Raíces cuadradas y completando el cuadrado

 

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad de la Raíz Cuadrada.

·         Identificar y completar trinomios cuadrados perfectos.

·         Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

 

Introducción

Las expresiones cuadráticas pueden resolverse de muchas maneras. Ya estás familiarizado con factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, no todas las ecuaciones cuadráticas pueden factorizarse. En este tema, vas a usar raíces cuadradas para aprender otra forma de resolver ecuaciones cuadráticas, y este método funcionará para todas ellas.

 

Resolviendo cuadráticas usando raíces cuadradas

Una manera de resolver una ecuación cuadrática x2  = 9 es restar 9 a ambos lados para obtener un lado igual a 0: x2  – 9 = 0. La expresión a la izquierda puede factorizarse: (x + 3)(x – 3) = 0. Usando la propiedad del factor cero, sabes que esto significa x + 3 = 0 o x – 3 = 0, entonces x = 3 o 3.

 

Otra propiedad te permitiría resolver la ecuación más fácilmente.

 

La propiedad de la raíz cuadrada

 

Si x2 = a, entonces x =  o .

 

La propiedad anterior dice que puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, pero debes pensar en dos casos: la raíz cuadrada positiva de a y la raíz cuadrada negativa de a.

 

 

Un atajo sería escribir “” o “” es . El símbolo ± normalmente se lee como “positivo o negativo.” Si se utiliza en una operación (suma o resta), se lee como “mas menos.”

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver usando la propiedad de la raíz cuadrada. x2 = 9

 

x2 = 9

x =

x = ±3

Como un lado es solamente x2, puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados para obtener x en un lado. ¡No olvides usar ambas raíces positiva y negativa!

Respuesta

x = ±3 (esto es, x = 3 o −3)

 

 

Observa que hay una diferencia en resolver x2 = 9 y encontrar . En x2 = 9, estás buscando todos los números cuyo cuadrado sea 9. En , sólo tienes la raíz cuadrada principal (no negativa) . El negativo de la raíz cuadrada principal es ; ambas serían . ¡A menos que haya un símbolo enfrente del signo radical, se representa sólo el valor no negativo!

 

En el ejemplo anterior, puedes fácilmente sacar la raíz cuadrada de ambos lado porque sólo hay un término en cada lado. En algunas ecuaciones, podrías necesitar trabajar la ecuación para tenerla de esta forma. Verás que esto consiste en despejar x2.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver. 10x2 + 5 = 85

 

 

10x2 + 5 = 85

 

 

 

 

 

 

Si intentas sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación original, tendrás  a la izquierda, y no puedes simplificar eso. Resta 5 de ambos lados de la ecuación para aislar el término x2.

 

10x2 = 80

 

Ahora podrías sacar la raíz cuadrada de ambos lados pero te quedaría

como coeficiente, y tendrías que dividir entre ese coeficiente. Divide entre 10 antes para sacar la raíz cuadrada más fácil.

 

Ahora sólo tienes x2 a la izquierda, por lo que puedes aplicar la Propiedad de la Raíz Cuadrada

 

Asegúrate de simplificar el radical si es posible.

 

 

Respuesta

 

 

 

Algunas veces no sólo la x es elevada al cuadrado:

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver. (x – 2)2 – 50 = 0

 

 

(x – 2)2 – 50 = 0

De nuevo, sacar la raíz cuadrada de ambos lados en estos momentos dejará a la izquierda algo con lo que no puedes trabajar. Empieza por sumar 50 a ambos lados.

 

(x – 2)2 = 50

x – 2 =

Ya que (x – 2)2 es una cantidad elevada al cuadrado, puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

 

Para despejar x en la izquierda, necesitas sumar dos a ambos lados.

 

Asegúrate de simplificar el radical si es posible.

 

 

Respuesta

 

 

 

Este método puede ser útil cuando resuelves problemas cotidianos.

 

 

Ejemplo

Problema

La fórmula para calcular el interés anual es A = P(1 + r)t, donde A es el balance después de t años, cuando P es el principal (cantidad inicial invertida) y r es el interés.

 

Encuentra el interés r si se invierten $3,000 y crece a $3,307.50 después de 2 años.

