Introducción a las funciones exponenciales

 

Objetivos de aprendizaje

·         Graficar ecuaciones exponenciales y funciones.

·         Resolver problemas de aplicación usando problemas exponenciales y sus gráficas.

 

 

Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones exponenciales. Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = b^x, donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.

 

Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2^x bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2^x.

 

Antes de empezar,   f(0) = 2⁰ = 1

Después de 1 hora   f(1) = 2¹ = 2

Después de 2 horas f(2) = 2² = 4

En 3 horas                f(3) = 2³ = 8

etc.

 

 

Con la definición f(x) = b^x y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. La siguiente gráfica muestra f(x) = 2^x.

 

 

Como pudiste ver arriba, esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas.

 

Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión. Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces tomas el recíproco de la base para hacer el exponente positivo. Por ejemplo, .

 

 

Observa la tabla de valores. Piensa en lo que pasa conforme los valores de x aumentan — ¡también aumenta los valores de la función (f(x) o y)!

 

Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para dibujar la forma y la posición de la función. Conecta los puntos lo mejor que puedas para hacer una curva suave (no una serie de líneas rectas). Esto muestra que todos los puntos en la curva son parte de esta función.

 

 

 

Este es un ejemplo de un crecimiento exponencial. Conforme aumenta x, f(x) “crece” más rápido. Intentemos otro.

 

 

Comparemos las tres gráficas que hemos visto. Las funciones f(x) = 2^x, f(x) = 3^x y

f(x) = 4^x están graficadas a continuación.

 

 

Observa que una base más grande hace más empinada la gráfica. Una base más grande también hace que la gráfica se acerque al eje y por x > 0 y más cerca al eje x por x < 0. ¡Todas las gráficas pasan por (0, 1)!

 

 

Recuerda que para las funciones exponenciales, b > 0, pero b ≠ 1. En los ejemplos anteriores, b > 1. ¿Qué pasa cuando b está entre 0 y 1, 0 < b < 1?

 

 

Observa que la forma es similar a la forma cuando b > 1, pero esta vez la gráfica se acerca al eje x cuando x > 0, en lugar de x < 0. Esto es un decaimiento exponencial. En lugar de que los valores de la función “crezcan” conforme aumentan los valores de x, como sucedía antes, los valores de la función “decaen” o disminuyen conforme los valores de x aumentan. Se acercan cada vez más a 0.

 

 

 

 

¿Cuál de las siguientes gráficas representan ? A) B) C) D) Mostrar/Ocultar Respuesta A)   Incorrecto. Esta gráfica aumente, porque los valores de f(x) o y aumentan conforme los valores de x aumentan. (Compara los valores con x = 1 y x = 2.) Esta gráfica muestra un crecimiento exponencial, con una base mayor que 1. La respuesta correcta es la Gráfica D.   B)   Incorrecto. Esta gráfica decrece, pero todos los valores de la función son negativos. El rango de una función exponencial es siempre número positivos. La respuesta correcta es la Gráfica D.   C)   Incorrecto. Esta gráfica aumenta, pero todos los valores de la función son negativos. La gráfica correcta debe decrecer con valores positivos de la función. La respuesta correcta es la Gráfica D.   D)   Correcto. Todos los valores de la función son positivos y la gráfica decrece (mostrando decaimiento exponencial).

 

 

Las funciones exponenciales pueden usarse en muchos contextos, como el interés compuesto (dinero), crecimiento poblacional y decaimiento radioactivo. En muchos de estos, sin embargo, la función no es exactamente de la forma f(x) = b^x. Normalmente, ésta se ajusta sumando o multiplicando constantes.

 

Por ejemplo, la fórmula del interés compuesto es , donde P es el principal (la inversión inicial que genera interés) y A es la cantidad de dinero que tendrás, con interés, al final de t años, usando la tasa de interés anual de r (expresado como un decimal ) y m periodos por año. En este caso la base es el valor representado por la expresión 1 +  y el exponente es mt — un producto de dos valores.

 

 

El decaimiento radioactivo es un ejemplo de decaimiento exponencial. Los elementos radioactivos tienen una media-vida. Esta es la cantidad de tiempo que le toma a la mitad de la masa del elemento decaer en otra sustancia. Por ejemplo, el uranio 238 es un elemento radioactivo que decae lentamente con una media-vida de alrededor de 4.47 billones de años. Esto significa que eso le tomaría a 100 gramos de uranio 238 para convertirse en 50 gramos de uranio 238 (los otros 50 gramos se convertirán en otro elemento). ¡Eso es mucho tiempo! Otro ejemplo, el radón 220 tiene una media-vida de 56 segundos. ¿Qué significa esto? 100 gramos de radón 220 se convertirán en 50 gramos de radón 220 en ¡menos de un minuto!

 

Como la cantidad se vuelve la mitad cada media-vida, puede usarse una función exponencial para describir la cantidad remanente en el tiempo. La fórmula  da la cantidad remanente R de la cantidad inicial A, donde h es la media-vida del elemento y t la cantidad de tiempo transcurrido (usando la misma unidad de tiempo que la media-vida).

 

 

 

La mamá de Billy puso $100 en una cuenta bancaria cuando él nació. La cuenta ganó interés a una tasa de 30% al año, mensual. Asumiendo que no se depositó ni se retiró dinero de la cuenta, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta cuando Billy cumpla 18 años?   A) $170.24 B) $171.49 C) $8561.76 D) $20,718.34   Mostrar/Ocultar Respuesta A) $170.24 Incorrecto. Esta es la cantidad cuando la tasa es anual (m = 1). En este caso la tasa es mensual, m = 12. La respuesta correcta es $171.49.   B) $171.49 Correcto. Usando una tasa r de 0.03 y 12 periodos por año (m = 12), la fórmula da $171.49.   C) $8561.76 Incorrecto. Seguramente usaste r = 3 en lugar de r = 0.03 para la tasa anual y leíste mal el resultado de la calculadora. La respuesta correcta es $171.49.   D) $20,718.34 Incorrecto. Seguramente usaste r = 0.3 en lugar de r = 0.03 para una tasa anual. La respuesta correcta es $171.49.

 

Las funciones exponenciales de la forma f(x) = b^x aparece en diferentes contextos, incluyendo las finanzas y el decaimiento radioactivo. La base b debe ser un número positivo y no puede ser 1. Las gráficas de estas funciones son curvas que se incrementan (de izquierda a derecha) si b > 1, mostrando un crecimiento exponencial y se decrementan si 0 < b < 1, mostrando un decaimiento exponencial.