Entendiendo proporciones

 

Objetivos de aprendizaje

·         Determinar si una proporción es verdadera o falsa.

·         Encontrar una proporción desconocida.

·         Resolver problemas de aplicación usando proporciones.

 

Introducción

Una proporción verdadera es una ecuación que indica que dos razones son iguales. Si conoces una razón de una proporción, puedes usar esa información para encontrar valores en la otra razón equivalente. Usar proporciones te puede ayudar a resolver problemas como incrementar una receta para alimentar a una cantidad mayor de personas, crear y diseñar con ciertas características consistentes, o ampliar o reducir la escala de una imagen.

 

Por ejemplo, imagina que quieres ampliar una fotografía de 5 por 8 pulgadas para que quepa en el marco de madera que acabas de comprar. Si quieres que el ancho de la fotografía mida 10 pulgadas, ¿cuál es el largo que debe tener la ampliación para que quede en el marco? Puedes establecer una proporción para determinar el largo de la imagen.

 

 

Determinando si una proporción es verdadera o falsa

 

Una proporción normalmente se escribe como dos fracciones equivalentes. Por ejemplo:

 

 

Observa que la ecuación tiene una razón en cada lado del signo igual. Cada razón compara las mismas unidades, pulgadas y pies, y las razones son equivalentes porque las unidades son consistentes, y  es equivalente a .

 

Las proporciones también pueden comparar dos razones con las mismas unidades. Por ejemplo, Juanita tiene dos contenedores de limonada de distintos tamaños. Ella quiere compararlos. Podría establecer una proporción para comparar el número de onzas en cada contenedor con el número de vasos de limonada que pueden llenarse con cada contenedor.

 

 

 

Como las unidades de cada razón son iguales, puedes expresar la proporción sin las unidades

:

 

Cuando usamos éste tipo de proporción, es importante que los numeradores representen la misma situación – en el ejemplo anterior, 40 onzas dan 10 vasos – y los denominadores representan la misma situación, 84 onzas dan 21 vasos.

 

Juanita pudo también establecer la proporción para comparar las razones de los tamaños de los contenedores con el número de vasos de cada contenedor.

 

 

Algunas veces necesitarás averiguar si las dos razones son, en realidad, una proporción verdadera o falsa. Abajo hay un ejemplo que muestra los pasos para determinar si una proporción es verdadera o falsa.

 

Ejemplo

Problema

¿Es la proporción verdadera o falsa?

 

 

millas

Las unidades son consistentes en los numeradores.

 

galones

Las unidades son consistentes en los denominadores.

 

 

 

 

Escribe cada razón en su forma simplificada.

 

 

 

 

 

Como las fracciones simplificadas son equivalentes, la proporción es verdadera.

 

Respuesta

La proporción es verdadera.

 

 

 

 

Identificando Proporciones Verdaderas

 

Para determinar si una proporción compara razones iguales o no, puedes seguir los siguientes pasos.

 

1.      Asegúrate que las unidades en las razones individuales son consistentes ya sea vertical y horizontalmente. Por ejemplo,  o  son representaciones verdaderas de una proporción.

2.      Expresa cada razón como una fracción simplificada.

3.      Si las fracciones simplificadas son la misma, la proporción es verdadera; si las fracciones son distintas, la proporción es falsa.

 

 

Algunas veces necesitas crear una proporción antes de determinar si es verdadera o no. Un ejemplo se muestra a continuación.

 

Ejemplo

Problema

Una oficina tiene 3 impresoras para 18 computadoras. Otra oficina tiene 20 impresoras para 105 computadoras. ¿Es la razón de impresoras y computadoras la misma para ambas oficinas?

 

 

 

 

Identifica la relación.

 

 

Escribe las razones que describen cada situación, e iguálalas.

 

 

Impresoras

Comprueba que las unidades en los numeradores sean iguales.

 

 

Computadoras

Comprueba que las unidades en los denominadores sean iguales.

 

 

 

 

Simplifica cada fracción y determina si son equivalentes.

 

 

 

 

Como las fracciones simplificadas no son iguales (designado por el signo de ), la proporción no es verdadera.

 

Respuesta

La razón de impresoras y computadoras no es la misma en las dos oficinas.

 

 

 

Existe otra manera de determinar si la proporción es verdadera o falsa. Éste método se llama “encontrando el producto cruzado” o “producto en cruz”.

 

Para encontrar el producto cruzado, multiplicas el numerador de la primera razón en la proporción por el denominador de la otra razón. Luego multiplicas el denominador de la primera razón por el numerador de la segunda razón en la proporción. Si los productos son iguales, la proporción es verdadera; si son distintos, la proporción es falsa.

 

Ésta estrategia para determinar si una proporción es verdadera se llama producto cruzado porque el patrón de la multiplicación se parece a una “x” o una cruz. Abajo hay un ejemplo del producto cruzado.

 

crossproducts

 

En éste ejemplo, multiplicas 3 • 10 = 30, y luego multiplicas 5 • 6 = 30. Ambos productos son iguales, por lo que la proporción es verdadera.

 

A continuación hay otro ejemplo para determinar si una proporción es verdadera o falsa usando el producto cruzado.

 

Ejemplo

Problema

¿Es la proporción verdadera o falsa?

 

 

 

crossproducts_2

 

Identifica la relación del producto cruzado.

 

 

5 • 8 = 40

6 • 9 = 54

Usa el producto cruzado para determinar si la proporción es verdadera o falsa.