 

A= P(1 + r)t

A = 3,307.50

t = 2

P = 3,000

Primero identifica lo que sabes. La cantidad después de 2 años es 3,307.50, entonces A = 3,307.50. Esto significa que t = 2. El principal P es la cantidad original invertida, entonces es 3,000.

 

3,307.50 = 3,000(1 + r)2

Sustituye los valores de las variables que conoces. Sólo r está a la izquierda, entonces trata de despejar r.

 

Dividir ambos lados entre 3000 deja (1 + r)2 a la derecha. Ya que (1 + r)2 es una cantidad al cuadrado puedes usar la Propiedad de la Raíz Cuadrada.

 

¡No olvides el ±!

 

±1.05 = 1 + r

Usa una calculadora para encontrar que  es 1.05.

 

±1.05 – 1 = r

Resta 1 de ambos lados de la ecuación para despejar r.

 

1.05 – 1 = r, o

−1.05 – 1 = r

Ahora tienes dos ecuaciones, una usando 1.05 y otra usando −1.05.

 

r = 0.05 o −2.05

Simplifica las dos ecuaciones para obtener las soluciones de la ecuación.

Respuesta

El interés es 0.05, o 5%.

Observa que el interés negativo no tiene sentido en este contexto, por lo que sólo el valor positivo podría ser el interés. El -2.05 es una solución extraña y debe descartarse.

 

 

Resolver. (x – 3)2 – 2 = 16

 

A) x = 3 ±

 

B) x = 3 +

 

C) x = 7

 

D) x = 1 o 9

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) x = 3 ±

Correcto. Antes de sacar la raíz cuadrada, suma 2 a ambos lados: (x – 3)2 = 18. Aplicando la Propiedad de la Raíz cuadrada da x – 3 = , entonces x = 3 ± . Simplificando el radical da .

 

B) x = 3 +

Incorrecto. Olvidaste la raíz cuadrada negativa cuando sacaste la raíz cuadrada de ambos lados. Antes de sacar la raíz cuadrada, suma 2 a ambos lado: (x – 3)2 = 18. Aplicando la Propiedad de la Raíz cuadrada da x – 3 = , so x = 3 ± . Simplificando el radical da 3 ± .

 

C) x = 7

Incorrecto. Aquí hay dos errores: saber la raíz cuadrada de 16 seguramente te hizo olvidar que para resolver esta ecuación, la cantidad al cuadrado debe estar despejada. Antes de sacar la raíz cuadrada, suma 2 a ambos lado: (x – 3)2 = 18. Aplicando la Propiedad de la Raíz cuadrada da

x – 3 = . (Observa que se incluyen las raíces cuadradas positiva y negativa; este es el otro error.) Entonces, x = 3 ± . Simplificando el radical da 3 ± .

 

D) x = 1 o 9

Incorrecto. Conocer la raíz cuadrada de 16 seguramente te hizo olvidar que para resolver esta ecuación, la cantidad al cuadrado debe estar despejada. Antes de sacar la raíz cuadrada, suma 2 a ambos lado: (x – 3)2 = 18. Aplicando la Propiedad de la Raíz cuadrada da

x – 3 = . (Observa que se incluyen las raíces cuadradas positiva y negativa; este es el otro error.) Entonces, x = 3 ± . Simplificando el radical da 3 ± .

 

 

 

Trinomios cuadrados perfectos

Claro que las ecuaciones cuadráticas normalmente no estarán en el formato de los ejemplos anteriores. Muchas de ellas tendrán términos con x. Sin embargo, podrías factorizar la expresión en un binomio cuadrado y si no, puedes usar un binomio cuadrado para ayudarte.

 

Primero, veamos los binomios cuadrados. Algunos de los ejemplos anteriores tenían binomios cuadrados: (1 + r)2 y (x – 2)2 son binomios cuadrados. (Son binomios, dos términos, que son cuadrados.) Si los expandes, obtienes un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, (1 + r)2 = (1 + r)(1 + r) = 1 + 2r + r2, o r2 + 2r + 1. El trinomio r2 + 2r + 1 es un trinomio cuadrado perfecto. Observa que los términos primero y último son cuadrados (r2 y 1). El término central es el doble producto de las raíces cuadradas del primero y último términos, las raíces cuadradas son r y 1, el término central es 2(r)(1).

