Modelado matemático con funciones exponenciales y logarítmicas

 

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver problemas de aplicación que incluyan funciones logarítmicas.

·         Resolver problemas de aplicación que incluyan funciones exponenciales.

 

Introducción

 

Has visto muchos tipos distintos de funciones. Sabes que cada una puede usarse para modelar algún tipo de situación en el mundo real. ¡Las funciones exponenciales y logarítmicas no son la excepción!

 

Usando las funciones logarítmicas

 

El poder de los logaritmos consiste en su utilidad para resolver ecuaciones exponenciales. Algunos ejemplos incluyen sonido (medidas de decibeles), terremotos (escala Richter), el brillo de las estrellas y química (balance de pH, una medida de acidez y alcalinidad).

 

Veamos la escala Richter, una función logarítmica que se usa para medir la magnitud de los terremotos. La magnitud de un terremoto se relaciona con cuánta energía libera. Instrumentos llamados sismógrafos detectan el movimiento de la tierra; el movimiento más pequeño que puede detectarse en un sismógrafo tiene una donde con amplitud A0.

 

A – la medida de la amplitud de la onda del terremoto

A0 – la amplitud de la onda más pequeña detectable (u onda estándar)

 

De aquí puedes encontrar R, la medida en la escala de Richter de la magnitud del terremoto usando la fórmula:

 

 

La intensidad de un terremoto típicamente se mide entre 2 y 10 en la escala de Richter. Cualquier terremoto que se registra por debajo de 5 es un terremoto menor; pueden mover un poco el suelo, pero normalmente no son lo suficientemente fuertes para causar algún daño. Los terremotos que miden entre 5 y 7.9 en la escala de Richter son mucho más severos y cualquier terremoto por encima de 8 causará mucho daño. (El grado más alto jamás registrado para un terremoto fue de 9.5, durante el terremoto de 1960 en Valdivia, Chile.)

 

 

Ejemplo

Problema

Un terremoto se mide con una amplitud 392 veces más grande que A0. ¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter, en décimas?

 

 

 

 

Usa la ecuación de la escala Richter.

 

Como A es 392 veces más grande que A0, A = 392A0. Sustituye esta expresión por A.

 

 

 

 

R = log 392

R = 2.5932…

R  2.6

Simplifica la expresión

.

 

Usa una calculadora para evaluar el logaritmo.

Respuesta

La magnitud de este terremoto es de 2.6 en la escala de Richter.

 

 

Una diferencia de 1 punto en la escala Richter corresponde a una diferencia 10 veces la amplitud en la amplitud del terremoto (que se relaciona con la fuerza de la onda). Esto significa que un terremoto que mide 3.6 en la escala de Richter tiene una amplitud 10 veces más grande que uno que mide 2.6.

 

Veamos de nuevo el ejemplo anterior. En ese ejemplo, la amplitud de onda del terremoto fue 392 veces la normal. ¿Que si hubiera sido 10 veces más o 3,920 veces la normal? Para encontrar la medida de ese tamaño de terremoto en la escala de Richter., encuentras el logaritmo de 3920. Una calculadora te da el valor de 3.5932…o 3.6, cuando lo redondeamos a décimas. ¡Un punto extra en la escala de Richter equivale a mucho más movimiento!

 

El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel. La fórmula se parece mucho a la de la escala de Richter:

 

donde P es la potencia o intensidad del sonido y P0 es el sonido más débil que puede captar el humano.

 

 

Ejemplo

Problema

Una bomba de agua caliente tiene un índice de ruido de 50 decibeles. Una lavadora de platos, tiene un índice de ruido de 62 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido de la lavadora comparado con el ruido de la bomba?

 

No puedes comparar fácilmente los dos ruidos usando la fórmula, pero puedes compararlas con P0. Empieza por encontrar la intensidad del ruido para la bomba de agua caliente. Usa h para la intensidad del ruido de la bomba.

 

Divide entre 10 las ecuaciones para despejar logaritmo.

 

Reescribe la ecuación como una ecuación exponencial.

 

h = 105P0

 

Multiplica por P0 para despejar h.

 

Repite el mismo proceso para encontrar la intensidad del sonido de la lavadora de platos.

 

 

 

Para comparar d con h, puedes dividir. (Piensa: si el ruido de la lavadora de plantos es dos veces más intenso que el de la bomba, entonces d debe ser 2h — esto es,  debe ser 2.)

