Sumando fracciones y números mixtos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Sumar fracciones con denominadores iguales.

·         Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números.

·         Encontrar el común denominador de fracciones con denominadores distintos.

·         Sumar fracciones con denominadores distintos.

·         Sumar números mixtos con denominadores iguales y distintos.

·         Resolver problemas de aplicación que requieren la suma de fracciones o números mixtos.

 

 

Las fracciones se usan en muchas áreas de la vida cotidiana: recetas, carpintería, pronósticos del clima, tarjetas de asistencia, y mediciones, por nombrar algunas. A veces tienes partes de una unidad que necesitas combinar. De la misma forma en la que sumas números enteros, puedes sumar fracciones y números mixtos. Considera, por ejemplo, cómo determinar la cantidad de lluvia que cae al mes si conoces la cantidad de lluvia que cae en un día. Debes sumar fracciones. También, considera varios pintores que trabajan pintando una casa con varias cubetas de pintura. Ellos necesitan sumar las fracciones de lo que les sobra de pintura en cada cubeta para terminar si tienen suficiente para terminar el trabajo o deben comprar más.

 

Cuando las piezas son del mismo tamaño, pueden sumarse fácilmente. Considera las gráficas siguientes mostrando las fracciones  y .

Ésta gráfica representa  porque 3 de 6 bloques están sombreados.

Ésta gráfica representa porque 2 de 6 bloques están sombreados.

 

 

Si sumas éstos bloques, estas sumando  + .

Puedes crear una nueva gráfica mostrando 5 bloques sombreados en el rectángulo que contiene 6 bloques.

 

 

Entonces, .

 

Sin dibujar rectángulos y sombrear bloques, puedes obtener éste resultado simplemente sumando los numeradores, 3 + 2, y manteniendo el denominador, 6. Éste procedimiento funciona para sumar cualquier conjunto de fracciones que tengan el mismo denominador, llamados denominadores iguales.

 

 

 

 

 

 

En el ejemplo anterior, la fracción fue simplificada y luego convertida a un número mixto. Pudiste fácilmente convertir la fracción impropia a un número mixto para luego simplificar la fracción en el número mixto. Observa que la misma respuesta se obtiene con ambos métodos.

 

                 =

 

La fracción  puede ser simplificada.

 

Pero, ¡no te olvides del 1 que es parte del número mixto! La solución es .

 

Sumando fracciones con denominadores comunes   1.    Suma los numeradores (el número de arriba de cada fracción). 2.    Conserva el denominador (el número de abajo). 3.    Simplifica a su mínima expresión.

 

 

Sumar. Simplificar la respuesta y escribirla como un número mixto.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Cuando sumas fracciones con denominadores comunes, sólo sumas los numeradores, no los denominadores. Conserva el denominador. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. Para sumar dos fracciones con el mismo denominador, suma los dos numeradores. Luego simplifica la fracción. La respuesta correcta es .   C) Incorrecto. La solución debe expresarse como un número mixto simplificado, no como una fracción impropia. La respuesta correcta es .   D) Correcto. .

 

Algunas veces las fracciones no tienen el mismo denominador. Tienen denominadores distintos. Volvamos al ejemplo de los pintores. Si un pintor tiene  de cubeta y su compañero tiene  cubeta, ¿cuánto tienen en total? ¿Cómo puedes sumar éstas fracciones cuando no tienen los denominadores iguales?

 

La respuesta es que puedes reescribir ambas fracciones de tal forma que tengan el mismo denominador. A esto se le llama encontrar el común denominador. Si bien cualquier común denominador funcionaría, es útil encontrar el mínimo común múltiplo de los dos números en el denominador porque esto te ahorrará tener que simplificar al final. El mínimo común múltiplo es el mínimo número que es un múltiplo de dos o más números. El mínimo común múltiplo se abrevia MCM.

 

Existen varias formas de encontrar múltiplos comunes, has usado algunas cuando comparas fracciones. Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), puedes enlistar los múltiplos de cada número y determinar cuáles múltiplos tienen en común El menor de esos números será el mínimo común múltiplo. Considera los números 4 y 6. Algunos de sus múltiplos se muestran a continuación. Puedes ver que tienen varios múltiplos comunes, y el menor es 12.

 

4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64
6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	68

 

 

 

El otro método para encontrar el mínimo común múltiplo es usar la factorización prima. Éste es el método que necesitas para trabajar con expresiones racionales. El ejemplo siguiente muestra cómo funciona el método de factorización con los números 4 y 6.

 

Empieza encontrando la factorización prima de cada denominador:

 

4	=	2	•	2
6	=	3	•	2

 

Identifica los factores el mayor número de veces que aparecen en cualquiera de las factorizaciones y multiplícalos para obtener el mínimo común múltiplo. Para 4 y 6, sería:

 

3 • 2 • 2 = 12

 

Observa que el 2 aparece dos veces, porque aparece dos veces en la factorización prima de 4. El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

 

 

El ejemplo siguiente también muestra cómo usar la factorización prima.

