Probabilidad
Objetivos de aprendizaje
· Definir evento, resultado, prueba, evento simple, espacio muestral y calcular la probabilidad de que un evento ocurra.
· Calcular la probabilidad de eventos para resultados más complejos.
· Resolver problemas de probabilidades.
Introducción
La probabilidad nos da una medida de qué tan probable es que ocurra un evento. Es un número entre 0 y 1. Puede escribirse como una fracción, un decimal, o un porcentaje.
Escoger números aleatoriamente significa que no hay un orden específico en el cual cada uno es escogido. Muchos juegos usan dados o ruletas para generar números aleatorios. Si entiendes cómo se calculan las probabilidades, puedes tomar decisiones informadas de cómo jugar estos juegos sabiendo cual es la probabilidad de cada resultado.
Primero debes conocer algunos términos relacionados con la probabilidad. Cuando trabajamos con probabilidades, una acción aleatoria se llama prueba. Un resultado es la salida de una prueba, un evento es una colección particular de resultados. Los eventos normalmente se describen usando características comunes de los resultados.
Apliquemos este lenguaje para ver cómo los términos funcionan en la práctica. Algunos juegos requieren aventar un dado de 6 caras, numerado del 1 al 6. El cuadro siguiente ilustra el uso de la prueba, el resultado, y el evento de dicho juego:
| Prueba | Resultados | Ejemplos de eventos |
| Tirar el dado | Existen 6 resultados posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} | Sacar un número par: {2, 4, 6} Sacar un 3: {3} Sacar un o un 3: {1, 3} Sacar un 1 y un 3: { } (Sólo podemos obtener un número, por lo que este resultado es imposible. El evento no contiene resultados.) |
Observa que una colección de resultados se pone entre corchetes y separados por comas.
Un evento simple es un evento con sólo una salida. Sacar un 1 sería un evento simple, ¡porque sólo hay un resultado posible — 1! Sacar algo mayor que un 5 también es un evento simple, porque el evento incluye solamente al 6 como un resultado válido. Un evento compuesto es un evento con más de un resultado. Por ejemplo, sacar un número par puede ocurrir con uno de tres resultados: 2, 4, y 6.
Cuando tiras un dado muchas veces, no debes esperar que un resultado suceda más veces que otro (asumiendo que el dado no está cargado). Los resultados en una situación como esta son igualmente probables. Es muy importante reconocer cuando los resultados son igualmente probables cuando calculamos una probabilidad. Como cada resultado en la prueba de tirar un dado es igualmente probable, podemos esperar que cada resultado suceda 
de las veces. Esto es, esperamos que de las tiradas salga 1, de las tiradas salga 2, de las tiradas salta 3 y así sucesivamente.
| Una ruleta está dividida en cuatro partes iguales, cada una con un color distinto como se muestra abajo. Cuando la ruleta gira, la flecha apunta a uno de los colores. ¿Son los resultados igualmente probables?
A) Si, son igualmente probables. B) No, no son igualmente probables.
|
del círculo, Esperarías que la flecha se detuviera en cada color
La probabilidad de un evento es qué tan seguido se espera que ocurra. Es la razón del tamaño del espacio de evento con el tamaño del espacio muestral.
Primero, debes determinar el tamaño del espacio muestral. El tamaño del espacio muestral es el número total de posibles resultados. Por ejemplo, cuando tiras un dado, el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5, o 6. Entonces el tamaño del espacio muestra es 6.
Luego necesitas determinar el tamaño del espacio de evento. El espacio de evento es el número de resultados que te interesan. El espacio de evento de sacar un número menor que 3 es 1 o 2. Entonces el tamaño del espacio de evento es 2.
Para resultados igualmente probables, la probabilidad de un evento E puede escribirse P(E).
