Multiplicando y dividiendo decimales

 

Objetivos de aprendizaje

·         Multiplicar dos o más decimales.

·         Multiplicar un decimal por una potencia de 10.

·         Dividir entre un decimal.

·         Dividir un decimal entre una potencia de 10.

·         Resolver problemas de aplicación que requieren multiplicación o división de decimales.

 

Introducción

 

Al igual que con números enteros, a veces te encuentras con situaciones donde necesitas multiplicar o dividir decimales. I de la misma manera que hay formas correctas de multiplicar y dividir números enteros, también las hay, de multiplicar y dividir decimales.

 

Imagina que una pareja cena en un restaurante Japonés. La cuenta es de $58.32 — que incluye un impuesto de $4.64. Para calcular la propina, pueden duplicar el impuesto. Por lo que si saben cómo multiplicar $4.64 por 2, la pareja puede encontrar cuánto deben dejar de propina.

 

Aquí hay otro ejemplo. Andy acaba de vender su camioneta que promediaba 20 millas por galón de gasolina. Compró una nueva e hizo un viaje de 614.25 millas. Usó 31.5 galones de gasolina para recorrer dicha distancia. ¿Fue su viaje más eficiente con su camioneta nueva?

 

Ambos problemas pueden ser resueltos multiplicando o dividiendo decimales. Veamos cómo se hace.

 

Multiplicando decimales

 

Multiplicar decimales es igual que multiplicar números enteros excepto que hay que poner el punto decimal en la respuesta. Cuando multiplicas decimales, el punto decimal se coloca en el producto de tal modo que el número de posiciones decimales en el producto es la suma de las posiciones decimales de los factores.

 

Comparemos dos problemas de multiplicación que se ven similares: 214 · 36, y 21.4 · 3.6.

 

214

x  36

1284

6420

7,704

21.4 

x  3.6

1284

6420

77.04

Observa cómo los dígitos en ambas soluciones son exactamente los mismos la multiplicación no cambia. La diferencia consiste en la posición del punto decimal en las respuestas finales: 214 · 36 = 7,704, y 21.4 · 3.6 = 77.04.

 

Para saber dónde poner el punto decimal en un problema de multiplicación, cuenta el número total de posiciones decimales en cada uno de los factores.

21.4     el primer factor tiene una posición decimal

  3.6     el segundo factor tiene una posición decimal

          77.04     el producto tendrá 1 + 1 = 2 posiciones decimales

 

Observa que no es necesario que los puntos decimales estén alineados como en la suma o la resta.

 

Ejemplo

Problema

3.04 · 6.1 = ?

 

 

 

3.04

x  6.1

304

18240

18544

 

Plantea el problema.

 

Multiplica.

 

Suma.

 

 

 

 

 

 

 

3.04

x  6.1

304

18240

18.544

 

 

 

 

 

 

 

 

Cuenta el número total de posiciones decimales en los factores e inserta el punto decimal en el producto.

 

2 posiciones decimales.

1 posición decimal.

 

 

3 posiciones decimales.

Respuesta

3.04 · 6.1 = 18.544

 

A veces podría ser necesario añadir ceros al frente del producto para que tengas el número correcto de posiciones decimales. Observa la respuesta final en el ejemplo siguiente:

 

Ejemplo

Problema

0.037 · 0.08 = ?

 

 

 

0.037

x  0.08

296

 

Plantea el problema.

 

Multiplica.

 

 

 

 

 

 

 

0.037

x  0.08

0.00296

 

 

 

 

 

 

Cuenta el número total de posiciones decimales en los factores e inserta el punto decimal en el producto.

 

3 posiciones decimales.

2 posiciones decimales.

5 posiciones decimales.

Respuesta

0.037 · 0.08 = 0.00296

Nota que necesitaste añadir ceros antes del 296 para obtener 5 posiciones decimales.

 

Si aparecen uno o más ceros a la derecha del producto, no se eliminan hasta que no se haya añadido el punto decimal.

 

Ejemplo

Problema

2.04 · 1.95 = ?

 

 

 

2.04

x  1.95

1020

18360

20400

39780

 

Plantea el problema.

