Multiplicando y dividiendo decimales
Objetivos de aprendizaje
· Multiplicar dos o más decimales.
· Multiplicar un decimal por una potencia de 10.
· Dividir entre un decimal.
· Dividir un decimal entre una potencia de 10.
· Resolver problemas de aplicación que requieren multiplicación o división de decimales.
Introducción
Al igual que con números enteros, a veces te encuentras con situaciones donde necesitas multiplicar o dividir decimales. I de la misma manera que hay formas correctas de multiplicar y dividir números enteros, también las hay, de multiplicar y dividir decimales.
Imagina que una pareja cena en un restaurante Japonés. La cuenta es de $58.32 — que incluye un impuesto de $4.64. Para calcular la propina, pueden duplicar el impuesto. Por lo que si saben cómo multiplicar $4.64 por 2, la pareja puede encontrar cuánto deben dejar de propina.
Aquí hay otro ejemplo. Andy acaba de vender su camioneta que promediaba 20 millas por galón de gasolina. Compró una nueva e hizo un viaje de 614.25 millas. Usó 31.5 galones de gasolina para recorrer dicha distancia. ¿Fue su viaje más eficiente con su camioneta nueva?
Ambos problemas pueden ser resueltos multiplicando o dividiendo decimales. Veamos cómo se hace.
Multiplicar decimales es igual que multiplicar números enteros excepto que hay que poner el punto decimal en la respuesta. Cuando multiplicas decimales, el punto decimal se coloca en el producto de tal modo que el número de posiciones decimales en el producto es la suma de las posiciones decimales de los factores.
Comparemos dos problemas de multiplicación que se ven similares: 214 · 36, y 21.4 · 3.6.
214 x 36 1284 6420 7,704 | 21.4 x 3.6 1284 6420 77.04 |
Observa cómo los dígitos en ambas soluciones son exactamente los mismos – la multiplicación no cambia. La diferencia consiste en la posición del punto decimal en las respuestas finales: 214 · 36 = 7,704, y 21.4 · 3.6 = 77.04.
Para saber dónde poner el punto decimal en un problema de multiplicación, cuenta el número total de posiciones decimales en cada uno de los factores.
21.4 el primer factor tiene una posición decimal
3.6 el segundo factor tiene una posición decimal
77.04 el producto tendrá 1 + 1 = 2 posiciones decimales
Observa que no es necesario que los puntos decimales estén alineados como en la suma o la resta.
Ejemplo | |||
Problema | 3.04 · 6.1 = ? |
|
|
| 3.04 x 6.1 304 18240 18544 |
| Plantea el problema.
Multiplica.
Suma. |
|
3.04 x 6.1 304 18240 18.544 |
← ←
← | Cuenta el número total de posiciones decimales en los factores e inserta el punto decimal en el producto.
2 posiciones decimales. 1 posición decimal.
3 posiciones decimales. |
Respuesta | 3.04 · 6.1 = 18.544 |
A veces podría ser necesario añadir ceros al frente del producto para que tengas el número correcto de posiciones decimales. Observa la respuesta final en el ejemplo siguiente:
Ejemplo | |||
Problema | 0.037 · 0.08 = ? |
|
|
| 0.037 x 0.08 296 |
| Plantea el problema.
Multiplica. |
|
0.037 x 0.08 0.00296 |
← ← ← | Cuenta el número total de posiciones decimales en los factores e inserta el punto decimal en el producto.
3 posiciones decimales. 2 posiciones decimales. 5 posiciones decimales. |
Respuesta | 0.037 · 0.08 = 0.00296 | Nota que necesitaste añadir ceros antes del 296 para obtener 5 posiciones decimales. |
Si aparecen uno o más ceros a la derecha del producto, no se eliminan hasta que no se haya añadido el punto decimal.
Ejemplo | |||
Problema | 2.04 · 1.95 = ? |
|
|
| 2.04 x 1.95 1020 18360 20400 39780 |
| Plantea el problema.
Multiplica.
Suma. |
| 2.04 x 1.95 1020 18360 20400 3.9780 | ← ←
← | 2 posiciones decimales. 2 posiciones decimales.
