Ecuaciones, Desigualdades y Valor Absoluto

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones que contienen valores absolutos.

·         Resolver desigualdades que contienen valores absolutos.

·         Identificar casos de ecuaciones y desigualdades que contienen valores absolutos que no tienen solución.

 

Introducción

El [valor absoluto] de un número o expresión es su distancia de 0 en la recta numérica. Como el valor absoluto sólo expresa distancia, y no la dirección del número, siempre se expresa como un número positivo o 0.

 

Por ejemplo, −4 y 4 ambos tienen un valor absoluto de 4 porque ambos están a 4 unidades del 0 en la recta numérica — aunque están localizados en direcciones opuestas a partir del 0.

 

Cuando resuelvas valores absolutos en ecuaciones y desigualdades, debes considerar el comportamiento del valor absoluto y las propiedades de la equidad y la desigualdad.

 

Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos

Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver ecuaciones con valores absolutos significa encontrar la solución para ambos valores positivo y negativo.

 

Primero veamos un ejemplo básico.

 

La ecuación dice “el valor absoluto de x es igual a cinco.” La solución es el valor o valores que estás a cinco unidades a partir de 0 en la recta numérica.

 

Podrías pensar inmediatamente en el 5; que es una solución de la ecuación. Observa que 5 también es una solución porque 5 está a 5 unidades del 0 en la dirección opuesta. Entonces la solución a la ecuación  es x = 5 o x = 5.

 

Un problema más complejo de valor absoluto se resuelve de manera similar. Considera . Esta ecuación te pide encontrar qué número mas 5 tiene un valor absoluto de 15. Como 15 y 15 tienen valor absoluto de 15, la ecuación de valor absoluto es válida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es 15, ya que |15| = 15 y |15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qué valor de x hará la expresión igual a 15 así como qué valor de x hará la expresión igual a 15. Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:

 

 

Puedes comprobar ambas soluciones en la ecuación de valor absoluto para ver si x = 10 y x = 20 son correctos.

 

 

 

Resolver Ecuaciones de la Forma |x| = a

 

Para cualquier número positivo a, la solución de |x| = a es

 

                                                                        x = a  o  x = a

 

x puede ser una variable o una expresión algebraica.

 

Veamos otro ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver p.

|2p – 4| = 26

 

Escribe las dos ecuaciones que te darán un valor absoluto de 26.

Resuelve cada ecuación para p despejando la variable.

 

Comprobar

Comprueba las soluciones en la ecuación original.

 

 

 

¡Ambas soluciones funcionan!

Respuesta

 

 

 

 

Algunas veces, tienes que despejar el valor absoluto antes de resolver la ecuación. Un ejemplo se muestra abajo.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver w.

3|4w – 1| – 5 = 10

 

 

Despeja el término con el valor absoluto sumando 5 a ambos lados.

 

Divide ambos lados entre 3.

 

Ahora el valor absoluto está despejado.

 

Escribe las dos ecuaciones que te darán un valor absoluto de 5 y resuélvelas.

 

 Comprobar

Comprueba las soluciones en la ecuación original.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡Ambas soluciones funcionan!

Respuesta

 

 

 

Veamos otro ejemplo:

Resolver y.

Antes de eliminar el signo de valor absoluto y hacer dos ecuaciones, piensa en lo que significa la ecuación. Dice “el valor absoluto de la cantidad 3y menos 5 es igual a 1.” Recuerda que un valor absoluto es la distancia de 0 en la recta numérica, entonces debe ser un número positivo, Como es imposible tener un valor absoluto igual a 1, esta ecuación no tiene solución. No existen valores de y que hagan un enunciado válido. No hay nada que hacer además de saber que la ecuación no tiene soluciones.

 

Resolver Desigualdades que Contienen Valores Absolutos

 

Apliquemos lo que ya sabes sobre resolver ecuaciones que contienen valores absolutos y lo que sabes sobre desigualdades para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Empecemos con una desigualdad simple.

 

 

La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide resolver x, quieres encontrar los valores de x que están a 4 unidades o menos de 0 en la recta numérica. Podrías empezar imaginando la recta numérica y los valores de x que satisfacen esta ecuación.

