Multiplicando y Dividiendo Números Reales
Objetivos de Aprendizaje
· Multiplicar dos o más números reales.
· Simplificar usando la propiedad de identidad de la multiplicación.
· Dividir números reales.
· Resolver problemas de aplicación que requieren la multiplicación o la división de números reales.
Introducción
Después de la suma y la resta, las siguientes operaciones que aprendiste fueron la multiplicación y la división. Seguramente te acuerdas que la multiplicación es una forma de calcular una “suma repetida,” y también funciona para los números negativos.
La multiplicación y la división son operaciones inversas, de la misma forma que la suma y la resta. Recuerda que cuando divides dos fracciones, multiplicas por el recíproco.
Multiplicar números reales no es tan diferente de multiplicar números enteros o fracciones positivas. Sin embargo, no has aprendido sobre el efecto que tiene el signo negativo en el producto.
Con los números enteros, puedes pensar en la multiplicación como una suma repetida. Usando la recta numérica, puedes hacer saltos de cierto tamaño. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el producto de 3 · 4 como 3 saltos de 4 unidades cada uno.
Entonces, para multiplicar 3 (−4), puedes mirar hacia la izquierda (en la dirección negativa) y hacer tres “saltos” hacia adelante (en la dirección negativa).
Usa la recta numérica interactiva para ver cómo multiplicar enteros.
El producto de un número positivo y un número negativo (o un negativo y un positivo) es negativo. También puedes ver esto usando patrones. En la siguiente lista de productos, el primer número siempre es 3. El segundo número disminuye por 1 en cada renglón (3, 2, 1, 0, −1, −2). Observa el patrón en los productos de los números. ¿Qué números seguirían el patrón en los dos últimos productos?
3(3) = 9
3(2) = 6
3(1) = 3
3(0) = 0
3(−1) = ?
3(−2) = ?
Observa que el patrón es el mismo si se cambia el orden de los factores:
3(3) = 9
2(3) = 6
1(3) = 3
0(3) = 0
−1(3) = ?
−2(3) = ?
Toma un momento para pensar sobre el patrón anterior antes de seguir leyendo.
Conforme disminuye el factor por 1, el producto aumenta por 3. Entonces 3(−1) = −3 y 3(−2) = −6.
Si continúas el patrón más allá, verás que multiplicar 3 por un entero negativo te da un número negativo.
| El Producto de un Número Positivo y un Número Negativo.
Para multiplicar un número positivo y un número negativo, multiplica sus valores absolutos. El producto es negativo. |
Puedes usar la idea del patrón para ver cómo multiplicar dos números negativos. Piensa en cómo completarías la lista de productos.
−3(3) = −9
−3(2) = −6
−3(1) = −3
−3(0) = 0
−3(−1) = ?
−3(−2) = ?
Conforme disminuye el factor por 1, el producto aumenta por 3. Entonces −3(−1) = 3, −3(−2) = 6.
Multiplicar −3 por un entero negativo resulta en un número positivo.
| El Producto de Dos Números con el Mismo Signo (ambos positivos o ambos negativos).
Para multiplicar dos números positivos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo.
Para multiplicar dos números negativos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula −3.8(0.6). | |
|
| 3.8 x 0.6 2.28 | Multiplica los valores absolutos como lo harías normalmente.
Coloca el punto decimal contando los valores de posición.
3.8 tiene un lugar después del punto decimal y 0.6 tiene 1 lugar después del punto decimal, entonces el producto tiene 1 + 1 o 2 lugares después del punto decimal. |
| Respuesta | −3.8(0.6) = −2.28 | El producto de un negativo y un positivo es negativo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula | |
|
|
| Multiplica los valores absolutos de los números.
Primero, multiplica los numeradores para obtener su producto. Luego multiplica los denominadores para obtener su producto. Reescribe en términos simples si es necesario. |
Respuesta |
| El producto de dos números negativos es positivo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula 43y cuando y = –3. | |
|
| 43(−3)
43 (3) = 129 | Sustituye −3 por y en la expresión.