4 posiciones decimales.
|
Respuesta | 2.04 · 1.95 = 3.978 | La respuesta puede omitir el último 0 a la derecha. |
Multiplicando decimales
Para multiplicar decimales: · Acomoda y multiplica los números como harías con números enteros. · Cuenta el número total de posiciones decimales en ambos factores. · Coloca el punto decimal en el producto de tal manera que el número de posiciones decimales del producto sea la suma de las posiciones decimales de los factores. · Conserva todos los ceros en el producto cuando coloques el punto decimal. Puedes eliminar los ceros a la derecha una vez que hayas puesto el punto decimal. Si el número de posiciones decimales es mayor que el número de dígitos en el producto, puedes añadir ceros enfrente del producto.
|
Multiplica. 51.2 · 3.08
A) 15769.6
B) 1576.96
C) 157.696
D) 15.7696
|
Multiplica 4.469 por 10. Ahora multiplica 4.469 · 100. Finalmente, multiplica 4.469 · 1,000. ¿Notas algún patrón en los productos?
4.469 x 10 44.690 | 4.469 x 100 446.900 | 4.469 x 1000 4469.000 |
Observa que los productos van aumentando por un valor de posición conforme aumenta el multiplicador (10, 100, y 1,000). De hecho, el punto decimal se mueve a la derecha el mismo número de ceros en multiplicador que es una potencia de 10.
4.469 · 10 = 44.69 ^ | 4.469 · 100 = 446.9 ^ | 4.469 · 1,000 = 4469. ^ |
Puedes usar ésta observación para multiplicar rápidamente por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc).
Ejemplo | |||
Problema | 0.03 · 100 = ? |
|
|
| 0.03 · 100 = ? |
| 100 tiene 2 ceros. |
| 0.03 · 100 = 3 |
| Recorre el punto decimal dos lugares a la derecha para obtener el producto. |
Respuesta | 0.03 · 100 = 3 |
|
|
Multiplicando un decimal por una potencia de diez
Para multiplicar un número decimal por una potencia de diez (como 10, 100, 1,000, etc.), cuenta el número de cero en la potencia de diez. Luego recorre a la derecha el punto decimal el mismo número de posiciones..
Por ejemplo, 0.054 · 100 = 5.4. El multiplicador 100 tiene dos ceros, por lo que mueves el punto decimal en 0.054 dos posiciones hacia la derecha — para obtener el producto 5.4.
|
Para dividir decimales, también aplicas los métodos que usas para dividir números enteros. Observa el siguiente par de problemas. ¿En qué son similares?
Nota que la división ocurre de la misma forma — la única diferencia es la posición del punto decimal en el cociente.
Ejemplo | |||
Problema | 18.32 ÷ 8 = ? |
|
|
| ________ 8 ) 1 8.3 2
|
| Plantea el problema. |
| 2.2 9 8 ) 1 8.3 2 -1 6 2 3 -1 6 7 2 - 7 2 0 |
| Divide. |
| 2.2 9 8 ) 1 8.3 2
|
| Coloca el punto decimal en el cociente. Debe quedar directamente sobre el punto decimal del dividendo. |
Respuesta | 18.32 ÷ 8 = 2.29 |
|
|
Pero, ¿qué pasa cuando divides entre un decimal, como en el problema siguiente?
__________ 0.3 ) 2 6 0.1
|
En casos como éste, puedes usar potencias de 10 para ayudarte a crear un problema más fácil de resolver. En éste caso puedes multiplicar el divisor, 0.3, por 10 para recorrer el punto decimal 1 lugar hacia la derecha. Si multiplicas el divisor por 10, también debes multiplicar el dividendo por 10 para mantener igual el cociente. El nuevo problema se muestra a continuación.
Ejemplo | |||
Problema | 260.1 ÷ 0.3 = ? |
|
|
| ________ 0.3 ) 2 6 0.1
|
| Plantea el problema. |
| __________ 3. ) 2 6 0 1.
|
| Multiplica el divisor y el dividendo por 10 para crear un divisor entero. |
| 8 6 7 3 ) 2 6 0 1 -2 4 2 0 -1 8 2 1 - 2 1 0 |
| Divide. |
Respuesta | 260.1 ÷ 0.3 = 867 |
|
|
A veces, el dividendo seguirá siendo decimal después de multiplicar por una potencia de 10. En este caso, la posición del punto decimal debe alinearse con el punto decimal del dividendo.
Ejemplo | |||
Problema | 15.275 ÷ 3.25 = ? |
|
|
| __________ 3.2 5 ) 1 5.2 7 5
|
| Plantea el problema. |
| ___________ 3 2 5.) 1 5 2 7.5
|
| Multiplica el divisor y el dividendo por 100 para crear un divisor entero. |
| 4.7 3 2 5.) 1 5 2 7.5 -1 3 0 0 2 2 7 5 -2 2 7 5 0
|
| Divide. 325 cabe cuatro veces en 1527, por lo que el número 4 se coloca sobre el número 7.
