Resolviendo ecuaciones racionales y aplicaciones

 

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver ecuaciones racionales.

·         Buscar soluciones extrañas.

·         Resolver problemas de aplicación con ecuaciones racionales.

 

 

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se llaman ecuaciones racionales. Por ejemplo,  es una ecuación racional.

 

Puedes resolver estas ecuaciones usando técnicas para realizar operaciones con expresiones racionales y los procedimientos para resolver ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones racionales pueden ser útiles para representar situaciones de la vida cotidiana y para encontrar soluciones para problemas reales. En particular, son buenas para describir relaciones distancia-velocidad-tiempo y para modelar problemas que involucren más de una persona.

 

Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un común denominador. Luego, como sabes que los denominadores son iguales, puedes resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple.

 

 

Como el denominador en cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes. Esto significa que x = 2.

 

Esto es válido también para las ecuaciones racionales con polinomios.

 

 

Como los denominadores de cada expresión racional son los mismos, x + 4, los numeradores deben ser equivalentes para que la ecuación sea válida. Entonces, x – 5 = 11 y x = 16.

 

Al igual que con las ecuaciones algebraicas, puedes comprobar tu solución en la ecuación racional original sustituyendo el valor de la variable en la ecuación y simplificar.

 

 

 

Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores distintos, resolver la ecuación implicará algunos pasos extra. Una manera de resolver ecuaciones racionales con denominadores distintos, es multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de todas las fracciones contenidas en la ecuación. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación polinómica. Aquí hay un ejemplo.

 

 

 

 

Otra manera de resolver una ecuación racional con denominadores distintos es reescribir cada término con un común denominador y luego simplemente crear una ecuación a partir de los numeradores. Esto funciona porque si los denominadores son iguales, los numeradores deben ser iguales. El siguiente ejemplo muestra este método con la misma ecuación que acabas de resolver:

 

 

 

 

En algunas circunstancias, necesitarás tomar algunos pasos adicionales para encontrar el común denominador. Considera el siguiente ejemplo, que ilustra el uso de lo que sabes sobre denominadores para reescribir una de las expresiones en la ecuación.

 

 

 

 

También pudiste haber resuelto este problema multiplicando por 3 cada término en la ecuación para eliminar todas las fracciones. A continuación se muestra como resultaría.

 

 

 

 

Algunas expresiones racionales tienen una variable en el denominador. Cuando sucede esto, hay un paso extra para resolverlas. Como la división entre 0 no está definida, debes excluir los valores de la variable que resultarían en un denominador igual a 0. Estos valores se llaman valores excluidos. Veamos otro ejemplo.

 

 

 

 

Dar los valores excluidos de . No resolver.   A) B) 2 C) −2, 2 D) −2, 2, 4   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Los valores excluidos son los valores de la variable que resultarían en un denominador igual a 0, no en un numerador. La respuesta correcta es −2, 2.   B) 2 Incorrecto. 2 es un valor excluido, pero −2 también resulta en un denominador 0. La respuesta correcta es −2, 2.   C) −2, 2 Correcto. −2 y 2, cuando se sustituyen en la ecuación, resultan en un denominador igual a 0. Como la división entre 0 no está definida, ambos valores son excluidos de la solución.   D) −2, 2, 4 Incorrecto. Si bien −2 y 2 están excluidos. 4 no lo está porque no causa que el denominador esa 0. La respuesta correcta es −2, 2.

 

 

Veamos otro ejemplo con un denominador más complicado.

 

 

 

 

Resolver la ecuación , m  0 o 2   A) m = 2 B) no hay solución C) m = 8   Mostrar/Ocultar Respuesta A) m = 2 Incorrecto. Probablemente encontraste el común denominador correcto, pero olvidaste distribuirlo cuando simplificabas. También olvidaste comprobar tu solución o anotar los valores excluidos; m ≠ 2 porque vuelve la expresión de la derecha indefinida. Multiplicar ambos lados por el común denominador da , entonces . La respuesta correcta es m = 8.   B) no hay solución Incorrecto. , so . La solución, 8, no es un valor excluido. La respuesta correcta es m = 8.   C) m = 8 Correcto. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador da , entonces . La respuesta correcta es m = 8.

