La fórmula cuadrática
Objetivos de aprendizaje
· Escribir una ecuación cuadrática en su forma estándar identificando los valores de a, b y c en la forma estándar de una ecuación cuadrática.
· Usar la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones reales.
· Usar la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones complejas.
· Calcular el discriminante e indicar el número y tipo de soluciones.
· Resolver problemas de aplicación que requieren el uso de la fórmula cuadrática.
Introducción
Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx + c = 0 y luego resuelves x, encuentras que . A esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.
Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.
La forma ax2 + bx + c = 0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a, b, o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||
Problema | Reescribe la ecuación 3x + 2x2 + 4 = 5 en su forma estándar e identifica a, b y c. | ||||||||||||||||||||||
| 3x + 2x2 + 4 = 5 3x + 2x2 + 4 – 5 = 5 – 5 | Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. En este caso, todo lo que tienes que hacer es restar 5 de ambos lados. | |||||||||||||||||||||
| 3x + 2x2 – 1 = 0 2x2 + 3x – 1 = 0 | Simplifica y escribe los términos con el exponente en la variable en orden descendiente. | |||||||||||||||||||||
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a = 2, b = 3, c = −1
| Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. Observa que como la constante 1 se resta, c debe ser negativa. | |||||||||||||||||||||
Respuesta | 2x2 + 3x – 1 = 0; a = 2, b = 3, c = −1 |
Ejemplo | |||||||||||||||||||||||
Problema | Reescribe la ecuación 2(x + 3)2 – 5x = 6 en su forma estándar e identifica a, b y c. | ||||||||||||||||||||||
| 2(x + 3)2 – 5x = 6 2(x + 3)2 – 5x – 6 = 6 – 6 | Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0. | |||||||||||||||||||||
| 2(x2 + 6x + 9) – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x + 18 – 5x – 6 = 0 2x2 + 12x – 5x + 18 – 6 = 0 2x2 + 7x + 12 = 0 | Expande el binomio cuadrado, luego simplifica combinando términos semejantes.
Asegúrate de escribir los términos con el exponente en la variable en orden descendiente. | |||||||||||||||||||||
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a = 2, b = 7, c = 12
| Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante. | |||||||||||||||||||||
Respuesta | 2x2 + 7x + 12 = 0; a = 2, b = 7, c = 12 |
Identifica los valores de a, b y c en su forma estándar de la ecuación 3x + x2 = 6.
A) a = 3, b = 1, c = 6 B) a = 1, b = 3, c = 6 C) a = 1, b = 3, c = −6 D) a = 3, b = 1, c = −6
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Derivando la fórmula cuadrática
Completemos el cuadrado en la ecuación general para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado.
· Empieza con una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0.
· Reescribe la ecuación de modo que x2 + bx quede despejado a un lado.
· Completa el cuadrado sumando a ambos lados.
· Reescribe el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
· Usa la propiedad de la raíz cuadrada y resuelve x.
¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0? Inténtalo tú antes de continuar con el ejemplo siguiente. Pista: Observa que en la ecuación general, el coeficiente de x2 no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace las expresiones un poco complicadas, pero si tienes cuidado, puede salir bien y al final, ¡tendrás la fórmula cuadrática!
Ejemplo | |||
Problema | Calcula el cuadrado de ax2 + bx + c = 0 para encontrar la fórmula cuadrática. | ||
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| Divide entre a ambos lados de la ecuación para que el coeficiente de x2 sea 1. |
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| Reescribe de modo que el lado izquierdo sea x2 + bx (aunque en este caso bx realmente es ). |
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| Como el coeficiente de x es , el valor a sumar a ambos lados es . |
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| Escribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado. |
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| Evalúa como . |
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| Escribe las fracciones en el lado derecho usando un común denominador. |
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| Suma las fracciones de la derecha. |
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| Usa la Propiedad de la Raíz Cuadrada. ¡Recuerda que quieres las dos raíces, positiva y negativa! |
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| Resta de ambos lados para despejar x. |
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| El denominador dentro del radical es un cuadrado perfecto, entonces:
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Respuesta |
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| Suma las fracciones ya que tienen un común denominador. |
Y ahí está, la fórmula cuadrática.