 

Los trinomios cuadrados perfectos tienen la forma r2 + 2rs + s2 y pueden factorizarse como (r + s)2, o tienen la forma r2 – 2rs + s2 y pueden factorizarse como (rs)2. Factoricemos un trinomio cuadrado perfecto en un binomio cuadrado.

 

 

Ejemplo

Problema

Factorizar 9x2 – 24x + 16.

 

 

9x2 = (3x)2

16 = 42

Primero observa que el término x2 y el término constante son cuadrados perfectos.

 

24x = 2(3x)(4)

 

Luego observa que el término central (ignorando el signo) es el doble producto de los cuadrados de los otros términos.

 

r = 3x

s = 4

 

9x2 – 24x + 16 = (3x – 4)2

Un trinomio de la forma r2 – 2rs + s2 puede factorizarse como (rs)2.

 

En este caso, se resta el término central, entonces resta r y s y eleva al cuadrado para obtener (rs)2.

Respuesta

(3x – 4)2

 

 

 

Puedes usar este procedimiento en el siguiente ejemplo para ayudarte a resolver ecuaciones donde identificas trinomios cuadrados perfectos, incluso si la ecuación no es igual a 0.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver. 4x2 + 20x + 25 = 8

 

 

4x2 + 20x + 25 = 8

Como hay un término x, no puedes usar inmediatamente la Propiedad de la Raíz Cuadrada (o incluso después de sumar o dividir por una constante).

 

Observa, sin embargo, que los términos x2 y la constante a la izquierda son cuadrados perfectos: (2x)2 y 52. Comprueba el término central: ¿es 2(2x)(5)? ¡Sí!

 

(2x + 5)2 = 8

 

Un trinomio de la forma r2 – 2rs + s2 puede factorizarse como (rs)2 , por lo que reescribes el lado izquierdo como un binomio cuadrado.

 

Ahora puedes usar la Propiedad de la Raíz cuadrada. Se necesitan algunos pasos adicionales para despejar x.

 

Simplifica el radical si es posible.

 

Respuesta

 

 

 

 

Pudiste haber visto el problema anterior y pensar “¿por qué no primero restar 8 de ambos lados de la ecuación, haciendo la ecuación 4x2 + 20x + 17 = 0?” Esta es una técnica para resolver x, el problema es que si hicieras esto, la ecuación 4x2 + 20x + 17 = 0 no podría factorizarse con números reales. (Inténtalo, ¿puedes pensar en dos números cuyo producto sea 68 y cuya suma sea 20?)

 

Como la expresión 4x2 + 20x + 25 puede identificarse como un trinomio cuadrado perfecto, es mejor factorizarlo como (2x + 5)2 y luego usar la Propiedad de la Raíz Cuadrada.

 

Completando el cuadrado

Una manera de resolver ecuaciones cuadráticas es completando el cuadrado. Cuando no tienes un trinomio cuadrado perfecto, puedes crear uno sumando un término constante que sea un cuadrado perfecto a ambos lados de la ecuación. Veamos cómo encontrar ese término constante.

 

“Completar el cuadrado” es precisamente lo que dice, toma algo que no es un cuadrado y lo convierte en un cuadrado. Esta idea puede ilustrarse usando el modelo de área del binomio x2 + bx.

 

 

En este ejemplo, el área total del rectángulo es x(x + b).

 

Ahora hagamos de este rectángulo un cuadrado. Primero, divide el rectángulo rojo con área bx en dos rectángulos iguales con área . Luego rota y reposiciona uno de ellos. No has modificado el tamaño del área roja, sigue sumando bx.

 

 

 

 

Los rectángulos rojos ahora hacen dos lados del cuadrado, mostrado en blanco. El área de ese cuadrado es la longitud de los rectángulos rojos al cuadrado, o .

 

Aquí viene la parte interesante ¿puedes ver que cuando el cuadrado blanco se suma a las regiones azul y roja, toda la figura se convierte en un cuadrado? En otras palabras, has "¡completado el cuadrado!" Al sumar la cantidad  al binomio original, has hecho un cuadrado, con lados .

 

Observa que el área de este cuadrado puede escribirse como el cuadrado del binomio: .

