Números Reales y Racionales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Identificar a qué subconjunto de los números reales pertenece un número.

·         Localizar puntos en una recta numérica.

·         Comparar números racionales.

·         Identificar números racionales e irracionales.

 

Has trabajado con fracciones y decimales, como 3.8 y . Estos números se encuentran entre los números enteros de la recta numérica. Hay otros números que pueden encontrarse ahí también. Cuando incluyes todos los números que están en la recta numérica, tienes la recta numérica real. Veamos un poco más sobre la recta numérica para conocer dichos números.

 

 

La fracción , el número mixto , y el decimal 5.33… (o ) representan el mismo número. Este número pertenece al conjunto que los matemáticos llaman números racionales. Los números racionales son números que pueden escribirse como la razón de dos enteros. Sin importar qué forma se usa,  es racional porque el número puede escribirse como la razón de 16 sobre 3, o .

A continuación se muestran ejemplos de números racionales.

0.5, porque puede escribirse como

 

, porque puede escribirse como

 

−1.6, porque puede escribirse como

 

4, porque puede escribirse como

 

-10, porque puede escribirse como

 

Todos estos números pueden escribirse como la razón de dos enteros.

 

Puedes localizar estos puntos en la recta numérica.

 

En la siguiente ilustración, se muestran puntos para 0.5 o , y para 2.75 o .

Como has visto, los números racionales pueden ser negativos. Cada número racional positivo tiene su opuesto. El opuesto de  es , por ejemplo.

 

Ten cuidado al localizar los números negativos en la recta numérica. El signo negativo significa que el número está a la izquierda del 0, y el valor absoluto del número es su distancia con 0. Entonces para localizar el −1.6 en la recta numérica, debes encontrar un punto que esté a |−1.6| o 1.6 unidades a la izquierda del 0. Esto es más que 1, pero menos que 2.

 

 

 

 

¿Cuál de los siguientes puntos representa el ?   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Este punto está mas allá de 2 unidades a la izquierda del 0. El punto debería estar a 1.25 unidades a la izquierda del 0. La respuesta correcta es el punto B.   B) Correcto. Los números negativos están a la izquierda del 0, y  debería estar 1.25 unidades a la izquierda. El punto B es el único punto que está a más de 1 unidad y menos de 2 unidades a la izquierda del 0.   C) Incorrecto. Observa que el punto está entre el 0 y la primera unidad a la izquierda del 0, por lo que representa un número entre -1 y 0. El punto para  debería estar 1.25 unidades a la izquierda del 0. Pudiste haber encontrado correctamente 1 unidad a la izquierda, pero en lugar de continuar hacia la izquierda, te moviste a hacia la derecha. La respuesta correcta es el punto B.   D) Incorrecto. Los números negativos están a la izquierda del 0, no a la derecha. El punto para  debe estar 1.25 unidades a la izquierda del 0. La respuesta correcta es el punto B.   E) Incorrecto. Este punto está 1.25 a la derecha del 0, por lo que tiene la distancia correcta pero en la dirección contraria. Los números negativos están a la izquierda del 0. La respuesta correcta es B.

 

 

 

Cuando dos números enteros positivos se grafican en la recta numérica, el número a la derecha es siempre mayor que el número a la izquierda.

 

Lo mismo ocurre cuando comparamos dos números enteros o números racionales. El número a la derecha siempre es más grande que el número a la izquierda.

 

Aquí hay algunos ejemplos.

 

 

 

 

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?   i. −4.1 > 3.2 ii. −3.2 > −4.1 iii. 3.2 > 4.1 iv. −4.6 < −4.1   A) i y iv B) i y ii C) ii y iii D) ii y iv E) i, ii, y iii   Mostrar/Ocultar Respuesta A) i y iv Incorrecto. El −4.6 está a la izquierda del −4.1, entonces −4.6 < −4.1. Sin embargo, los números positivos como el 3.2 siempre están a la derecha de los números negativos como el −4.1, entonces 3.2 > −4.1 o −4.1 < 3.2. La respuesta correcta es ii y iv, −3.2 > −4.1 y −4.6 < −4.1.   B) i y ii Incorrecto. el −3.2 está a la derecha del −4.1, entonces −3.2 > −4.1. Sin embargo, los números positivos como el 3.2 siempre están a la derecha de los números negativos como el −4.1, entonces 3.2 > −4.1 o −4.1 < 3.2. La respuesta correcta es ii y iv, −3.2 > −4.1 y −4.6 < −4.1.   C) ii y iii Incorrecto. −3.2 está a la derecha del −4.1, entonces −3.2 > −4.1. Sin embargo, el 3.2 está a la izquierda del 4.1, entonces 3.2 < 4.1. La respuesta correcta es ii y iv, −3.2 > −4.1 y −4.6 < −4.1.   D) ii y iv Correcto. el −3.2 está a la derecha del −4.1, entonces −3.2 > −4.1. También, el −4.6 está a la izquierda del −4.1, entonces −4.6 < −4.1.   E) i, ii, y iii Incorrecto. el −3.2 está a la derecha del −4.1, entonces −3.2 > −4.1. Sin embargo, los números positivos como el 3.2 siempre están a la derecha de los números negativos como el −4.1, entonces 3.2 > −4.1 o −4.1 < 3.2. También, el 3.2 está a la izquierda del 4.1, entonces 3.2 < 4.1. La respuesta correcta es ii y iv, −3.2 > −4.1 y −4.6 < −4.1.