La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma estándar, . Para usarla, sigue estos pasos.
· Pon primero la ecuación en su forma estándar.
· Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c se restan.
· Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.
· Simplifica lo más posible.
· Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
· Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.
Son bastantes pasos. Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de factorización.
Ejemplo | |||
Problema | Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 4x = 5. | ||
| x2 + 4x = 5 x2 + 4x – 5 = 0 |
| Primero escribe la ecuación en su forma estándar. |
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| a = 1, b = 4, c = −5
Observa que el signo de resta significa que la constante c es negativa. |
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| Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
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| Simplifica, teniendo cuidado de usar los signos correctos. |
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| Simplifica un poco más. |
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| Simplifica el radical: . |
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o
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| Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Observa que en una, se suma 6 y en la otra se resta 6.. |
Respuesta | x = 1 o −5 |
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Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.
x = 1 | x = −5 |
x2 + 4x = 5 | x2 + 4x = 5 |
(1)2 + 4(1) = 5 | (−5)2 + 4(−5) = 5 |
1 + 4 = 5 | 25 ‒ 20 = 5 |
5 = 5 | 5 = 5 |
Obtienes enunciados válidos, por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5. ¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!
Sin embargo, al ver x2 + 4x = 5, pudiste haber pensado “ya sé cómo resolver esto; puedo reescribir la ecuación como x2 + 4x – 5 = 0 y luego factorizar como (x + 5)(x – 1) = 0, entonces x = −5 o 1.” Esto es correcto, ¡y felicidades si encontraste esta conexión!
Algunas veces, podría ser más fácil resolver una ecuación usando los métodos convencionales de factorización, como encontrar números pares que se suman a un número (en este ejemplo, 4) y que producen una cantidad específica (en este ejemplo, −5) cuando se multiplican. El poder de la fórmula cuadrática es que puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso aquellas donde no se puede encontrar el número de combinaciones.
La mayoría de las ecuaciones cuadráticas que hemos visto han tenido dos soluciones, como la anterior. El siguiente ejemplo es un poco distinto.
Ejemplo | |||
Problema | Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2x = 6x – 16. |
||
| x2 – 2x = 6x – 16 x2 – 2x – 6x + 16 = 0 x2 – 8x + 16 = 0 |
| Resta 6x de cada lado y suma 16 a ambos lados para poner la ecuación en su forma estándar. |
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| Identifica los coeficientes a, b y c. x2 = 1x2, entonces a = 1. Como 8x se resta, b es negativo.
a = 1, b = −8, c = 16 |
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Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
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| Simplifica. |
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| Como la raíz cuadrada de 0 es 0 y sumar o restar 0 da el mismo resultado, sólo hay un valor posible. |
Respuesta | x = 4 |
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De nuevo, comprueba usando la ecuación original.
x2 – 2x = 6x – 16 |
(4)2 – 2(4) = 6(4) – 16 |
16 – 8 = 24 – 16 |
8 = 8 |
Intentemos un último ejemplo. Este también tiene una diferencia en la solución.
Ejemplo | |||
Problema | Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 + 2x = −5. | ||
| x2 + 2x = −5 x2 + 2x + 5 = 0 |
| Primero escribe la ecuación en su forma estándar. |
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| a = 1, b = 2, c = 5
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Sustituye los valores en la fórmula cuadrática. |
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| Simplifica, teniendo cuidado con los signos. |
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| Simplifica un poco más. |
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| Simplifica el radical, ¡pero observa que el número dentro del radical es negativo! La raíz cuadrada de −16 es imaginaria. . |
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o
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| Separa y simplifica para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. |
Respuesta | x = −1 + 2i o −1 – 2i |
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Comprueba estas soluciones en la ecuación original. Ten cuidado cuando expandes los cuadrados y reemplazas i2 con -1.
x = −1 + 2i | x = −1 – 2i |
x2 + 2x = −5 | x2 + 2x = −5 |
(−1+2i)2 + 2(−1 + 2i) = −5 | (−1 – 2i)2 + 2(−1 – 2i) = −5 |
1 – 4i + 4i2 – 2 + 4i = −5 | 1 + 4i + 4i2 – 2 – 4i = −5 |
1 – 4i + 4(−1) – 2 + 4i = −5 | 1 + 4i + 4(-1) – 2 – 4i = −5 |
1 – 4 – 2 = −5 | 1 – 4 – 2 = −5 |
−5 = −5 | −5 = −5 |
Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2x – 4 = 0.