 

 

Encontrando un valor que complete el cuadrado en una expresión

 

Para completar el cuadrado de una expresión de la forma x2 + bx:

·         Identificar el valor de b;

·         Calcular y sumar .

La expresión se vuelve .

 

 

 

Ejemplo

Problema

Encontrar el número que sumado a x2 + 8x lo convierte en un trinomio cuadrado perfecto.

 

x2 + 8x

b = 8

 

Primero identifica b si esto tiene la forma x2 + bx.

 

 

 

 

Para completar el cuadrado, suma .

 

b = 8, entonces

 

x2 + 8x + (4)2

x2 + 8x + 16

 

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

 

Simplifica.

 

Comprueba que el resultado es un trinomio cuadrado perfecto. (x + 4)2 =

x2 + 4x + 4x + 16 =

x2 + 8x + 16, y sí lo es.

Respuesta

Sumar +16 hará x2 + 8x un trinomio cuadrado perfecto.

 

 

Observa que  siempre es positivo, porque es el cuadrado de un número. Cuando completas el cuadrado, siempre estás sumando un valor positivo.

 

 

Completa el cuadrado para encontrar el valor que sumado a x2 – 12x lo hace un trinomio cuadrado perfecto. Luego escribe la expresión como el cuadrado de un binomio.

 

A) sumar 12; (x – 6)2

B) sumar 36; (x + 6)2

C) sumar −12; (x – 12)2

D) sumar 36; (x – 6)2

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) sumar 12; (x – 6)2

Incorrecto. El valor de b es −12, por lo que el valor a sumar es , no 12. Suma 36 para obtener x2 – 12x + 36. La respuesta correcta es (x – 6)2.

 

B) sumar 36; (x + 6)2

Incorrecto. El valor a sumar ha sido calculado incorrectamente: . Sin embargo, el trinomio resultante es x2 – 12x + 36, que se factoriza como (x – 6)2, no (x + 6)2. La respuesta correcta es (x – 6)2.

 

C) sumar −12; (x – 12)2

Incorrecto. El valor de b es −12, por lo que el valor a sumar es , no 12. Observa también que el número que sumas siempre será positivo porque es el cuadrado de un número. La respuesta correcta es (x – 6)2.

 

D) sumar 36; (x – 6)2

Correcto. El valor a sumar es  y el trinomio resultante x2 – 12x + 36 se factoriza como (x – 6)2.

 

 

 

Resolviendo una ecuación cuadrática completando el cuadrado

 

Puedes completar el cuadrado para ayudarte a resolver una ecuación cuadrática que no puede resolverse factorizando.

 

Empecemos por ver qué pasa cuando completas el cuadrado en una ecuación. En el ejemplo siguiente, observa que completar el cuadrado resulta en sumar un número a ambos lados de la ecuación, ¡tienes que hacer esto para mantener ambos lados iguales!

 

 

Ejemplo

Problema

Reescribe x2 + 6x = 8 de modo que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.

 

x2 + 6x = 8

b = 6

 

Esta ecuación tiene la constante 8. Ignórala por ahora y concéntrate en los términos x2 y x al lado izquierdo de la ecuación. El lado izquierdo tiene la forma x2 + bx, por lo que puedes identificar b.

 

 

x2 + 6x + 9 = 8 + 9

 

Para completar el cuadrado perfecto, suma  al lado izquierdo.

 

b = 6, entonces

 

Esta es la ecuación, entonces debes sumar el mismo número a la derecha también.

 

 

x2 + 6x + 9 = 17

 

x2 + 6x + 9 = 17

(x + 3)2 = 17

 

Simplifica.

 

Comprueba que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.

(x + 3)2 =

x2 + 3x + 3x + 9 =

x2 + 6x + 9, y sí es.

Respuesta

x2 + 6x + 9 = 17

 

 

 

¿Puedes ver que completar el cuadrado en una ecuación es muy similar a completar el cuadrado en una expresión? La diferencia es que debes sumar el número nuevo (+9 en este caso) a ambos lados de la ecuación para mantener la equidad.