 

 

40  54

Como los productos no son iguales, la proporción es falsa.

 

Respuesta

La proporción es falsa.

 

 

 

 

¿Es la proporción  verdadera o falsa?

A) Verdadera

 

B) Falsa

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) Verdadera

Correcto. Usando el producto cruzado, encuentras que 3 • 40 = 120 y 5 • 24 = 120, por lo que los productos cruzados son iguales y la proporción es verdadera.

 

B) Falsa

Incorrecto. Los productos cruzados son iguales por lo que pa proporción es verdadera. La respuesta correcta es verdadera.

 

 

Encontrando una cantidad desconocida en una proporción

Si sabes que la relación entre dos cantidades es proporcional, puedes usar una proporción para encontrar las cantidades desconocidas. Abajo hay un ejemplo.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve la cantidad desconocida, n.

 

 

 

20 • n = 4 • 25

Encuentra el producto cruzado.

 

20n = 100

 

n = 5

Estás buscando un número que cuando lo multiplicas por 20 resulta 100.

 

Puedes encontrar éste valor dividiendo 100 entre 20.

Respuesta

n = 5

 

 

Ahora volvamos al ejemplo original. Imagina que quieres ampliar una fotografía de 5 por 8 pulgadas para hacer que el ancho sea de 10 pulgadas y manteniendo la proporción entre largo y ancho. Puedes establecer una proporción para determinar el largo de la fotografía ampliada.

 

5 pulgadas

 

8 pulgadas

 

10 pulgadas

 

? pulgadas

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el largo de una fotografía cuyo ancho es 10 pulgadas y cuyas proporciones son las mismas que una fotografía de 5 por 8 pulgadas.

 

 

 

 

Determina la relación.

 

Fotografía original:

Fotografía ampliada:

Escribe una relación que compare el largo con el ancho de cada fotografía. Usa una letra para representar la cantidad que no conoces (el largo de la fotografía ampliada).

 

Escribe la proporción que establece que las dos razones son iguales.

 

5 • n = 8 • 10

 

5n = 80

Encuentra el producto cruzado.

 

Buscas un número que cuando se multiplica por 5 resulta 80.

 

 

n = 16

Divide ambos lados entre 5 para despejar la variable.

 

 

 

Respuesta

El largo de la fotografía ampliada es de 16 pulgadas.

 

 

Resolviendo problemas de aplicación usando proporciones

 

Establecer y resolver una proporción es una estrategia útil para resolver una variedad de problemas de razonamiento proporcional. En estos problemas, siempre es importante determinar cuál es el valor desconocido, y luego identificar una relación proporcional que puedas usar para resolver el valor desconocido. Abajo hay algunos ejemplos

 

Ejemplo

Problema

Entre cierta especia de ave tropical, 30 de cada 50 individuos son hembras. Si hay un santuario para aves que tiene una población de 1,150 de dichos pájaros, ¿cuántos pueden esperarse que sean hembras?

 

 

 

Sea x = el número de aves hembras en el santuario.

Determina el valor desconocido: el número de aves hembras en el santuario. Asigna una letra a la cantidad desconocida.

 

Establece una proporción con razones iguales.

 

 

Simplifica la razón de la izquierda para hacer que el producto cruzado sea más fácil.

 

3 • 1,150 = 5 • x

3,450 = 5x

Encuentra el producto cruzado.

 

 

x = 690 pájaros

¿Qué número multiplicado por 5 da 3,450?

Puedes encontrarlo dividiendo 3,450 entre 5.

Respuesta

Se esperaría que 690 aves en el santuario sean hembras.

 

 

Ejemplo

Problema

A Sandra le toma 1 hora para escribir 4 páginas. ¿Cuánto le tomaría completar 27 páginas?

 

 

 

Establece una proporción comparando las páginas que puede escribir y el tiempo que le toma escribirlas.

 

 

 

4 • x = 1 • 27

 

4x = 27

Encuentra el producto cruzado.

 

Buscas un número que multiplicado por 4 de 27.

 

 

 

x = 6.75 horas

Puedes encontrarlo dividiendo 27 entre 4.

 

Respuesta

A Sandra le toma 6.75 horas completar 27 páginas.

 

 

 

 

Un mapa usa una escala donde 2 pulgadas representan 5 millas. Si la distancia entre dos ciudades aparece en el mapa como 20 pulgadas, ¿cuántas millas separan a las dos ciudades?

 

A) 50 pulgadas

 

B) 50 millas

 

C) 8 millas

 

D) 100 millas

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 50 pulgadas

Incorrecto. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas en el mapa, pero en millas en la realidad. La respuesta correcta es 50 millas.

 

B) 50 millas

Correcto. Estableciendo la proporción , encuentras que x = 50 millas.

 

C) 8 millas

Incorrecto. Cuando resuelves una proporción, encuentras el producto cruzado: 2x = 5 • 20. La respuesta correcta es 50 millas.

 

D) 100 millas

Incorrecto. Cuando resuelves una proporción, encuentras el producto cruzado: 2x = 5 • 20. La respuesta correcta es 50 millas.

 

 

 

Sumario

 

Una proporción es una ecuación que compara dos razones. Si las razones son equivalentes, la proporción es verdadera. Si no, la proporción es falsa. Encontrar el producto cruzado es otro método para determinar si una proporción es verdadera o falsa. El producto cruzado es útil para encontrar una cantidad desconocida en una relación proporcional. Establecer y resolver proporciones es una habilidad que es útil para resolver una variedad de problemas.