Usa las reglas de los exponentes para simplificar el cociente.

 

Respuesta

El ruido de la lavadora de platos es 101.2 (alrededor de 15.85) veces más intenso que el de la bomba de agua caliente.

 

 

Con los decibeles, cada incremento de 10 significa que el sonido es 10 veces más intenso. Un incremento de 20 sería 10 veces más intenso que el primer 10 y otras 10 veces más intenso para el segundo 10 — ¡por lo que un sonido de 75 decibeles es 100 veces más intenso que un sonido de 55 decibeles!

 

Aquí hay otro ejemplo de los logaritmos usados en contextos científicos. La medida de acidez de un líquido se llama pH del líquido. Está basada en la cantidad de iones de hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula del pH es:

 

pH = −log[H+]

 

donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno, dada en una unidad llamada mol/L (“moles por litro”; un mol es 6.022 x 1023 moléculas o átomos).

 

Líquidos con pH bajo (hasta 0) son más ácidos que los que tienen un pH alto. El agua, que es neutral (ni ácida ni alcalina) tiene un pH de 7.0.

 

 

Ejemplo

Problema

Si el jugo de limón tiene un pH de 1.7, ¿cuál es la concentración de iones de hidrógeno (in mol/L) en el jugo de limón, en centésimas?

 

pH = −log[H+]

Usa fórmula del pH.

 

1.7 = −log x

Sustituye el pH conocido en la fórmula y representa H+ con la variable x.

 

−1.7 = log x

Si 1.7 = −log x, entonces log x = −1.7.

 

x = 10-1.7

x = 0.02.

Resuelve x.

 

Respuesta

La concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón es de 0.02.

 

 

Una estación de monitoreo de terremotos midió la amplitud de las ondas durante un temblor reciente. La medida fue de 100,000 veces más grande que A0, la onda más pequeña detectable. ¿Qué tan alto fue el terremoto en la escala de Richter?

 

 

A) 1

B) 3

C) 5

D) 9

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 1

Incorrecto. Un terremoto que mide 1 en la escala de Richter tendría una amplitud de sólo 10 veces más que la normal. Para resolver el problema, escribe la ecuación como y resuelve R. La respuesta correcta es 5.

 

B) 3

Incorrecto. Un terremoto que mide 3 en la escala de Richter tendría una amplitud de 103 o 1,000 veces más que la normal. Para resolver el problema, escribe la ecuación como y resuelve R. La respuesta correcta es 5.

 

C) 5

Correcto. Para encontrar la medida Richter de un terremoto con ondas 100,000 veces más grandes que la normal, resuelve  . La respuesta es 5.

 

D) 9

Incorrecto. Un terremoto que mide 9 en la escala de Richter tendría una amplitud de 103 o 1,000,000,000 veces más que la normal. Para resolver el problema, escribe la ecuación como y resuelve R. La respuesta correcta es 5.

 

 

Usando funciones exponenciales

 

Las funciones exponenciales se usan en aún más contextos, incluyendo poblaciones y crecimiento bacterial, decaimiento radioactivo, interés compuesto, enfriamiento de objetos y crecimiento de fenómenos como infecciones de virus, uso de Internet y popularidad de las modas.

 

Por ejemplo, recuerda que la fórmula del interés compuesto es , donde P es el principal, A es la cantidad, r es la tasa anual, m es el número de periodos compuestos y t es el número de años.

 

 

Ejemplo

Problema

¿Cuánto tiempo tomará, en años, para duplicar el dinero está invertido a un 10% mensual compuesto?

 

P = inversión inicial

A = 2P (porque quieres que se duplique el dinero)

r = 0.1 (10% escrito como decimal)

m = 12 (12 periodos compuestos al año)

t es el valor que estamos buscando.

Encuentra los valores de las variables. Observa que no conoces P ni A, pero conoces la relación entre ellos.

 

Usa la fórmula.

 

Divide ambos lados entre P para despejar la expresión exponencial. Nota: Esto significa que P no puede ser 0, porque no puedes dividir entre 0. Pero si P fuera cero, significa que no hay dinero y el problema de inversión realmente no tendría sentido. Entonces podemos asumir que P > 0.

 

Para resolver la ecuación con la variable en el exponente, saca los logaritmos de ambos lados. Puedes usar cualquier base, por lo que el logaritmo base 10 o el logaritmo natural estaría bien, porque entonces puedes usar una calculadora para evaluar los logaritmos.

