El Orden de las Operaciones

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Usar el orden de las operaciones para simplificar expresiones.

·         Simplificar expresiones que contienen valores absolutos.

 

 

Las personas necesitamos un conjunto de reglas comunes para realizar cálculos básicos. ¿A qué es igual 3 + 5 • 2l? ¿Es 16 o 13? Tu respuesta depende de cómo entiendes el orden de las operaciones — un conjunto de reglas que te dicen el orden en el que se han de realizar la suma, la resta, la multiplicación y la división en un cálculo.

 

Los matemáticos han desarrollado un orden estándar que nos dice qué operaciones realizar primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener respuestas diferentes para el mismo problema.

 

 

Los bloques de construcción del orden de las operaciones son las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de las operaciones dice que:

• primero multiplicas o divides, de izquierda a derecha
• luego sumas o restas, de izquierda a derecha

 

¿Cuál es la respuesta correcta para la expresión 3 + 5 • 2? Usa el orden de operaciones anterior.

 

Primero multiplica.     3 + 5 • 2 = 3 + 10

Luego suma.              3 + 10 = 13

 

Este orden de operaciones aplica a todos los números reales.

 

 

Cuando estás aplicando el orden de las operaciones a expresiones que contienen fracciones, decimales, y números negativos, necesitarás recordar cómo hacer estos cálculos también.

 

 

 

 

Cuando estás evaluando expresiones, a veces verás exponentes que representan una multiplicación repetida. Recuerda que una expresión como por ejemplo  es la notación exponencial de 7 • 7. (La notación exponencial tiene dos partes: la base y el exponente o potencia. En , 7 es la base y 2 es el exponente: el exponente determina cuántas veces se multiplica la base por sí misma.)

 

Los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida; el orden de las operaciones lo pone antes de cualquier multiplicación, división, resta, y suma.

 

 

 

 

 

Simplificar: .   A) −300   B) 0   C) 100   D) 300   Mostrar/Ocultar Respuesta A) −300 Incorrecto. Seguramente encontraste · 5 = 20, elevaste al cuadrado 20, y luego restaste 400 de 100. El orden de las operaciones dice que primero debes simplificar el término con el exponente, luego multiplicar, luego restar.  = 25, y 25 · 4 = 100, y 100 – 100 = 0. La respuesta correcta es 0.   B) 0 Correcto. Para simplificar la expresión, simplifica primero el término con el exponente, luego multiplica, y luego resta.  = 25, y 25 · 4 = 100, y 100 – 100 = 0.   C) 100 Incorrecto. El orden de las operaciones dice que primero debes simplificar el término con el exponente, luego multiplicar, luego restar.  = 25, y 25 · 4 = 100, y 100 – 100 = 0. La respuesta correcta es 0.   D) 300 Incorrecto. Seguramente calculaste  = 25, restaste eso de 100, y multiplicaste por 4. El orden de las operaciones dice que primero debes simplificar el término con el exponente, luego multiplicar, luego restar.  = 25, y 25 · 4 = 100, y 100 – 100 = 0. La respuesta correcta es 0.

 

 

 

La última pieza a considerar en el orden de las operaciones son los símbolos de agrupación. Estos incluyen los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, e incluso barras de fracción. Estos símbolos normalmente se usan para ayudarnos a organizar expresiones matemáticas (los verás frecuentemente en el álgebra).

 

Los símbolos de agrupación se usan para indicar qué operaciones se hacen primero, especialmente si se desea un orden específico. Si hay una expresión a simplificar dentro de los símbolos de agrupación, sigue el orden de las operaciones.

 

El Orden de las Operaciones   ·         Realiza primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción. ·         Evalúa los exponentes o raíces cuadradas. ·         Multiplica o divide, de izquierda a derecha. ·         Suma o resta, de izquierda a derecha.

 

Cuando hay símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, calcula de adentro hacia afuera. Es decir, empieza simplificando el símbolo de agrupación de adentro.

 

Recuerda que los paréntesis también pueden usarse para mostrar multiplicación. En el ejemplo siguiente, se muestran ambos usos de los paréntesis para representar una agrupación, y también para expresar una multiplicación.