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| Ejemplo | ||
| Problema | Un juego requiere tirar un dado de 6 caras numerado del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par? | |
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Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espacio de evento = {2, 4, 6} | Primero, encuentra el espacio muestral y el espacio de evento. El espacio muestral son todos los posibles resultados, y el espacio de evento son los resultados en los que estamos interesados. En este caso, el evento es “sacar un número par.”
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| Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la razón del espacio de evento con el espacio muestral. |
| Respuesta | P(número par) = |
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Es una práctica común en la probabilidad, que al igual que con las fracciones en general, se simplifica una probabilidad lo cual hace más fácil para entender que tan grande es. A menos que haya una razón para no hacerlo, las probabilidades finales se expresan en términos simplificados.
| Una ruleta se divide en partes iguales, cada con un color diferente como se muestra abajo. Encontrar la probabilidad de sacar un azul o un verde en la ruleta:
A)
B)
C) 2
D) 6
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. La respuesta correcta es 
.
Lo más difícil de calcular una probabilidad puede ser encontrar el tamaño del espacio muestral, especialmente cuando hay dos o más pruebas. Existen varios métodos de conteo que nos pueden ayudar.
El primero es hacer una tabla. En el ejemplo siguiente, Tori tira dos monedas. Entonces debes determinar el espacio muestral con cuidado. Hacer una tabla como la mostrada en el ejemplo siguiente es una buena táctica.
| Ejemplo | |||||||||||||||||
| Problema | Tori tira un par de monedas y anota cuántas veces le sale “cara”. ¿Cuál es la probabilidad de que le salgan 2 caras? ¿Cuál es la probabilidad de que le salga sólo una cara? | ||||||||||||||||
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| Resultados:
espacio muestral: {Cara Cara, Cara Cruz, Cruz Cara, Cruz Cruz}
espacio de evento para 2 caras: {Cara Cara} espacio de evento para 1 cara: {Cara Cruz, Cruz Cara} |
Crear una tabla para anotar los resultados de tirar la primera moneda, seguidos de los resultados de tirar la segunda moneda. | |||||||||||||||
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Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la razón del espacio de evento y el espacio muestral. | |||||||||||||||
| Respuesta |
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En el ejemplo de abajo, el espacio muestral de Tori es simple porque sólo se está tirando un dado. Sin embargo, como James está tirando dos dados, una tabla puede ayudarnos a organizar la información.
| Ejemplo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Problema | Tori tira un dado de seis lados y quiere que el resultado sea 1 o 4. James tira dos dados de seis lados, uno azul y el otro rojo, y quiere que el resultado sea 1 y 3, al mismo tiempo. ¿Qué evento es más probable? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Espacio muestral de Tori: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espacio de evento de Tori: {1, 4}
Tori:
| Primero, encontramos el espacio muestral y el espacio de evento para ambas pruebas. Para la prueba de Tori es fácil.
Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la razón entre el espacio de evento y el espacio muestral.
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El espacio muestral de James tiene 36 resultados. El espacio de evento de James tiene 2 resultados. | No es tan obvio para la prueba de James, porque está tirando dos dados. Usa la tabla para encontrar las probabilidades.
Hay 36 resultados posibles, De ellos, hay 2 que tienen 1 y 3. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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James: | Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la razón entre el espacio de evento y el espacio muestral. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Respuesta | El evento de Tori tiene mayor probabilidad. |
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También puedes usar un diagrama de árbol para determinar el espacio muestral. Un diagrama de árbol tiene una rama para cada resultado posible para cada evento.
Supongamos que un clóset tiene tres pares de pantalones (negro, blanco, y verde), cuatro camisas (verde, blanco, morado, y amarillo), y dos pares de zapatos (blanco, y negro). ¿Cuántas posibles combinaciones se pueden tener? Existen 3 opciones de pantalón, 4 opciones de camisa, y 2 opciones de zapatos. Para nuestro diagrama de árbol, usemos B para negro, W para blanco, G para verde, P para morado, y Y para amarillo.
