Fórmulas

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Evaluar una fórmula usando sustitución.

·         Reorganizar fórmulas para despejar variables específicas.

 

Introducción

 

Muchos problemas del mundo real tienen ecuaciones bien conocidas que describen las relaciones entre diferentes cantidades. Estas ecuaciones que describen una regla o una relación se llaman fórmulas. Seguramente has usado fórmulas para calcular cosas como el área de un rectángulo (área = largo • ancho), la velocidad a la que se mueve un objeto (velocidad = distancia ÷ tiempo) o para convertir de un sistema de medida a otro. Muchas fórmulas incluyen más de una variable. Si bien las fórmulas tienen un nombre especial, se escriben y se resuelven como cualquier otra ecuación.

 

Evaluando Fórmulas Usando Sustitución

 

Conocemos muchas fórmulas que se relacionan con actividades de nuestra vida diaria. Por ejemplo, la fórmula distancia = velocidad • tiempo expresa una relación frecuentemente usada en el álgebra. Las fórmulas también se usan en la geometría. Por ejemplo, la fórmula para el área de un paralelogramo, una figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos, es base por altura, o .

 

Las fórmulas se escriben de manera que una variable está despejada. Sólo necesitas evaluar la expresión en el otro lado para un valor dado de la variable.

 

 

Ejemplo

Problema

Juan manejó su carro durante 7 horas a 50 millas por hora. Usa la fórmula d = r • t donde d = distancia, r = velocidad, y

t = tiempo para encontrar la distancia que recorrió Juan.

 

Sustituye en los valores dados para la velocidad y el tiempo de viaje. Luego calcula.

Respuesta

Juan recorrió una distancia de 350 millas.

 

 

El siguiente ejemplo ilustra una fórmula de geometría.

 

 

Ejemplo

Problema

Usando la fórmula A = bh, encuentra el área (A) de un paralelogramo con base (b) de 3.5 pulgadas y altura (h) de 7.2 pulgadas.

 

   

   

   

Sustituye las medidas en la fórmula del área.

Multiplica.

Respuesta

El área del paralelogramo es de 25.2 pulgadas cuadradas.

 

 

También puedes resolver cualquiera de las variables en la fórmula usando las técnicas algebraicas que has aprendido.

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra la base (b) de un triángulo con área (A) de 20 pies cuadrados y altura (h) de 8 pies. Usa la fórmula del área de un triángulo, .

 

  

 

     

 

     

    

     

       

 

Sustituye las medidas en la fórmula.

 

 

 

 

 

Resuelve b.

Respuesta

La base del triángulo mide 5 pies.

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Con el fin de atraer clientes a invertir su dinero, muchos bancos ofrecen cuentas que ganan intereses. Funcionan así: un cliente deposita cierta cantidad de dinero (llamada el Principal, o P), que crece lentamente de acuerdo con la tasa de interés (R, medido en porcentaje) y el tiempo (T, usualmente medido en meses) que el dinero permanece en la cuenta. La cantidad ganada en el tiempo se llama interés (I), que luego se le entrega al cliente.

 

La forma más simple de calcular el interés ganado en una cuenta es con la fórmula .

 

Si un cliente deposita un principal de $2000 a una tasa mensual de 0.7%, ¿cuál es la cantidad total que tendrá a los 24 meses?

 

 

 

Sustituye los valores dados para el Principal (P), Tasa (R), y Tiempo (T).

 

 

Reescribe 0.7% como el decimal 0.007, luego multiplica.

Suma el interés y la cantidad original del principal para obtener la cantidad total en su cuenta.

Respuesta

El cliente tendrá $2336 después de 24 meses.

 

 

Resolviendo una Variable Específica de una Fórmula

 

Si fueras a usar la fórmula para encontrar muchos valores de b, dada A y h, sería más eficiente resolver primero la fórmula para b. Como muchas fórmulas son ecuaciones, puedes resolver para una variable distinta de la misma forma que resuelves una ecuación. A esto se le llama resolver la fórmula para b.

 

En el ejemplo siguiente, resolvemos la fórmula d = r • t  para t. Esto sería útil si quisieras calcular la cantidad de tiempo que toman varios viajes en auto.

 

 

Ejemplo

Problema

Resuelve la ecuación d = r • t para t.

 

 

 

 

Para resolver esta fórmula para t, despeja esta variable a un lado de la ecuación.

 

Puedes hacerlo mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad y multiplicar ambos lados por .

 

 

 

 

 

             

Multiplicar por es equivalente a dividir entre r siempre que r ≠ 0.