El punto decimal en el cociente se coloca directamente sobre el punto decimal en el dividendo. |
Respuesta | 15.275 ÷ 3.25 = 4.7 |
|
|
Dividiendo decimales
Dividiendo decimales entre números enterosDivide de la misma forma que lo harías con números enteros. Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo.
Dividiendo entre decimalesPara dividir entre un decimal, multiplica el divisor por una potencia de diez para convertirlo en un número entero. Luego multiplica el dividendo por la misma potencia de diez. Puedes pensar en esto como recorrer a la derecha el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones que el punto decimal del divisor.
Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo. Finalmente, divide como lo harías con números enteros.
|
Divide: 25.095 ÷ 0.5.
A) 5,019
B) 501.9
C) 50.19
D) 0.5019
|
Recuerda que cuando multiplicas un decimal por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc), el lugar del punto decimal en el producto corresponderá al número de ceros en la potencia de diez. Por ejemplo, 4.12 · 10 = 41.2.
La multiplicación y la división son operaciones inversas, por lo que puedes esperar que si divides un decimal entre una potencia de diez, el punto decimal en el cociente también corresponderá al número de ceros en la potencia de diez. La diferencia consiste en que el punto decimal se recorre a la derecha cuando multiplicas, pero se mueve a la izquierda cuando divides..
En los ejemplos anteriores, nota que cada cociente contiene los dígitos 4469 — pero al añadir otro 0 al final de cada potencia de diez en el divisor, el punto decimal se recorre una posición adicional a la derecha del cociente.
Dividiendo entre potencias de diez
Para dividir un decimal entre una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc.), cuenta el número de ceros en el divisor. Luego recorre a la izquierda el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones decimales; éste será tu cociente.
|
Ejemplo | |||
Problema | 31.05 ÷ 10 = ? |
|
|
| 31.05 ÷ 10 = ? |
| 10 tiene un cero. |
| 31.05 ÷ 10 = 3.105
|
| Recorre el punto decimal un lugar hacia la izquierda en el dividendo; éste es el cociente. |
Respuesta | 31.05 ÷ 10 = 3.105 |
|
|
Divide. 0.045 ÷ 100
A) 0.00045
B) 0.045
C) 4.5
D) 4,500
|
Ahora regresemos a los problemas del inicio de la sección. Ahora sabes cómo multiplicar y dividir con decimales. Pongamos tus conocimientos a prueba.
Ejemplo | |||
Problema | Una pareja cena en un restaurante Japonés. La cuenta es $58.32 — que incluye el impuesto $4.64. Para calcular la propina, ellos pueden duplicar el impuesto. ¿Qué propina van a dejar? | ||
| 4.64 x 2 |
| Plantea un problema de multiplicación. |
| 4.64 x 2 928 |
| Multiplica. |
| 4.64 x 2 9.28 |
| Cuenta el número de posiciones decimales en ambos factores, y coloca el punto decimal de acuerdo con su suma. |
Respuesta | La pareja debe dejar una propina de $9.28. |
|
|
Ejemplo | |||
Problema | Andy acaba de vender su camioneta que le daba 20 millas por galón de gasolina. Compró una nueva e hizo un viaje de 614.25 millas. Gastó 31.5 galones de gasolina en su viaje. ¿Fue más eficiente con su nueva camioneta? | ||
| __________ 3 1.5 ) 6 1 4.2 5
|
| Plantea un problema de división. |
| __________ 3 1 5.) 6 1 4 2.5
|
| Convierte el divisor en un número entero multiplicando por 10; has lo mismo con el dividendo. |
| 1 9.5 3 1 5.) 6 1 4 2.5 -3 1 5 2 9 9 2 -2 8 3 5 1 5 7 5 -1 5 7 5 0 |
| Divide. Coloca un punto decimal en el cociente de manera que quede directamente por encima del punto decimal del dividendo. |
Respuesta | Andy obtuvo 19.5 millas por galón. Antes obtenía 20 millas por galón. No aumentó su eficiencia con la nueva camioneta. |
Sumario
Aprender a multiplicar y dividir con decimales es una habilidad importante. En ambos casos, trabajas con los decimales de la misma manera que con números enteros, pero debes averiguar dónde poner el punto decimal. Cuando multiplicas decimales, el número de posiciones decimales en el producto es la suma del número de posiciones decimales en los factores. Cuando divides entre decimales, recorre a la derecha el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones decimales que el divisor. Luego coloca el punto decimal en el cociente sobre el punto decimal del dividendo.