 

 

 

También hay números que no son racionales. Los números irracionales no pueden escribirse como la razón de dos enteros.

 

Cualquier raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto, por ejemplo el , es irracional. Los números irracionales normalmente se escriben de tres maneras: como una raíz (como la raíz cuadrada), usando un símbolo especial (como ), o como un decimal que no se repite ni que termina.

 

Los números con una parte decimal pueden ser decimales exactos o decimales periódicos. Exactos significa que los dígitos eventualmente terminan (aunque podrías seguir escribiendo 0s al final). Por ejemplo, 1.3 es periódico, porque hay un último dígito. El decimal de  es 0.25. Los decimales exactos siempre son racionales.

 

Los decimales periódicos tienen dígitos (distintos de 0) que continúan para siempre. Por ejemplo, considera la forma decimal de , que es 0.3333…. Los 3s continúan indefinidamente. O la forma decimal de  , que es 0.090909…: la secuencia “09” continúa para siempre.

 

Un decimal no periódico tiene dígitos que nunca forman un patrón repetitivo. El valor de , por ejemplo, es 1.414213562…. No importa qué tan lejos vayas a la derecha, los dígitos nunca repiten una secuencia anterior.

 

 

 

 

 

 

 

 

El conjunto de los números reales está hecho de la combinación del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Los números reales incluyen a los números naturales o números contables, números enteros positivos, números enteros, números racionales, y números irracionales. El conjunto de los números reales contiene a todos los números que tienen un lugar en la recta numérica.

 

Conjuntos de Números   Números naturales                   1, 2, 3, …   Números enteros positivos       0, 1, 2, 3, …   Números enteros                      …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …   Números racionales                  números que pueden escribirse como la razón de dos enteros — los números racionales son exactos o periódicos cuando se escriben en su forma decimal   Números irracionales                números que no pueden escribirse como la razón de dos enteros — los números irracionales son no periódicos cuando se escriben en su forma decimal   Números reales                         cualquier número que sea racional o irracional

 

 

 

 

 

 

 

 

¿A qué conjuntos de números pertenece el ?   números enteros positivos números enteros números racionales números irracionales números reales   A) sólo a los números racionales B) sólo a los números racionales C) a los números racionales y a los números reales D) a los números irracionales y a los números reales E) a los números enteros, los números racionales, y a los números reales F) a los números enteros positivos, a los números enteros, a los números racionales, y a los números reales   Mostrar/Ocultar Respuesta A) sólo a los números racionales Incorrecto. El número es racional (está escrito como la razón entre dos enteros) pero también es real. Todos los números racionales son números reales. La respuesta correcta es número racional y número real, porque todos los números racionales también son reales.   B) sólo a los números racionales Incorrecto. Los números irracionales no pueden escribirse como la razón entre dos números enteros. La respuesta correcta es número racional y número real, porque todos los números racionales también son reales.   C) a los números racionales y a los números reales Correcto. El número está entre los enteros, por lo que no puede ser un número entero ni un número entero positivo. Está escrito como la razón entre dos enteros, por lo que es un número racional y no irracional. Todos los números racionales son números reales, por lo que este número es racional y real.   D) a los números irracionales y a los números reales Incorrecto. El número está entre dos enteros, por lo tanto no es un entero. La respuesta correcta es número racional y número real.   E) a los números enteros, los números racionales, y a los números reales Incorrecto. El número está entre dos enteros, por lo tanto no es un entero ni un entero positivo. La respuesta correcta es número racional y número real.   F) a los números enteros positivos, a los números enteros, a los números racionales, y a los números reales Incorrecto. El número está entre los números enteros, por lo que no puede ser un entero ni un entero positivo. La respuesta correcta es número racional y número real.

 

El conjunto de los números reales contiene a todos los números que están en la recta numérica. Esto incluye a los números naturales o contables, a los números enteros positivos, y a los números enteros. También incluye a los números racionales, que son números que pueden escribirse como la razón entre dos números enteros, y los números irracionales, que no pueden escribirse como la razón entre dos enteros. Cuando comparamos dos números, el que tiene el valor mayor estará a la derecha del otro número en la recta numérica.