A) x = 2 B) x =11, x = −9 C) , D) ,
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Estos ejemplos han mostrado que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una solución real, o dos soluciones complejas.
En la fórmula cuadrática, la expresión dentro del símbolo radical determina el número y tipo de soluciones que dará la fórmula. Esta expresión, b2 – 4ac, se llama el discriminante de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Pensemos sobre cómo afecta el discriminante la evaluación de y cómo ayuda a determinar el conjunto solución.
· Si b2 – 4ac > 0, entonces el número dentro del radical será un valor positivo. Siempre puedes encontrar la raíz cuadrada de un positivo, por lo que evaluar la fórmula cuadrática resultará en dos soluciones reales (una sumado la raíz cuadrada positiva y la otra restando).
· Si b2 – 4ac = 0, entonces sacarás la raíz cuadrada de 0, que es 0. Como sumar y restar 0 da el mismo resultado, la porción "±" de la fórmula no importa. Habrá una solución real.
· Si b2 – 4ac < 0, entonces el número dentro del radical será un valor negativo. Como no puedes encontrar la raíz cuadrada de un número negativo usando números reales, no habrá soluciones reales. Sin embargo, puedes usar números imaginarios. Entonces tendrás soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y la otra restando.
Ejemplo | |||
Problema | Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay y de qué tiempo de la ecuación cuadrática x2 – 4x + 10 = 0. |
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| b2 – 4ac (−4)2 – 4(1)(10) | Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a = 1, b = −4 y c = 10. | |
| 16 – 40 = −24 | El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas. | |
Respuesta | La ecuación cuadrática x2 – 4x + 10 = 0 tiene dos soluciones complejas. | ||
Supón que una ecuación cuadrática tiene un discriminante que evalúa a cero. ¿Cuál de los siguientes enunciados es siempre verdadero?
A) La ecuación tiene dos soluciones. B) La ecuación tiene una solución. C) La ecuación no tiene soluciones.
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Las ecuaciones cuadráticas se usan mucho en la ciencia, los negocios y la ingeniería. Las ecuaciones cuadráticas se usan comúnmente en situaciones donde las cosas se multiplican y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con el área, si ambas dimensiones se escriben en términos de la misma variable, puedes usar una ecuación cuadrática. Ya que la cantidad de un producto vendido depende del precio, a veces usas una ecuación cuadrática para representar la ganancia como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también se usan cuando se trata con la gravedad, como la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente colgante.
Una aplicación muy común y fácil de entender es la altura de una pelota que se deja caer al suelo desde un edificio. Como la gravedad hará que la pelota se acelere al caer, una ecuación cuadrática puede usarse para estimar su altura y el tiempo que tarda en llegar al suelo. Nota: Esta ecuación no es muy precisa, porque la fricción del aire frena un poco a la pelota. Pero para nuestros propósitos, el error no es importante.
Ejemplo | |||
Problema | Una pelota se deja caer de un edificio a 200 pies del suelo. Su velocidad inicial es −10 pies por segundo. (El negativo significa que viaja hacia el suelo.)
La ecuación h = −16t2 – 10t + 200 puede usarse para modelar la altura de la pelota después de t segundos. ¿cómo cuánto tardará la pelota en llegar al suelo? | ||
| h = -16t2 – 10t + 200
0 = -16t2 – 10t + 200
−16t2 – 10t + 200 = 0 |
| Cuando la pelota golpea el suelo, su altura es 0. Sustituye 0 por h.