 

 

 

 

 

 

 

Simplifica   A) 25   B) 26   C) 151   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 25 Incorrecto. ¡Seguramente olvidaste sumar el 1! Simplifica primero las expresiones dentro del juego de símbolos de agrupación (5), luego eleva al cuadrado la expresión (25), luego suma 1. La respuesta correcta es 26.   B) 26 Correcto. La cantidad dentro de los corchetes es 5. 52 es 25, y 25 + 1 = 26.   C) 151 Incorrecto. ¡Seguramente elevaste al cuadrado el numerador de la fracción sin simplificar primero toda la fracción! Primero, simplifica toda la expresión dentro de los símbolos de agrupación (5), luego eleva al cuadrado la expresión (25), luego suma 1. La respuesta correcta es 26.   D) Incorrecto. ¡Seguramente elevaste al cuadrado el denominador de la fracción sin simplificar primero toda la fracción! Primero, simplifica toda la expresión dentro de los símbolos de agrupación (5), luego eleva al cuadrado la expresión (25), luego suma 1. La respuesta correcta es 26.

 

 

 

El Orden de las Operaciones   ·         Realiza primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción. ·         Evalúa los exponentes o raíces cuadradas. ·         Multiplica o divide, de izquierda a derecha. ·         Suma o resta, de izquierda a derecha.

 

Es importante conocer el orden de las operaciones, pero algunas veces es difícil de recordar. Algunas personas usan una frase que les ayuda a recordar el orden de las operaciones. La frase es “Please Excuse My Dear Aunt Sally,” o “PEMDAS”. La primera letra de cada palabra empieza con la misma letra que una operación aritmética.

 

Please  Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)

Excuse  Exponentes (y raíces)

My Dear  Multiplicación y División (de izquierda a derecha)

Aunt Sally  Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)

Nota: A pesar de que en la frase la multiplicación aparece primero que la división, la división puede realizarse primero. Si es la multiplicación o la división la que se realiza primero depende de cuál aparece primero de izquierda a derecha. Lo mismo sucede con la suma y la resta. ¡No dejes que la frase te confunda en esto!

 

 

Las expresiones de valor absoluto son uno de los métodos finales para agrupar. Recuerda que el valor absoluto de una cantidad es siempre positivo o 0.

 

Cuando ves una expresión de valor absoluto incluida en una expresión más grande, sigue el orden de las operaciones y evalúa la expresión con el símbolo de valor absoluto. Luego toma el valor absoluto de la expresión. El ejemplo siguiente muestra cómo se hace esto.

 

 

 

Simplifica: (5|3 – 4|)3.   A) −125   B) 1331   C) −49   D) 125   Mostrar/Ocultar Respuesta A) −125 Incorrecto. Seguramente olvidaste tomar el valor absoluto de la expresión |3 – 4|. Recuerda que el valor absoluto será 0 o un número positivo. |3 – 4| = |−1| = 1, y 5 veces 1 es 5. La respuesta correcta es 125.   B) 1331 Incorrecto. Seguramente ignoraste la expresión de valor absoluto y calculaste 113. Evalúa |3 – 4|, multiplica por 5, y luego eleva al cubo ese número: |3 – 4| = |−1| = 1, y 5 veces 1 es 5; 53 = 125. La respuesta correcta es 125.   C) −49 Incorrecto. Seguramente restaste 43 de 5(3). Evalúa |3 – 4|, multiplica por 5, y luego eleva al cubo ese número: |3 – 4| = |−1| = 1, y 5 veces 1 es 5; 53 = 125.   D) 125 Correcto. |3 – 4| = |−1| = 1, y 5 veces 1 es 5. 5 elevado al cubo es 125.

 

 

 

El orden de las operaciones nos da un estándar, un método consistente a usar para simplificar cadenas de números en expresiones algebraicas. Sin el orden de las operaciones, otras personas podrían encontrar resultados distintos del mismo problema. Algunas personas recuerdan el orden de las operaciones usando la frase “Please Excuse My Dear Aunt Sally” o simplemente, PEMDAS.