = –(x • x • x • x).

 

¡Puedes ver que hay diferencia, por lo que debes tener mucho cuidado!

 

 

 

Evaluar expresiones que contienen exponentes es igual que evaluar cualquier otra expresión. Sustituyes el valor de la variable en la expresión y simplificas.

 

Puedes usar PEMDAS para recordar el orden en el que debes evaluar una expresión. Primero, evalúa lo que está dentro de Paréntesis. Luego, busca Exponentes, seguido de Multiplicación y División (de izquierda a derecha), y finalmente, Adición y Sustracción (también de izquierda a derecha).

 

Entonces, cuando evalúas la expresión 5x³ si x = 4, primero sustituye el valor 4 en la variable x. Luego evalúa, usando el orden de las operaciones.

 

 

 

 

Observa la diferencia entre el ejemplo anterior y el siguiente.

 

 

 

 

¡Incluir paréntesis la vuelve diferente!

 

 

 

 

Evaluar la expresión − (2x)4, si x = 3.   A) 1,296 B) −1,296 C) 162 D) −162     Mostrar/Ocultar Respuesta A) 1,296 Incorrecto. Sustituye el valor de 3 por la variable x y evalúa –(2 • 3)4. No apliques el signo negativo hasta después de haber evaluado la expresión (6)4. La respuesta correcta es −1,296.   B) −1,296 Correcto. Sustituye el valor de 3 por la variable x y evalúa –(2 • 3)4 = –64 = –1,296.   C) 162 Incorrecto. Sustituye el valor de 3 por la variable x y evalúa –(2 • 3)4. Aplica el exponente 4 al producto de 2 • 3, o 6. Luego aplica el signo negativo. La respuesta correcta es −1,296.   D) −162 Incorrecto. Sustituye el valor de 3 por la variable x y evalúa –(2 • 3)4. Aplica el exponente 4 al producto de 2 • 3, o 6. Luego aplica el signo negativo. La respuesta correcta es −1,296.

 

 

 

¿Qué significa que un exponente sea 0 o 1? Consideremos 25¹. Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el mismo valor. Esto tiene sentido, porque el exponente 1 significa que la base se usa sólo una vez como factor. Entonces la base queda sola, y 25¹ es simplemente 25.

 

Pero ¿qué pasa cuando se eleva a una potencia de 0? Usa lo que sabes de las potencias de 10 para averiguar qué significa una potencia de 0. Abajo hay una lista de las potencias de 10 y sus valores equivalentes. Observa cómo los números van cambiando hacia abajo en las columnas izquierda y derecha. Existe un patrón — ¿lo ves?

 

 

Moviéndonos hacia abajo en la tabla, cada fila pierde un factor de 10 con respecto a la anterior, De la fila 1 a la 2, el exponencial va de 10⁵ a 10⁴. El valor disminuye de 100,000 a 10,000. Otra manera de verlo es que cada valor se divide entre 10 para producir el siguiente valor de la columna.

 

Usemos este patrón de división entre 10 para predecir el valor de 10⁰.

 

 

Siguiendo el patrón, puedes ver que 10⁰ es igual a 1. ¿Es el mismo patrón si tenemos una base diferente? Por ejemplo la base 3.

 

 

¡Sí! Y será el mismo patrón para cualquier número diferente de cero o variable elevada a la potencia 0, n⁰ = 1.

 

Hay un conflicto cuando la base es 0. Sabemos que 0³ = 0, 0² = 0, y 0¹ = 0, entonces, esperarías que 0⁰ también sea igual a 0. Sin embargo, el patrón anterior dice que cualquier base elevada a la potencia 0 es 1, entonces te hace creer que 0⁰ = 1. Observa la competencia entre los patrones — ¡0⁰ no puede ser o y 1 al mismo tiempo! En este caso, los matemáticos dicen que el valor de 0⁰ no está definido. (¡Y recordemos que no definido no es lo mismo que 0!)

 

Exponentes de 0 o 1   Cualquier número o variable elevado a la potencia 1 es el mismo número.  n1 = n   Cualquier número o variable distinto de cero elevado a la potencia 0 es igual a 1. n0 = 1   La cantidad 00 no está definida.

 

 

 

 

Como hemos hecho antes, para evaluar expresiones que contienen exponentes 0 o 1, sustituimos el valor de la variable en la expresión y simplificamos.

 

 

Evaluar la expresión 3x0 – y1, si x = 12 y y = –6.   A) 42 B) −3 C) 9 D) 2     Mostrar/Ocultar Respuesta A) 42 Incorrecto. Sustituye el valor de 12 por la variable x y –6 por la variable y: 3 • 120 – (−6)1. Recuerda que 120 = 1. La respuesta correcta es 9.   B) −3 Incorrecto. Sustituye el valor de 12 por la variable x y –6 por la variable y: 3 • 120 – (−6)1. Recuerda que 120 = 1. La respuesta correcta es 9.   C) 9 Correcto.  3 • 120 – (−6)1 = 3 • 1 – (−6)1 = 3 • 1 + 6 = 9.   D) 2 Incorrecto. Sustituye el valor de 12 por la variable x y –6 por la variable y: 3 • 120 – (−6)1. Recuerda que la base elevada a la potencia 1 es la base. La respuesta correcta es 9.

 

 

 

¿Qué significa cuando un exponente es un entero negativo? Usemos el patrón de las potencias de 10 que vimos antes para averiguarlo. Si continúas el patrón y añades algunas filas, después de 10⁰, encuentras lo siguiente:

 

 

Siguiendo el patrón, puedes ver que 10⁰ es igual a 1. Luego siguen los exponentes negativos: 10^-1 es igual a , y 10^-2 es igual a .

 

Siguiendo el patrón, un número con un exponente negativo puede escribirse como el recíproco del número original, con un exponente positivo.

Por ejemplo, 10^-3 = y 10^-7=.

 

Para ver si estos patrones son verdaderos para otro número además del 10, comprueba con la tabla siguiente de potencias de 3.

 

 

 

Los números son distintos pero los patrones son los mismos. Ahora estamos listos para establecer la definición de un exponente negativo.

 

Exponente Negativo   Para uno número n distinto de cero y cualquier entero x, n-x= . Por ejemplo, 5-2= .

 

Observa que la definición anterior dice que la base, n debe ser un “número distinto de cero.”

 

 

Evaluar la expresión (x–2) • (x0) cuando x = 6.   A) B) C) 0 D) 36     Mostrar/Ocultar Respuesta A) Correcto. Sustituye los valores de 5 por la variable x y evalúa. .   B) Incorrecto. Sustituye los valores de 5 por la variable x y evalúa: 6-2 • 60. Recuerda que (6)0 = 1. La respuesta correcta es .   C) 0 Incorrecto. Sustituye los valores de 5 por la variable x y evalúa: 6-2 • 60. Recuerda que (6)0 = 1. La respuesta correcta es .   D) 36 Incorrecto. Sustituye los valores de 5 por la variable x y evalúa: 6-2 • 60. Recuerda que (6)0 = 1. La respuesta correcta es .

 

 

 

La notación exponencial se compone de una base y de un exponente. Es una manera “abreviada” de escribir una multiplicación repetida, e indica que la base es un factor y que el exponente es el número de veces que se usa el factor en la multiplicación. Las reglas básicas de los exponentes son:

 

·         Cualquier exponente sólo se aplica al valor inmediatamente a su izquierda.

·         Cuando una cantidad entre paréntesis se eleva a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.

·         Para cualquier número distinto de cero n, n⁰ = 1.

·         Para cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, n ^–x = .