 

 

Has visto que hay más de una manera de resolver ecuaciones racionales. Como ambas técnicas manipulan y reescriben términos, a veces pueden producir soluciones que no funcionan en la ecuación original. Este tipo de soluciones se llaman soluciones extrañas. Es por eso que es importante comprobar todas tus soluciones en las ecuaciones originales podrías encontrar que dan enunciados inválidos o producen expresiones indefinidas.

 

 

 

 

 

Un “problema de trabajo” es un ejemplo de una situación en el mundo real que puede modelarse y resolverse usando una ecuación racional. Los problemas de trabajo normalmente te piden calcular cuánto le tomará a diferentes personas trabajar a velocidades distintas para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de estas situaciones normalmente implican ecuaciones racionales derivadas de la fórmula del trabajo, W = rt. (Observa que la fórmula del trabajo es muy similar a la relación entre la distancia, la velocidad y el tiempo, o d = rt.) La cantidad de trabajo hecho (W) es el producto de la velocidad del trabajo (r) y el tiempo necesario para realizarlo (t). La fórmula del trabajo tiene 3 versiones.

 

W = rt

 

 

 

Algunos problemas de trabajo incluyen varias máquinas o personas trabajando juntas en un proyecto por la misma cantidad de tiempo pero a velocidades distintas. En ese caso, puedes sumar sus trabajos individuales para obtener el trabajo total. Veamos un ejemplo.

 

 

 

 

Otros problemas de trabajo buscan lo contrario. Puedes calcular cuánto tiempo le tomará a una persona hacer un trabajo sola cuando conoces cuánto tiempo le toma a varias personas trabajar juntos para completar el trabajo.

 

 

 

 

Como se muestra arriba, muchos problemas de trabajo pueden representarse con la ecuación , donde t es el tiempo para realizar el trabajo, a es el tiempo que le toma a una persona A hacer el trabajo y b es el tiempo que le toma a una persona B realizar el trabajo. El 1 se refiera al total de trabajo realizado — en este caso, el trabajo fue pintar 1 casa.

 

La idea clave aquí es averiguar la velocidad de individual de cada trabajador. Luego, una vez que esas velocidades han sido identificadas, multiplícalas por el tiempo t, igualas a la cantidad de trabajo realizado y resuelves la ecuación racional

 

 

Mari y Liam pueden cada uno lavar y aspirar un carro en 2 horas. Zach necesita 3 horas para hacer el mismo trabajo él solo. Si Zach, Liam y Mari trabajando juntos, ¿cuánto tiempo les tomará limpiar un carro?   A) 20 minutos B) 45 minutos C) 1.2 horas D) 1 hora   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 20 minutos Incorrecto. Parece que dividiste una hora entre 3 para encontrar 20 minutos. Recuerda que Zach está trabajando a una velocidad diferente que Mari y Liam, por lo que no puedes hacer directamente una división. La respuesta correcta es 45 minutos.   B) 45 minutos Correcto. De acuerdo con la fórmula, . Mari y Liam tienen cada uno una velocidad de  carro por hora y la velocidad de Zach es  carro por hora. Trabajando juntos, tienen una velocidad de , o . W es un carro, por lo que la fórmula se vuelve  = . Esto significa que , entonces y t = . Les toma tres cuartos de hora, o 45 minutos para limpiar un carro.   C) 1.2 horas Incorrecto. Mari y Liam limpian un carro en 2 horas cada uno, no juntos. Ellos tienen una velocidad de  carro en una hora y la velocidad de Zach es  carro en una hora. Trabajando juntos, tienen una velocidad de . La respuesta correcta es 45 minutos.   D) 1 hora Incorrecto. Este es el tiempo que le tomaría a Mari y a Liam limpiar un carro juntos. Como Zach está ayudando, les tomará menos que eso. La respuesta correcta es 45 minutos.

 

 

Puedes resolver ecuaciones racionales encontrando un común denominador. Al reescribir la ecuación para que todos sus términos tengan un común denominador, puedes resolver las variables usando sólo los numeradores. O, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores para que los términos se vuelvan polinomios en lugar de expresiones racionales. Las ecuaciones racionales pueden usarse para resolver una variedad de problemas que tratan con velocidades, tiempo y trabajo. Usar expresiones racionales y ecuaciones puede ayudar a responder preguntas sobre cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo en cierto tiempo.

 

Un paso importante al resolver ecuaciones racionales es eliminar de la solución final las soluciones extrañas. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen enunciados inválidos o son valores excluidos que vuelven el denominador igual a 0.