 

Multiplica.

 

 

Suma.

 

2.04

x  1.95

1020

18360

20400

3.9780

 

 

 

2 posiciones decimales.

2 posiciones decimales.

 

 

 

4 posiciones decimales.

 

Respuesta

2.04 · 1.95 = 3.978

La respuesta puede omitir el último 0 a la derecha.

 

Multiplicando decimales

 

Para multiplicar decimales:

·         Acomoda y multiplica los números como harías con números enteros.

·         Cuenta el número total de posiciones decimales en ambos factores.

·         Coloca el punto decimal en el producto de tal manera que el número de posiciones decimales del producto sea la suma de las posiciones decimales de los factores.

·         Conserva todos los ceros en el producto cuando coloques el punto decimal. Puedes eliminar los ceros a la derecha una vez que hayas puesto el punto decimal. Si el número de posiciones decimales es mayor que el número de dígitos en el producto, puedes añadir ceros enfrente del producto.

 

 

Multiplica. 51.2 · 3.08

 

A) 15769.6

 

B) 1576.96

 

C) 157.696

 

D) 15.7696

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 15769.6

Incorrecto. Pon atención al colocar el punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.

 

B) 1576.96

Incorrecto. Pon atención al colocar el punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.

 

C) 157.696

Correcto. Para encontrar el producto multiplica 512 · 308 = 157696. Cuenta el número total de posiciones decimales en los factores, 3, y luego coloca el punto decimal en el producto de manera que también tenga tres posiciones decimales. La respuesta es 157.696.

 

D) 15.7696

Incorrecto. Pon atención al colocar el punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.

 

 

 

Multiplicando por potencias de diez

 

Multiplica 4.469 por 10. Ahora multiplica 4.469 · 100. Finalmente, multiplica 4.469 · 1,000. ¿Notas algún patrón en los productos?

 

4.469

x 10

44.690

4.469

x 100

446.900

4.469

x 1000

4469.000

 

Observa que los productos van aumentando por un valor de posición conforme aumenta el multiplicador (10, 100, y 1,000). De hecho, el punto decimal se mueve a la derecha el mismo número de ceros en multiplicador que es una potencia de 10.

 

4.469 · 10 = 44.69

                      ^

4.469 · 100 = 446.9

                             ^

4.469 · 1,000 = 4469.

                                ^

 

Puedes usar ésta observación para multiplicar rápidamente por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc).

 

Ejemplo

Problema

0.03 · 100 = ?

 

 

 

   0.03 · 100 = ?

 

100 tiene 2 ceros.

 

0.03 · 100 = 3

 

Recorre el punto decimal dos lugares a la derecha para obtener el producto.

Respuesta

0.03 · 100 = 3

 

 

 

 

Multiplicando un decimal por una potencia de diez

 

Para multiplicar un número decimal por una potencia de diez (como 10, 100, 1,000, etc.), cuenta el número de cero en la potencia de diez. Luego recorre a la derecha el punto decimal el mismo número de posiciones..

 

Por ejemplo, 0.054 · 100 = 5.4. El multiplicador 100 tiene dos ceros, por lo que mueves el punto decimal en 0.054 dos posiciones hacia la derecha — para obtener el producto 5.4.

 

 

 

Dividiendo decimales

 

Para dividir decimales, también aplicas los métodos que usas para dividir números enteros. Observa el siguiente par de problemas. ¿En qué son similares?

 

Nota que la división ocurre de la misma forma — la única diferencia es la posición del punto decimal en el cociente.

 

Ejemplo

Problema

18.32 ÷ 8 = ?

 

 

 

    ________

 8 ) 1 8.3 2

 

 

Plantea el problema.

 

       2.2 9

 8 ) 1 8.3 2

    -1 6

       2 3

      -1 6

         7 2

       - 7 2

           0

 

Divide.

 

       2.2 9

 8 ) 1 8.3 2

 

 

Coloca el punto decimal en el cociente. Debe quedar directamente sobre el punto decimal del dividendo.

