Cuadriláteros

 

Objetivo de aprendizaje

·         Identificar las propiedades de los cuadriláteros, incluyendo las medidas de los ángulos.

 

Los cuadriláteros son un tipo especial de polígonos. Del mismo modo que los triángulos y otros polígonos, los cuadriláteros tienen propiedades especiales y pueden clasificarse por las características de sus ángulos y sus lados. Entender las propiedades de los distintos cuadriláteros te pueda ayudar a resolver problemas que contienen éste tipo de polígono.

 

 

Si analizamos su nombre “cuadrilátero” podemos entender a qué se refiere. El prefijo “cuad-” significa “cuatro,” y “latero” se deriva de la palabra Latina “lado.” Entonces un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

 

Como es un polígono, sabemos que es una figura de dos dimensiones hecha de lados rectos. Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos formados por sus cuatro lados. Abajo se muestran algunos ejemplos de cuadriláteros. Observa que cada figura tiene cuatro lados rectos y cuatro ángulos.

 

 

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°. Considera los dos ejemplos siguientes.

 

 

Podrías dibujar muchos cuadriláteros como estos y medir sus ángulos con cuidado. Encontrarás que para cada cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores siempre será 360°.

 

También puedes usar tu conocimiento de los triángulos como una forma de entender por qué la suma de los ángulos interiores de todos los cuadriláteros es 360°. Cualquier cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos como se muestra en las figuras siguientes.

 

En la primera imagen, los cuadriláteros han sido divididos en dos triángulos. Se muestran las medidas de los ángulos de cada triángulo.

 

 

Estas medidas suman 180º. Ahora observa las medidas de los otros triángulos — ¡también suman 180º!

 

 

Como la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180° y hay dos triángulos en un cuadrilátero, la suma de los ángulos de todos los cuadriláteros es 360°.

 

 

Empecemos por examinar el grupo de los cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos. Estos cuadriláteros se llaman paralelogramos. Tienen una variedad de formas, pero un ejemplo clásico se muestra a continuación.

 

 

Imagina que extiendes los pares de lados opuestos. Nunca se van a intersectar porque son paralelos, Observa también, que los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, al igual que los lados opuestos. (Recuerda que “congruente” significa “del mismo tamaño.”) El símbolo geométrico para congruencia es , entonces puedes escribir  y . Los lados paralelos también tienen la misma longitud:  y . Estas relaciones son válidas para todos los paralelogramos.

 

Existen dos casos especiales de paralelogramos que te serán familiares de tus primeras experiencias con figuras geométricas. El primer caso especial se llama rectángulo. Por definición, un rectángulo es un paralelogramo porque sus pares de lados opuestos son paralelos, Un rectángulo también tiene la característica especial de que todos sus ángulos son rectos; los cuatro ángulos son congruentes.

 

 

El otro caso especial de un paralelogramo es un tipo especial de rectángulo, un cuadrado. Un cuadrado es una de las figuras geométricas básicas. Es un caso especial de un paralelogramo que tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos congruentes.

 

 

Un cuadrado es también un rectángulo porque tiene dos pares de lados paralelos y cuatro ángulos rectos. Un cuadrado también es un paralelogramo porque sus lados opuestos son paralelos. Entonces, un cuadrado puede clasificarse como cualquiera de las tres formas, siendo “paralelogramo” la descripción menos específica y “cuadrado,” la más descriptiva.

 

Otro cuadrilátero que podemos encontrar es el rombo. Los cuatro lados del rombo son congruentes, Sus propiedades incluyen que cada par de lados opuestos son paralelos, por lo que también es un paralelogramo.

 

 

Resumiendo, todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados. Todos los rectángulos son paralelogramos, pero no todos los paralelogramos son rectángulos. Y todas estas figuras son cuadriláteros.

 

El diagrama siguiente ilustra la relación entre los diferentes tipos de cuadriláteros.

 

 

Puedes usar las propiedades de los paralelogramos para resolver problemas. Considera el ejemplo siguiente.

 

 

 

 

Hay otro tipo especial de cuadrilátero. Este cuadrilátero tiene la propiedad de tener sólo un par de lados opuestos que son paralelos. Aquí hay un ejemplo de un trapezoide.

 

 

Observa que , y que  y  no son paralelos. Puedes fácilmente imaginar que si extiendes los lados y , se van a intersectar por encima de la figura.

 

Si los lados no paralelos de un trapezoide son congruentes, el trapezoide se llama trapezoide isósceles. De la misma forma que el triángulo con el mismo nombre que tiene dos lados de la misma longitud, el trapezoide isósceles tiene un par de lados opuestos que miden lo mismo. Abajo hay un ejemplo de un trapezoide isósceles.

 

 

En este trapezoide,  y .

 

¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?   A) Algunos trapezoides son paralelogramos. B) Todos los trapezoides son cuadriláteros. C) Todos los rectángulos son cuadrados. D) Una figura no puede ser un paralelogramo y un cuadrilátero.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Algunos trapezoides son paralelogramos. Incorrecto. Los trapezoides tienen sólo un par de lados paralelos; los paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos. Un trapezoide no puede ser un paralelogramo. La respuesta correcta es que todos los trapezoides son cuadrilátero.   B) Todos los trapezoides son cuadriláteros. Correcto. Los trapezoides son polígonos de cuatro lados, al igual que todos los cuadriláteros.   C) Todos los rectángulos son cuadrados. Incorrecto. Algunos rectángulos podrán ser cuadrados, pero no todos los rectángulos tienen cuatro lados congruentes. Sin embargo, todos los cuadrados son rectángulos. La respuesta correcta es que todos los trapezoides son cuadriláteros.   D) Una figura no puede ser un paralelogramo y un cuadrilátero. Incorrecto. Todos los paralelogramos son cuadriláteros, por lo que si una figura es un paralelogramo, también es un cuadrilátero. La respuesta correcta es que todos los trapezoides son cuadriláteros.

 

 

Puedes usar las propiedades de los cuadriláteros para resolver problemas que contienen trapezoides. Considera el ejemplo siguiente.

 

 

 

 

La tabla siguiente resume los tipos especiales de cuadriláteros y algunas de sus propiedades.

 

 

 

Un cuadrilátero es un nombre matemático para un polígono de cuatro lados. Los paralelogramos, los cuadrados, los rectángulos, y los trapezoides son ejemplos de cuadriláteros. Estos cuadriláteros se ganan su distinción basada en sus propiedades, incluyendo el número de pares de lados paralelos que tienen y la medida de sus ángulos internos.