 

 

 

Encuentra el mínimo común múltiplo de 12 y 80.   A) 240   B) 120   C) 960   D) 480   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 240 Correcto. 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 240.   B) 120 Incorrecto. 120 no es múltiplo de 80. La respuesta correcta es 240.   C) 960 Incorrecto. 960 es un múltiplo común, pero no es el mínimo común múltiplo. La respuesta correcta es 240..   D) 480 Incorrecto. 480 es un múltiplo común, pero no es el mínimo común múltiplo. La respuesta correcta es 240.

 

 

Puedes usar el mínimo común múltiplo de dos denominadores como el mínimo común denominador para esas fracciones. Luego reescribes cada fracción usando el mismo denominador.

 

El ejemplo siguiente muestra cómo usar el mínimo común múltiplo como el mínimo común denominador.

 

 

 

Encuentra el mínimo común denominador. Luego expresa cada fracción usando el mínimo común denominador:  y A)   B)   C) 24   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. 23 es un denominador común, pero no el mínimo común denominador de las fracciones. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. 12 es el mínimo común denominador, pero éstas fracciones no son equivalentes a las fracciones originales. Los numeradores están equivocados. La respuesta correcta es .   C) 24 Incorrecto. 24 es un múltiplo de los denominadores, pero la tarea fue reescribir las fracciones con un denominador común. La respuesta correcta es .   D)  Correcto. ,

 

 

Para sumar fracciones con denominadores distintos, primero reescríbelas con denominadores iguales. Luego, ¡ya sabes qué hacer! Los pasos se muestran a continuación.

 

Sumando fracciones con denominadores distintos   1.      Encuentra un común denominador. 2.      Reescribe cada fracción usando el común denominador.   3.      Ahora que las fracciones tienen un común denominador, puedes sumar los numeradores.   4.      Simplifica a su mínima expresión, representando fracciones impropias como números mixtos.

 

Puedes encontrar un común denominador multiplicando los dos denominadores. Observa el ejemplo siguiente.

 

 

 

Puedes encontrar un común denominador encontrando los múltiplos comunes de los denominadores. El mínimo común múltiplo es el más fácil de usar.

 

 

También puedes añadir más de dos fracciones siempre y cuando encuentres el común denominador para todas ellas. Un ejemplo de una suma de tres fracciones se muestra a continuación. En el ejemplo, vas a usar el método de la factorización prima para encontrar el MCM.

 

 

 

Sumar. Simplificar la respuesta y escribirla como un número mixto.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. La fracción en el número mixto puede simplificarse. La respuesta correcta es .   B) Correct0. .   C) Incorrecto. Expresa la fracción impropia como un número mixto. La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. Encuentra un común denominador; expresa cada fracción usando el común denominador; suma los numeradores y simplifica. La respuesta correcta es .

Así como puedes sumar números enteros y funciones propias, también puedes sumar números mixtos. Para sumar números mixtos, suma los números enteros con los números enteros, las fracciones con las fracciones y recombina para expresar el valor como un número mixto. Los pasos para sumar dos números mixtos se muestran a continuación.

 

Puedes acomodar los números enteros y las fracciones usando el método vertical para sumar, como se muestra en el ejemplo.

 

 

Cuando sumas números mixtos también puede ser necesario encontrar primero un común denominador. Considera el ejemplo siguiente.

 

 

 

Sumar. Simplificar la respuesta y escribirla como un número mixto.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Los números enteros deben sumarse también. La respuesta correcta es .   B) Correcto.  = = .   C) Incorrecto. Para sumar fracciones con denominadores distintos, debes primero encontrar un común denominador. La respuesta correcta es.   D) Incorrecto. Un número mixto simplificado es un número entero y una fracción propia. La respuesta correcta es .

 

 

Saber cómo sumar fracciones es útil en una variedad de situaciones. Cuando leas problemas, busca frases que te ayuden a saber si debes sumar fracciones.

 

 

 

 

 

¿Cuál es la cantidad total de lluvia en un periodo de tres días si llueve  de pulgada el primer día,  de pulgada el segundo día, y  de pulgada el tercer día?   A) 6 pulgadas   B)  pulgadas   C)  pulgadas   D)  pulgadas   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 6 pulgadas Incorrecto. La respuesta no es un número entero porque las fracciones suman . La respuesta correcta es  pulgadas.   B)  pulgadas Correcto. 5 = pulgadas.   C)  pulgadas Incorrecto. Cuando sumas las fracciones obtienes 5 +. El 5 + aún contiene una fracción impropia. El  debe cambiarse a  y recombinado con el 5. Necesitas combinar el 1 de  con el 5 para obtener , no . La respuesta correcta es .   D)  pulgadas Incorrecto.  no es el número mixto correcto; la parte fraccional del número sigue siendo impropia. La respuesta correcta es .

 

 

Sumar fracciones con denominadores comunes consiste en sumar los numeradores y mantener el mismo denominador. Siempre simplifica la respuesta. Para sumar fracciones con denominadores distintos, primero encuentra un común denominador. El mínimo común múltiplo puede usarse como el mínimo común denominador. La suma de números mixtos consiste en sumar las partes fraccionales, sumar los números enteros, y luego recombinarlos para formar un número mixto.