Multiplica 43 y 3. |
|
Respuesta |
43(−3) = −129 | El producto de un número positivo y un número negativo es negativo. |
Para resumir:
positivo • positivo: El producto es positivo.
negativo • negativo: El producto es positivo.
negativo • positivo: El producto es negativo.
positivo • negativo: El producto es negativo.
Puedes ver que el producto de dos números negativos es un número positivo. Entonces, si estás multiplicando más de dos números, puedes contar el número de factores negativos.
Multiplicando Más de Dos Números Negativos
Si hay un número par (0, 2, 4, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es positivo. Si hay un número impar (1, 3, 5, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es negativo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula 3(−6)(2)( −3)( −1). | |
|
| 3(6)(2)(3)(1) 18(2)(3)(1) 36(3)(1) 108(1) 108 | Multiplica los valores absolutos de los números. |
|
| 3(−6)(2)( −3)( −1) | Cuenta el número de factores negativos. Hay tres (−6, −3, −1). |
| Respuesta | 3(−6)(2)( −3)( −1) = −108 | Como hay un número impar de factores negativos, el producto es negativo. |
| Calcula (−30)( −0.5).
A) −150 B) −15 C) 15 D) 150
|
Existe un número que puede ser sumado una y otra vez, sin que el resultado deje de ser el mismo. Ese número, 0, se llama identidad aditiva.
Existe también otro número que se puede incluir como factor las veces que quieras, y nunca cambiará el valor del producto. Ese número, 1, se llama identidad multiplicativa.
7(1) = 7 −7(1) = −7
1(3.6) = 3.6 
x(1) = x (1)x = x
La propiedad de identidad de la multiplicación dice que x(1) = x y (1)x = x.
Puedes verlo de la siguiente manera: Multiplicar por 1 le permite al otro número mantener su identidad.
| ¿A qué equivale 1(y), cuando y = −3?
A) −3 B) 1 C) 3
|
Inversos Multiplicativos
Seguramente recuerdas que dos números son inversos aditivos si su suma es 0, la identidad aditiva.
3 y −3 son inversos aditivos porque 3 + (−3) = 0.
Dos números son inversos multiplicativos si su producto es 1, la identidad multiplicativa.
y 
son inversos multiplicativos porque 
.
Recuerda que cuando divides fracciones, multiplicas por su recíproco. Recíproco es otro nombre para el inverso multiplicativo (de la misma manera que opuesto es otro nombre para el inverso aditivo).
Una manera sencilla de encontrar el inverso multiplicativo es sólo “voltear” el numerador y el denominador como lo hacías para encontrar el recíproco. Aquí hay algunos ejemplos:
El recíproco de 
es 
porque 
El recíproco de 3 es 
porque 
El recíproco de 
es 
porque 
El recíproco de 1 es 1 porque 1(1) = 1.
| ¿Cuál es el recíproco, o inverso multiplicativo, de −12?
A) −12 B) 1 C) D) 12 E)
|
y 
, la respuesta correcta es
Cuando dividías fracciones positivas, aprendiste a multiplicar por el recíproco. También haces esto para dividir números reales.
Piensa en dividir una bolsa de 26 canicas en dos bolsas más pequeñas con el mismo número de canicas en cada una. Puedes también decir que cada bolsa tiene un medio de las canicas.
Observa que 2 y 
son recíprocos.
Inténtalo de nuevo, dividiendo la bolsa de 36 canicas en dos bolsas más pequeñas.
| Número de bolsas | Dividiendo entre el número de bolsas | Multiplicando por el recíproco |
| 3 |
|
|
| 4 |
|
|
| 6 |
|
|
Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. (Esto es, usas el recíproco del divisor, el segundo número en el problema de división.)
| Ejemplo | |||
| Problema | Calcula | ||
|
|
| Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco. el recíproco de | |
|
|
| Multiplica. | |
| Respuesta |
|
| |
es 
.
| Calcula
A) B) C) D)
|
.
