Propiedades de los ángulos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Identificar rectas paralelas y perpendiculares.

·         Encontrar medidas de ángulos.

·         Identificar ángulos complementarios y suplementarios.

 

 

Imagina dos rectas en un plano. Hay dos posibilidades para dichas rectas: ya sea que se intersectan en cierto punto, o que nunca se intersectan. Cuando las rectas se intersectan, se forman cuatro ángulos. Entender cómo estos ángulos se relacionan unos con otros puede ayudarte a encontrar sus medidas, incluso cuando conoces la medida de sólo uno de ellos.

 

 

Las rectas paralelas son dos o más rectas que se intersectan. De la misma forma, los segmentos de recta paralelos son dos segmentos de recta que nunca se intersectan, incluso si los segmentos se convierten en rectas y continúan por siempre. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas alrededor, en los dos lados de ésta página y en los estantes de un librero. Cuando ves que rectas o estructuras siguen la misma dirección, nunca se cruzan unas con otras, y mantienen la misma distancia entre ellas, es muy probable que sean paralelas.

 

Las rectas perpendiculares son dos rectas que se intersectan formando un ángulo recto (90º). Y segmentos de recta perpendiculares también se intersectan a 90º. También podemos ver ejemplos de rectas perpendiculares en todos lados — en la cuadrícula de un cuaderno, en el patrón de calles que se intersectan, las líneas de colores de una camisa a cuadros. En nuestras vidas diarias, podrías llamar perpendiculares a cualquier par de rectas que parecen intersectarse en ángulo recto. Sin embargo, cuando estudiamos geometría, necesitas asegurarte que las rectas se intersectan exactamente a 90º antes de declararlas perpendiculares.

 

La imagen siguiente muestra algunas rectas paralelas y perpendiculares. El símbolo geométrico para paralelo es , por lo que puedes tener . Las rectas paralelas también se pueden indicar con las marcas >> en cada recta (o sólo una marca > en cada recta). Las rectas perpendiculares se identifican con el símbolo , por lo que podemos escribir .

 

 

Si dos rectas son paralelas, entonces cualquier recta que es perpendicular a una de ellas también será perpendicular a la otra recta. De manera similar, si dos rectas son perpendiculares a la misma recta, entonces esas rectas son paralelas una con la otra. Veamos un ejemplo para identificar algunos de estos tipos de rectas.

 

 

 

 

¿Qué enunciado representa mejor la imagen siguiente?     A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. La imagen muestra las rectas  y , no  y .  y  están marcadas con >> en cada recta, y esas marcas significan que son paralelas. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto.  se intersectan , pero la intersección no forma un ángulo recto. Esto significa que no pueden ser perpendiculares. La respuesta correcta es .   C) Correcto.  y  están marcadas con >> en cada recta, y esas marcas significan que son paralelas.   D) Incorrecto.  y  se intersectan, por lo que no pueden ser paralelas.  y  están marcadas con >> en cada recta, y esas marcas significan que son paralelas. La respuesta correcta es .

 

 

 

Entender cómo las rectas paralelas y perpendiculares se relacionan nos ayuda a encontrar medidas desconocidas de ángulos. Para empezar, todo lo que necesitas recordar es que las rectas perpendiculares se intersectan formando un ángulo de 90º, y que ángulo llano mide 180º.

 

La medida de un ángulo  se escribe . Observa el ejemplo siguiente. ¿Cómo puedes saber cuánto miden los ángulos no marcados?

 

 

 

 

En el ejemplo anterior, podrás haber notado que los ángulos , y  son ángulos rectos. (Si te hubieran pedido encontrar la medida de , habrías encontrado que también mide 90º.) Esto sucede cuando dos rectas son perpendiculares — los cuatro ángulos creados por la intersección son ángulos rectos.

 

Pero no todas las intersecciones forman ángulos rectos. En el ejemplo siguiente, nota cómo puedes usar la misma técnica mostrada arriba (usando ángulos rectos) para encontrar la medida de un ángulo faltante.

 

 

 

 

Encuentra la medida de .     A) 43º B) 137º C) 147º D) 317º   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 43º Incorrecto. Encontraste la medida de , y no de . Como  mide 43º, la medida de  debe ser 180º – 43º = 137º. La respuesta correcta es 137º.   B) 137º Correcto.  es un ángulo llano que mide 180º. Como  mide 43º, la medida de  debe ser 180º – 43º = 137º.   C) 147º Incorrecto. Parece que restaste incorrectamente. Como  mide 43º,  debe ser 180º – 43º = 137º. La respuesta correcta es 137º.   D) 317º Incorrecto. Recuerda que un ángulo llano mide 180º, no 360º. Como  mide 43º, la medida de  debe ser 180º – 43º = 137º. La respuesta correcta es 137º.

 

 

 

En el ejemplo anterior,  y  suman 180º. Dos ángulos que sumados miden 180º se llaman ángulos suplementarios. También existe un término para dos ángulos que suman 90º, se llaman ángulos complementarios.

 

Si puedes identificar ángulos suplementarios o complementarios en un problema, encontrar las medidas de los ángulos desconocidos es normalmente cuestión de sumar o restar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Qué par de ángulos son complementarios?     A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Las medidas de los ángulos complementarios suman 90º. Parece que las medidas de estos ángulos podrían sumar 90º, pero no hay manera de estar seguros, entonces no podemos decir que son complementarios. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto.  son ángulos suplementarios (y no ángulos complementarios) porque juntos forman el ángulo llano . La respuesta correcta es .   C) Incorrecto.  son ángulos suplementarios (y no ángulos complementarios) porque juntos forman el ángulo llano . La respuesta correcta es .   D) Correcto. Las medidas de dos ángulos complementarios suman 90º.  es un ángulo llano, entonces  debe ser un ángulo llano también. , entonces  son complementarios.

 

 

 

Las rectas paralelas no se intersectan, mientras que las rectas perpendiculares se intersectan en un ángulo de 90º. Dos ángulos cuyas medidas suman 180º se llaman suplementarios, y dos ángulos que suman 90º se llaman complementarios. Para la mayor parte de las rectas que se intersectan, todo lo que necesitas es la medida de un ángulo para encontrar las medidas de los otros ángulos formados por la intersección.