 

Ahora veamos un ejemplo donde completes el cuadrado para resolver una ecuación, encontrando el valor de la variable.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver. x2 – 12x – 4 = 0

 

 

x2 – 12x = 4

b = −12

 

 

 

Como no puedes factorizar el trinomio del lado izquierdo, vas a completar el cuadrado para resolver la ecuación.

 

Reescribe la ecuación con el lado izquierdo en la forma x2 + bx, para prepararte a completar el cuadrado. Identifica b.

 

 

 

x2 – 12x + 36 = 4 + 36

 

x2 – 12x + 36 = 40

 

Averigua qué valor sumar para completar el cuadrado. Suma  para completar el cuadrado, entonces = .

 

Suma el valor a ambos lados de la ecuación y simplifica.

 

(x – 6)2 =  40

 

 

Reescribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado.

 

 

 

 

Usa la Propiedad de la Raíz Cuadrada. Recuerda incluir las dos raíces cuadradas, positiva y negativa, para no ignorar una de las soluciones.

 

 

Resuelve x sumando 6 a ambos lados. Simplifica si es necesario.

 

 

Respuesta

 

 

 

Habrás notado que como tienes que incluir las dos raíces cuadradas, todos los ejemplos tienen dos soluciones. Aquí hay otro ejemplo que es un poco distinto.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver. x2 + 16x + 17 = −47

 

x2 + 16x = −64

b = 16

 

Reescribe la ecuación con el lado izquierdo en la forma x2 + bx. Identifica b.

 

 

x2 + 16x + 64 = −64 + 64

x2 + 16x + 64 = 0

 

Suma , que es , a ambos lados.

 

 

(x + 8)2 = 0

 

Escribe el lado izquierdo como un binomio cuadrado.

 

x + 8 = 0

 

 

 

Saca las raíces cuadradas de ambos lados. Normalmente se necesitan ambas raíces, la positiva y la negativa, pero 0 no es positivo ni negativo. 0 sólo tiene una raíz.

 

x = −8

 

Resuelve x.

Respuesta

x = −8

 

 

 

Observa el problema con más detenimiento y verás algo familiar. En lugar de completar el cuadrado, intenta sumar 47 a ambos lados de la ecuación. La ecuación x2 + 16x + 17 = −47 se convierte en x2 + 16x + 64 = 0. ¿Puedes factorizar esta ecuación agrupando? (Piensa en dos números cuyo producto sea 64 y cuya suma sea 16).

 

¡Por supuesto, se puede factorizar como (x + 8)(x + 8) = 0! Saber cómo completar el cuadrado es muy útil, pero no siempre es la única manera de resolver una ecuación.

 

 

Resolver. x2 – 16x = −1

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Al parecer has sumado 16 y luego factorizado incorrectamente el trinomio. Sin embargo, el valor de b es −16, entonces para completar el cuadrado, suma  (no 16). Suma 64 a ambos lados para obtener x2 – 16x + 64 = 63. Esto es (x – 8)2 = 63, entonces  Esto significa que  La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. El valor a sumar ha sido calculado correctamente:  Sin embargo, el trinomio resultante es x2 – 16x + 64, que se factoriza como (x – 8)2, no (x + 8)2. La ecuación se convierte en (x – 8)2 = 63, so  Eso significa que  La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. El valor a sumar ha sido calculado correctamente:  Sin embargo, parece que has sumado 64 a lado izquierdo de la ecuación, y no al lado derecho. La ecuación se vuelve (x – 8)2 = 63, entonces  Eso significa que  La respuesta correcta es .

 

D)

Correcto. El valor de b es −16, entonces para completar el cuadrado, sumas . Suma 64 a ambos lados de la ecuación para obtener x2 – 16x + 64 = 63. Esto es (x – 8)2 = 63, entonces  Eso significa que

 

 

 

Sumario

Completar el cuadrado se usa para cambiar un binomio de la forma x2 + bx a un trinomio cuadrado perfecto, que puede factorizarse como . Cuando resuelvas ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado, ten cuidado de sumar  a ambos lados de la ecuación para mantener la equidad. Entonces, la Propiedad de la Raíz Cuadrada puede usarse para resolver x. Con la Propiedad de la Raíz Cuadrada, ten cuidado de incluir las dos soluciones, la raíz cuadrada principal y la opuesta. Asegúrate de simplificar si es necesario.