.
Ahora veamos lo que significa cuando uno más de los números es negativo. Un número y su recíproco tienen el mismo signo. Como la división se reescribe como una multiplicación usando el recíproco del divisor, y tomar el recíproco no cambia ninguno de los signos, la división sigue las mismas reglas de la multiplicación.
Reglas de la División
Cuando divides, reescribe el problema como una multiplicación usando el recíproco del divisor como el segundo factor.
Cuando un número es positivo y el otro es negativo, el cociente es negativo.
Cuando ambos números son negativos, el cociente es positivo.
Cuando ambos números son positivos, el cociente es positivo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula | |
|
|
| Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco. |
|
|
| Multiplica. Como un número es positivo y el otro es negativo, el producto es negativo. |
| Respuesta |
|
|
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula | |
|
|
| Sustituye |
|
|
| Reescribe la división como una multiplicación por el recíproco. |
|
|
| Multiplica. Hay un número par de números negativos, entonces el producto es positivo. |
| Respuesta |
| Escribe la fracción. |
por x en la expresión.
.
Recuerda que una barra de fracción también significa división. Entonces, un signo negativo enfrente de la fracción pertenece al numerador, el denominador, o toda la fracción: 
. En cada caso, toda la fracción es negativa porque sólo hay un negativo en la división.
Situaciones que requieren la multiplicación o la división pueden usar números negativos y números racionales.
| Ejemplo | ||
| Problema | Carl no sabía que su cuenta bancaria estaba en 0 cuando escribió una serie de cheques de $100. Por cada cheque que pasaba, le cargarán $125 en su cuenta. (Además de los $100 de cada cheque, hubo un cargo por sobregiro de $25.) Después del primer cheque, su cuenta tenía −$125. Después de 6 cheques, ¿cuál fue el balance de su cuenta? | |
|
| −$125(6) | Cada cheque le reduce $125 a su cuenta; esto está representado por −$125. Para encontrar la cantidad que le reducen varios cheques, multiplica el número de cheques por la cantidad cargada. |
|
Respuesta | −$125(6) = −$750
La cuenta de Carl se quedó con un balance de −$750. | Multiplica. Como hay un número negativo, el producto es negativo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Brenda pensaba que llevaba 3 barras de chocolate a un picnic con 5 amigos. Cuando llegó con los chocolates, descubrió que su hermano se había comido la mitad de una barra, entonces sólo le quedaban | |
|
|
| Como los chocolates se reparten entre 6 personas, divide la cantidad entre 6. |
|
|
| Reescribe el problema como una multiplicación, usando el recíproco del divisor. |
|
|
| Cambia el número mixto a una fracción impropia. Multiplica. |
| Respuesta | A cada persona le toca |
|
de barra
| Ejemplo | ||
| Problema | Durante una tormenta, la temperatura cayó | |
|
|
| Sustituye 8 por t en la expresión. |
|
|
| Primero multiplica. Puede ser más fácil si primero reescribes 8 como Observa que como estás multiplicando un número negativo y uno positivo, el producto es negativo. Finalmente suma. Usa las reglas de la suma de números con signos diferentes. |
| Respuesta | La temperatura era de 79°F después de 8 minutos. | |
.
| En el curso de un proyecto de investigación de 18 años, la altura de un acantilado bajó debido a la erosión del suelo. Al final de este periodo, su altura medía −3 pulgadas comparada con lo que medía al inicio de la investigación. ¿Cuál es la cantidad promedio de altura que perdió el acantilado en cada año?
A) −6 in. B) C) D) 6 in.
|
in.
in.
, or
Sumario
Con la multiplicación y la división , puedes encontrar el signo de la respuesta final contando los números negativos que usaste en el producto o el cociente. Si hay un número par de números negativos, el resultado es positivo, Si hay un número impar de números negativos, el resultado es positivo. La división se puede escribir como una multiplicación, usando el recíproco o el inverso multiplicativo del divisor..