Respuesta

18.32 ÷ 8 = 2.29

 

 

 

 

Pero, ¿qué pasa cuando divides entre un decimal, como en el problema siguiente?

 

    __________

0.3 ) 2 6 0.1

 

 

En casos como éste, puedes usar potencias de 10 para ayudarte a crear un problema más fácil de resolver. En éste caso puedes multiplicar el divisor, 0.3, por 10 para recorrer el punto decimal 1 lugar hacia la derecha. Si multiplicas el divisor por 10, también debes multiplicar el dividendo por 10 para mantener igual el cociente. El nuevo problema se muestra a continuación.

 

Ejemplo

Problema

260.1 ÷ 0.3 = ?

 

 

 

     ________

0.3 ) 2 6 0.1

 

 

Plantea el problema.

 

     __________

 3. ) 2 6 0 1.

 

 

Multiplica el divisor y el dividendo por 10 para crear un divisor entero.

 

      8 6 7

3 ) 2 6 0 1

   -2 4

      2 0

     -1 8

        2 1

      - 2 1

          0

 

Divide.

Respuesta

260.1 ÷ 0.3 = 867

 

 

 

A veces, el dividendo seguirá siendo decimal después de multiplicar por una potencia de 10. En este caso, la posición del punto decimal debe alinearse con el punto decimal del dividendo.

 

Ejemplo

Problema

15.275 ÷ 3.25 = ?

 

 

 

       __________

3.2 5 ) 1 5.2 7 5

 

 

Plantea el problema.

 

      ___________

3 2 5.) 1 5 2 7.5

 

 

Multiplica el divisor y el dividendo por 100 para crear un divisor entero.

 

              4.7

3 2 5.) 1 5 2 7.5

       -1 3 0 0

          2 2 7 5

         -2 2 7 5

                0

 

 

Divide. 325 cabe cuatro veces en 1527, por lo que el número 4 se coloca sobre el número 7.

 

El punto decimal en el cociente se coloca directamente sobre el punto decimal en el dividendo.

Respuesta

15.275 ÷ 3.25 = 4.7

 

 

 

Dividiendo decimales

 

Dividiendo decimales entre números enteros

Divide de la misma forma que lo harías con números enteros. Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo.

 

Dividiendo entre decimales

Para dividir entre un decimal, multiplica el divisor por una potencia de diez para convertirlo en un número entero. Luego multiplica el dividendo por la misma potencia de diez. Puedes pensar en esto como recorrer a la derecha el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones que el punto decimal del divisor.

 

Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo. Finalmente, divide como lo harías con números enteros.

 

 

Divide: 25.095 ÷ 0.5.

 

A) 5,019

 

B) 501.9

 

C) 50.19

 

D) 0.5019

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 5,019

Incorrecto. Multiplica ambos el divisor y el dividendo por 10 (esto convertirá el 0.5 en un número entero), y divide. Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo. La respuesta correcta es 50.19.

 

B) 501.9

Incorrecto. Multiplica ambos el divisor y el dividendo por 10 (esto convertirá el 0.5 en un número entero), y divide. Luego coloca el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo. La respuesta correcta es 50.19.

 

C) 50.19

Correcto. El problema puede plantearse como 250.95 ÷ 5; el cociente es 50.19.

 

D) 0.5019

Incorrecto. Recuerda que cuando divides, no cuentas el número total de posiciones decimales en el divisor y el dividendo. Conviertes el divisor a un número entero, luego recorres el punto decimal del dividendo el mismo número de lugares y divides. Finalmente, colocas el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal del dividendo. La respuesta correcta es 50.19.

 

 

 

Dividiendo entre potencias de diez

 

Recuerda que cuando multiplicas un decimal por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc), el lugar del punto decimal en el producto corresponderá al número de ceros en la potencia de diez. Por ejemplo, 4.12 · 10 = 41.2.

 

La multiplicación y la división son operaciones inversas, por lo que puedes esperar que si divides un decimal entre una potencia de diez, el punto decimal en el cociente también corresponderá al número de ceros en la potencia de diez. La diferencia consiste en que el punto decimal se recorre a la derecha cuando multiplicas, pero se mueve a la izquierda cuando divides..