 

Usa propiedad de la potencia de los logaritmos para sacar la variable del exponente.

 

Divide para despejar t.

 

Usa una calculadora para evaluar los algoritmos.

Respuesta

El dinero se duplicará en alrededor de 7 años.

Redondea en años.

 

 

De acuerdo con el U.S. Census Bureau, la población en el año 2011 fue de 6.9 billones de personas y crecerá alrededor de 76 millones durante el año. Eso es, crecerá alrededor de 1.1%.

 

Si la población crece 1.1% cada año, entonces cada año la población se multiplica por 1.011. (El 1 representa la población actual y el .011 representa el nuevo crecimiento.) Después de dos años, la población sería de 6.9(1.011)3. En general, la población mundial P (en billones de personas) puede estimarse para t años después del 2001 con esta fórmula:

 
P = 6.9(1.011)t

 

 

Ejemplo

Problema

Usando la fórmula de la población mundial P = 6.9(1.011)t, donde t es el número de años después de 2011 y P es la población mundial en billones de personas, estimar:

a) la población en el año 2050 en cientos de millones, y

b) en qué año se duplicará la población con respecto al 2011.

 

Parte a

t = 2050 – 2011 = 39

P es lo que estamos buscando.

Primero veamos la parte a, identifica las variables. En este caso, 2050 es 39 años después del 2011, entonces t = 39.

 

P = 6.9(1.011)39

P = 10.57…

P ≈ 10.6

Usa la fórmula y una calculadora para evaluar la expresión exponencial. (Observa que “cientos de millones” es un décimo de billón, por lo que el ciento de millón más cercano es 10.6.) De acuerdo con el problema, la fórmula encuentra P en billones de personas, por lo que tienes 10.6 billones de personas.

 

Parte b

t es lo que estamos buscando.

P = 2(6.9) = 13.8

Para la parte b, buscas que la población duplique los 6.9 de 2011, entonces P = 13.8.

 

13.8 = 6.9(1.011)t

Usa la fórmula y el valor de P.

 

2 = 1.011t

Divide entre 6.9 para despejar la expresión exponencial.

 

log 2 = log(1.011)t

Como la variable t es un exponente, saca los logaritmos de ambos lados. Puedes usar cualquier base, pero la base 10 o e te permite usar la calculadora más fácilmente.

 

log 2 = t log 1.011

Usa la propiedad de la potencia de los logaritmos para sacar la variable fuera del exponente y luego resuelve t. La población llegará a doblarse alrededor del 63vo años, por lo que redondeamos a 64 (porque el problema pide redondear por año).

 

2011 + 64 = 2075

Le tomará 64 años a la población duplicarse, por lo que debes sumar 64 a 2011 para estimar el año en el que la población será de 13.8 billones de personas.

Respuesta

a) La población en el 2050 será de alrededor de 10.7 billones de personas.

b) La población duplicará (13.8 millones de personas) la población del año 2011 en el año 2075.

Asegúrate de responder las preguntas que te hacen.

 

 

Una colonia particular de bacterias duplica su población cada 15 horas. Un científico haciendo un experimento empieza con 100 células de bacteria. El espera que el número de células sea dado por la fórmula, donde t es el número de horas desde el inicio del experimento.

 

¿Después de cuántas horas puede esperar el científico tener 300 bacterias? Proporciona la respuesta a la hora más cercana.

 

A) 2 horas

B) 24 horas

C) 1,048,577 horas

D) 104,857,699 horas

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 2 horas

Incorrecto. Probablemente olvidaste que el exponente es  en lugar de t. La respuesta correcta es 24 horas.

 

B) 24 horas

Correcto. 24 horas es la solución de .

 

C) 1,048,577 horas

Incorrecto. Necesitas encontrar la solución de . La respuesta correcta es 24 horas.

 

D) 104,857,699 horas

Incorrecto. Necesitas encontrar la solución de . La respuesta correcta es 24 horas.

 

 

 

Sumario

Las funciones logarítmicas y exponenciales pueden usarse para modelar situaciones del mundo real. Las funciones logarítmicas son muy útiles cuando se trabaja con fenómenos que tienen un rango muy amplio de valores, porque te permiten mantener los valores que sí funcionan en un rango más pequeño. Las funciones exponenciales son útiles con fenómenos que cambian muy rápido o que crecen o decaen por un porcentaje en un tiempo en particular.