Puedes ver en el diagrama de árbol que hay 24 posibles combinaciones (algunas de ellas no son tan buenas) en el espacio muestral.
Ahora puedes resolver fácilmente algunos problemas de probabilidad. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que si cierras los ojos y escoges al azar sacarás pantalones y zapatos del mismo color? Puedes ver que hay 8 combinaciones donde los pantalones y los zapatos son iguales.
Como has visto, cuando una prueba consiste en más de un elemento aleatorio, como tirar más de una moneda o tirar más de un dado, no siempre necesitas identificar cada resultado en el espacio muestral para calcular la probabilidad. Sólo necesitas el número de resultados.
El Principio fundamental de conteo es una manera para encontrar el número de resultados sin enlistar y contar todos y cada uno de ellos.
| El principio fundamental de conteo
Si un evento tiene p resultados posibles, y otro evento tiene m resultados posibles, entonces existe un total de p • m resultados posibles para los dos eventos.
Ejemplos · Tirar un dado de seis lados: Cada dado tiene 6 resultados igualmente probables, entonces el espacio muestral es 6 • 6 o 36 resultados igualmente probables. · Tirar tres monedas: Cada moneda tiene 2 resultados igualmente probables, entonces el espacio muestral es 2 • 2 • 2 o 8 resultados igualmente probables. · Tirar un dado de seis lados y tirar una moneda: El espacio muestral es 6 • 2 o 12 resultados igualmente probables. |
Entonces puedes usar el Principio Fundamental de Conteo para encontrar cuántas combinaciones de ropa hay en el ejemplo anterior. Existen 3 opciones de pantalón, 4 opciones de camisa, y 2 opciones de zapatos. Usando el Principio Fundamental de Conteo, tenemos 4 • 3 • 2 = 24 combinaciones de ropa distintas.
| Ejemplo | ||
| Problema | Barry se ofrece para preparar almuerzos para los voluntarios de una caminata para caridad. En cada bolsa pone: · uno de dos sándwiches (mantequilla de maní y jalea, o pavo con queso), · una de tres bolsas de papas (papas regulares, papas horneadas, o papas con sal), · una fruta (manzana o naranja). Olvidó marcar qué había en cada bolsa. Suponiendo que cada elección es igualmente probable, ¿cuál es la probabilidad de que a Therese le toque una bolsa con sándwich de mantequilla de maní y jalea (PB&J) y una manzana? | |
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Tamaño del espacio muestral:
(número de sándwiches distintos) • (número de papas distintas) • (número de frutas distintas) = 2 • 3 • 2 = 12
| Primero, usamos el Principio Fundamental de Conteo para encontrar el tamaño del espacio muestral. |
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| Tamaño del espacio de evento:
(número de sándwiches distintos en el evento) • (número de papas distintas en el evento) • (número de frutas distintas en el evento) = | Para el espacio de evento, seguimos el mismo principio. En este caso, sólo hay un sándwich y una fruta de interés, pero cualquiera de los tres tipos de papas es aceptable. |
| Respuesta |
| Usa la razón para encontrar la probabilidad. |
| Carrie tira cuatro monedas y cuenta el número de cruces. Existen cuatro maneras de obtener exactamente una cruz: Cara Cara Cara Cruz, Cara Cara Cruz Cara, Cara Cruz Cara Cara, y Cruz Cara Cara Cara. ¿Cuál es la probabilidad de que a Carrie le salga exactamente una Cruz?
A)
B)
C)
D)
|
, o
Sumario
La probabilidad nos ayuda a entender situaciones aleatorias e impredecibles donde varios resultados pueden ocurrir. Depende de la razón del evento y sus posibles resultados, si todos los resultados son igualmente probables.
El Principio Fundamental de Conteo es un atajo para encontrar el tamaño del espacio muestral cuando existen demasiadas pruebas y resultados:
Si un evento tiene p resultados posibles, y otro evento tiene m resultados posibles, hay un total de p • m resultados posibles para los dos eventos.