 

            

 

 

En los ejemplos anteriores, nota que cada cociente contiene los dígitos 4469 — pero al añadir otro 0 al final de cada potencia de diez en el divisor, el punto decimal se recorre una posición adicional a la derecha del cociente.

 

Dividiendo entre potencias de diez

 

Para dividir un decimal entre una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc.), cuenta el número de ceros en el divisor. Luego recorre a la izquierda el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones decimales; éste será tu cociente.

 

 

Ejemplo

Problema

31.05 ÷ 10 = ?

 

 

 

   31.05 ÷ 10 = ?

 

10 tiene un cero.

 

31.05 ÷ 10 = 3.105

 

 

Recorre el punto decimal un lugar hacia la izquierda en el dividendo; éste es el cociente.

Respuesta

31.05 ÷ 10 = 3.105

 

 

 

Divide. 0.045 ÷ 100

 

A) 0.00045

 

B) 0.045

 

C) 4.5

 

D) 4,500

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 0.00045

Correcto. Hay dos ceros en el divisor (100), entonces para encontrar el cociente, tomamos el dividendo (0.045) y recorremos el punto decimal dos lugares hacia la izquierda. El cociente es 0.00045.

 

B) 0.045

Incorrecto. 0.045 es el dividendo; no puede ser igual al cociente a menos que el divisor sea 1. La respuesta correcta es 0.00045.

 

C) 4.5

Incorrecto. 4.5 sería la respuesta correcta si multiplicas 0.045 por 100, no divides entre 100. La respuesta correcta es 0.00045.

 

D) 4,500

Incorrecto. 4,500 sería la respuesta correcta si multiplicas 0.045 por 100,000, no divides entre 100. La respuesta correcta es 0.00045.

 

 

 

Resolviendo problemas multiplicando o dividiendo decimales

 

Ahora regresemos a los problemas del inicio de la sección. Ahora sabes cómo multiplicar y dividir con decimales. Pongamos tus conocimientos a prueba.

 

Ejemplo

Problema

Una pareja cena en un restaurante Japonés. La cuenta es $58.32 — que incluye el impuesto $4.64. Para calcular la propina, ellos pueden duplicar el impuesto. ¿Qué propina van a dejar?

 

4.64

x   2

 

Plantea un problema de multiplicación.

 

4.64

x   2

928

 

Multiplica.

 

4.64

x   2

9.28

 

Cuenta el número de posiciones decimales en ambos factores, y coloca el punto decimal de acuerdo con su suma.

Respuesta

La pareja debe dejar una propina de $9.28.

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Andy acaba de vender su camioneta que le daba 20 millas por galón de gasolina. Compró una nueva e hizo un viaje de 614.25 millas. Gastó 31.5 galones de gasolina en su viaje. ¿Fue más eficiente con su nueva camioneta?

 

       __________

3 1.5 ) 6 1 4.2 5

 

 

Plantea un problema de división.

 

       __________

3 1 5.) 6 1 4 2.5

 

 

Convierte el divisor en un número entero multiplicando por 10; has lo mismo con el dividendo.

 

            1 9.5

3 1 5.) 6 1 4 2.5

       -3 1 5

        2 9 9 2

       -2 8 3 5

          1 5 7 5

         -1 5 7 5

                0

 

Divide. Coloca un punto decimal en el cociente de manera que quede directamente por encima del punto decimal del dividendo.

Respuesta

Andy obtuvo 19.5 millas por galón. Antes obtenía 20 millas por galón. No aumentó su eficiencia con la nueva camioneta.

 

Sumario

 

Aprender a multiplicar y dividir con decimales es una habilidad importante. En ambos casos, trabajas con los decimales de la misma manera que con números enteros, pero debes averiguar dónde poner el punto decimal. Cuando multiplicas decimales, el número de posiciones decimales en el producto es la suma del número de posiciones decimales en los factores. Cuando divides entre decimales, recorre a la derecha el punto decimal en el dividendo el mismo número de posiciones decimales que el divisor. Luego coloca el punto decimal en el cociente sobre el punto decimal del dividendo.