 

La cantidad , entonces .

 

 

Respuesta

              

 

 

 

Observa que la respuesta  es la respuesta correcta. Sin embargo, tradicionalmente escribimos la variable a la izquierda. Entonces con la igualdad, las expresiones pueden cambiarse a .

 

 

Resuelve la fórmula del volumen de un sólido rectangular, , para el ancho (w).

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Para despejar la variable w, debiste dividir ambos lados de la fórmula entre lh (o hl). La respuesta correcta es .

 

B)

Correcto. Para despejar la variable w, sólo necesitas dividir ambos lados de la fórmula entre l y h. El orden en el que estas variables se escriben no afecta su producto. Entonces, .

 

C)

Incorrecto. Para despejar la variable w, debiste dividir ambos lados de la fórmula entre lh (o hl), no sólo cambiar V y w en la fórmula. La respuesta correcta es .

 

D)

Incorrecto. Esta ecuación es válida, pero no resuelve w. Para despejar w, debes dividir ambos lados de la fórmula entre lh (o hl), no entre w. La respuesta correcta es .

 

 

 

Pregunta Avanzada

Resuelve la fórmula para el área de un trapezoide,  para .

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Para despejar la variable , empieza por multiplicar por 2 ambos lados de la ecuación. Luego divide entre h. La nueva ecuación es: . La solución correcta es: .

 

B)

Incorrecto. Parece que multiplicaste y dividiste incorrectamente. Para eliminar la fracción del lado derecho, multiplica por 2 ambos lados de la ecuación. Esto te da la nueva ecuación: . Ahora divide entre h para despejar . La solución correcta es: .

 

C)

Correcto. Para despejar la variable , multiplica por 2 ambos lados de la ecuación, divide entre h, y luego resta . En términos de , la fórmula se escribe .

 

D)

Incorrecto. Para despejar la variable , empieza por multiplicar por 2 ambos lados de la ecuación. Luego divide entre h. La nueva ecuación es: . La solución correcta es: . La solución correcta es: .

 

 

 

Resolviendo Fórmulas Complejas para una Variable Específica

 

Algunas fórmulas pueden resolverse para una variable distinta en un solo paso. Otras son fórmulas de varios pasos. Puede sonar como una tarea difícil, pero puede hacerse, un paso a la vez.

 

Por ejemplo, veamos la fórmula del perímetro de un rectángulo, . Esta fórmula es útil si nos dan la el largo y el ancho. Pero ¿qué si en lugar de eso nos dan el perímetro y el largo? Si te piden calcular el ancho de varios rectángulos, sería más eficiente resolver primero la fórmula para w, el ancho.

 

Los pasos para reorganizar una fórmula más compleja se muestran en el ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Expresa la fórmula para el perímetro de un rectángulo, , en términos del ancho, w.

 

 

Despeja el término que contiene la variable, w, restando el otro término en su expresión, , de ambos lados.

 

 

Luego, elimina el coeficiente de w dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuación.

 

 

 

 

 

Puedes reescribir la ecuación de manera que la variable quede en el lado izquierdo.

Respuesta

 

 

 

Veamos una fórmula más compleja que incluye paréntesis y fracciones, la fórmula para convertir temperaturas de grados Fahrenheit a grados Centígrados.

 

Seguramente te acuerdas de la fórmula para convertir de la escala Centígrada a la escala Fahrenheit. Sin embargo, puedes reorganizar la fórmula que ya conoces.

 

 

Ejemplo

Problema

Resuelve la fórmula mostrada abajo para convertir de Fahrenheit a Centígrados para F.

 

 

Para despejar la variable F, sería mejor primero eliminar la fracción.

 

Multiplica ambos lados de la ecuación por .

 

 

 

Suma 32 a ambos lados.

Respuesta

         

 

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Expresa la fórmula para el área de un cilindro, , en términos de la altura, h.

 

Despeja el término que contiene la variable, h, restando  de ambos lados.

 

 

 

Luego, despeja la variable h dividiendo ambos lados de la ecuación entre .

 

Puedes reescribir la ecuación para que la variable despejada quede en el lado izquierdo.

Respuesta

 

 

 

Sumario

 

Las fórmulas son un tipo de ecuación. Normalmente contienen múltiples variables, describen relaciones importantes, y proveen una manera fácil de calcular cantidades que se utilizan frecuentemente. Si bien están escritas para resolver el valor de una variable en particular, las fórmulas se pueden resolver para otras variables en la fórmula siguiendo las reglas estándar del álgebra.