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| Esta ecuación es difícil de resolver factorizando o completando el cuadrado, por lo que la resuelves usando la fórmula cuadrática, . En este caso, la variable es t en lugar de x. a = −16, b = −10 y c = 200. |
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| Simplifica. Ten cuidado con los signos. |
| t es aproximadamente −3.86 o 3.24. |
| Usa una calculadora para encontrar ambas raíces.
Considera las raíces lógicamente. Una solución, −3.86, no puede usarse como el tiempo porque es un número negativo. La otra solución, 3.24 segundos, debe ser cuando la pelota golpea el suelo. |
Respuesta | La pelota golpeará el suelo aproximadamente 3.24 segundos después de haber sido soltada. |
El problema de área siguiente no parece incluir una fórmula cuadrática de ningún tipo y el problema se parece a algo que ya has resuelto muchas veces multiplicando. Pero para resolverlo, necesitarás una ecuación cuadrática.
Ejemplo | |||
Problema | Bob hizo una colcha que mide 4 ft x 5 ft. Él tiene 10 pies cuadrados de tela que puede usar para añadir un borde alrededor de la colcha. Qué tan ancho debe hacer el borda para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.) | ||
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| Dibuja el problema, Como no conoces el ancho del borde, usarás la letra x para representarlo.
en el diagrama, la colcha original se indica por el rectángulo rojo. El borde es el área entre las líneas rojas y azules. | |
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Como a cada lado de la colcha original de 4 y 5 se le añade un borde de ancho x, la longitud de la colcha con el borde será de 5 + 2x y el ancho será de 4 + 2x.
(Ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, ¡y vas a multiplicarlas para sacar el área! Es aquí donde podrías empezar a pensar que se usará una ecuación cuadrática para resolver el problema.) | |
Área del borde = El área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo
Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)
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| Sólo estás interesado en el área de los bordes. Escribe la expresión para el área del borde. | |
10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20 |
| Hay 10 pies cuadrados de tela para el borde, por lo que el área del borde será 10. | |
10 = 20 + 8x + 10x + 4x2 – 20 |
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Multiplica (4 + 2x)(5 + 2x). | |
10 = 18x + 4x2 |
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Simplifica. | |
0 = 18x + 4x2 – 10 o 4x2 + 18x – 10 = 0
2(2x2 + 9x – 5) = 0
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| Resta 10 de ambos lados para que tengas una ecuación cuadrática en la forma estándar y puedas aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación.
Factoriza el máximo factor común, 2, para que puedas trabajar con una ecuación equivalente más simple, 2x2 + 9x – 5 = 0. | |
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| Usa la fórmula cuadrática. En este caso, a = 2, b = 9 y c = −5. | |
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|
Simplifica. | |
o
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| Encuentra las soluciones, asegurándote de que el ± evalúa ambos valores.
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Respuesta |
El ancho del borde debe ser de 0.5 ft. | Ignora la solución x = −5, porque el ancho no puede ser negativo. | |
Una pelota se lanza hacia arriba a 48 pies/segundo desde una plataforma que tiene una altura de 100 pies. La ecuación que da la altura en t segundos después del lanzamiento es h = −16t2 + 48t + 100. La pelota llegará a una altura de 136 pies y luego comenzará a bajar. ¿Cómo cuánto tiempo le tomará a la pelota llegar a su altura máxima?
A) 1.5 segundos B) 3.6 segundos C) 4.4 segundos D) Este problema no se puede resolver.
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Sumario
Las ecuaciones cuadráticas pueden aparecer en aplicaciones diferentes. La fórmula cuadrática es una manera útil de resolver estas ecuaciones, ¡o cualquier otra ecuación! La fórmula cuadrática, , se obtiene completando el cuadrado en la ecuación cuadrática .
El discriminante en la fórmula cuadrática es la cantidad dentro del radical, . Determina el número y el tipo de soluciones que tiene una ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay 2 soluciones reales. Si es cero, hay 1 solución real. Si el discriminante es negativo, hay 2 soluciones complejas (pero no hay soluciones reales).