 

4 y 4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y 3 también son soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del 0. Al igual que el 1 y el 1, el 0.5 y el 0.5, etc. — hay un número infinito de valores de x que satisfacen la desigualdad.

 

La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en 4. La distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul porque estos son los valores que satisfacen la ecuación.

 

 

La solución se puede escribir de esta manera:  4  x  4.

 

La situación es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o “mayor o igual a.”  Considera la desigualdad simple  También, podrías pensar en la recta numérica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y 3 no están incluidos en la solución, entonces hay dos círculos abiertos en estos valores. 2 y 2 no serían soluciones porque no están a más de tres unidades del 0. Pero 5 y 5 si están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda de 3 y a la derecha de 3. La gráfica se vería como la que está abajo.

 

 

La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < 3 o x > 3.

 

Resolver Desigualdades con Valor Absoluto

 

Para cualquier valor positivo de a:

 es equivalente a   (esta regla también aplica a )

 es equivalente a x a o xa (esta regla también aplica a )

 

x puede ser una variable o una expresión algebraica.

 

 

Resolver la desigualdad:

 

A) p 5 o p 5

B) 5 p ≤ 5

C) p 5

D) No hay solución

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) p 5o p 5

Incorrecto. Esta es la solución de |p| 5. Por ejemplo, 7, que es mayor que 5, no es solución de la desigualdad original porque |7| es 7, que no es menor que 5. LA respuesta correcta es 5 p ≤ 5.

 

B) 5 p ≤ 5

Correcto. Los valores de p que son mayores o iguales a -5 y menores o iguales a 5 satisfacen la desigualdad.

 

C) p 5

Incorrecto. Si sustituyes un valor menor que 5 en la desigualdad original, obtendrás un enunciado inválido. Por ejemplo, si p = 10, un valor menor que 5, entonces |10| 5. Esto no es válido porque el valor absoluto de 10 es 10 y 10 no es menor o igual a 5. La respuesta correcta es 5 p ≤ 5.

 

D) No hay solución

Incorrecto. Los valores mayores o iguales a 5 y menores o iguales a 5 satisfacen la desigualdad. La respuesta correcta es 5 p ≤ 5.

 

 

 

Veamos algunos ejemplos de desigualdades que contienen valores absolutos.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x.

 

Como esta es una desigualdad “mayor que”, la solución puede reescribirse de acuerdo con la regla de “mayor que”. Resuelve cada desigualdad.

 

Comprobar

 

 

Comprueba las soluciones en la ecuación original para asegurarte que son correctas. Comprueba el punto final de la primera ecuación relacionada, −7.

Intenta con −10, un valor menor que −7, para comprobar la desigualdad.

 

 

Comprueba el punto final de la segunda ecuación relacionada, 1.

Intenta con 5, un valor mayor que 1.

 

¡Ambas soluciones funcionan!

Respuesta

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver y.

Empieza por despejar el valor absoluto sumando 9 a ambos lados de la desigualdad.

 

 

 

 

Divide entre 3 ambos lados para despejar el valor absoluto.

 

Escribe la desigualdad de valor absoluto usando la regla “menor que”.

 

 

Resta 6 de cada parte de la desigualdad.

 

 

 

 

Divide entre 2 para despejar la variable.

Respuesta

 

 

 

De la misma forma que con las ecuaciones, puede haber ocasiones en las que no hay una solución para una desigualdad.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x.

|2x + 3| + 9 ≤ 7

 

 

Despeja el valor absoluto restando 9 de ambos lados de la desigualdad.

El valor absoluto de una cantidad nunca es un número negativo, por lo que la desigualdad no tiene solución.

Respuesta

No hay solución

 

 

 

Sumario

Para resolver una ecuación que contiene un valor absoluto, debe despejar la expresión que contiene el valor absoluto. Una vez hecho esto, puedes reescribir la ecuación de valor absoluto como dos ecuaciones, donde uno de los enunciados es igual al valor dentro del valor absoluto a la cantidad positiva en el otro lado de la ecuación y el otro es igual al valor absoluto del valor negativo (u opuesto).

 

Las desigualdades también pueden contener valores absolutos. Las desigualdades absolutas también pueden resolverse reescribiéndolas usando desigualdades compuestas.