Entendiendo exponentes y raíces cuadradas

 

Objetivos de aprendizaje

·         Evaluar expresiones que contienen exponentes.

·         Escribir factores repetidos usando notación exponencial.

·         Encontrar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto.

 

 

Los exponentes proveen una manera especial de escribir una multiplicación repetida. Los números escritos de ésta manera tienen una forma específica. Con cada parte aportando información sobre el número. Escribir números usando exponentes puede ahorrar mucho espacio. La operación inversa de la multiplicación de un número por sí mismo se llama encontrar la raíz cuadrada de un número. Ésta operación es útil para problemas sobre el área de un cuadrado.

 

 

La Notación exponencial es una forma especial de escribir factores repetidos, por ejemplo 7 • 7. La notación exponencial tiene dos partes. Una parte de la notación se llama base. La base es el número que se está multiplicado a sí mismo. La otra parte se llama exponente, o potencia. Éste es un número pequeños escrito arriba y a la derecha de la base. El exponente, o potencia, nos dice cuántas veces utilizar la base como un factor en la multiplicación. En el ejemplo, 7 • 7 puede escribirse como 7², 7 es la base y 2 es el exponente. El exponente 2 significa que hay dos factores.

 

7²  = 7 • 7 = 49

 

Puedes leer 7² como “siete al cuadrado.” Esto es porque multiplicar un número por sí mismo se llama “elevar al cuadrado un número.” De manera similar, si la potencia es 3 se llama “elevar al cubo el número.” Puedes leer 7³ como “siete al cubo.”

 

Puedes leer 2⁵ como “dos a la quinta potencia” o “dos a la potencia cinco.”  Leer 8⁴ como “ocho a la cuarta potencia” o “ocho a la potencia cuatro.” Éste formato puede usarse para leer cualquier número escrito en notación exponencial. De hecho, mientras que 6³ se le conoce comúnmente como “seis elevado al cubo,” también se puede leer como “seis a la tercera potencia” o “seis a la potencia tres.”

 

Para encontrar el valor de un número escrito en forma exponencial, reescribe el número como una multiplicación repetida y realiza la multiplicación. Dos ejemplos se muestran a continuación.

 

 

 

 

 

Encontrar el valor de 43.   A) 12   B) 64   C) 256   D) 43   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 12 Incorrecto. Multiplica 4 • 4 • 4, no 4 • 3. La respuesta correcta es 64.   B) 64 Correcto. 4 • 4 • 4 = 64.   C) 256 Incorrecto. Usa tres factores de 4 en la multiplicación. La respuesta correcta es 64.   D) 43 Incorrecto. 43 significa 4 • 4 • 4. La respuesta correcta es 64.

 

 

Escribir multiplicaciones repetidas en notación exponencial puede ahorrar tiempo y espacio. Considera el ejemplo5 • 5 • 5 • 5. Podemos usar la notación exponencial para escribir ésta multiplicación repetida como 5⁴. Ya que 5 está siendo multiplicado, se escribe en la base. Como la base se usa 4 veces en la multiplicación, el exponente es 4. La expresión 5 • 5 • 5 • 5 puede reescribirse en notación exponencial como 5⁴ y leerse, “cinco a la cuarta potencia” o “cinco a la potencia 4.”

 

Para escribir una multiplicación repetida del mismo número en notación exponencial, primero escribe como la base el número siendo multiplicado. Luego cuenta las veces que el número es usado en la multiplicación, y escribe ese número como el exponente. Asegúrate de contar los números, no los símbolos de multiplicación, para determinar el exponente.

 

 

 

Escribe 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 en notación exponencial.   A) 1,000,000   B) 60   C) 105   D) 106   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 1,000,000 Incorrecto. 1,000,000 es equivalente a 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10, pero no está escrito en notación exponencial. La respuesta correcta es 106.   B) 60 Incorrecto. Ésta respuesta es mucho menor que el valor correcto y no está en notación exponencial. Debiste pensar que seis 10s deberían escribirse 6 • 10 y luego simplificaste eso a 60. La respuesta correcta es 106 porque los seis 10s se multiplican.   C) 105 Incorrecto. Cuenta el número de veces que se usa el 10 en la multiplicación, que son 6, no el número de símbolos de multiplicación, 5, para encontrar el exponente. La respuesta correcta es 106.   D) 106 Correcto. La base es 10 porque ese es el número que está siendo multiplicado por sí mismo. El exponente es 6 porque hay seis 10s en la multiplicación.

 

 

 

Como vimos anteriormente, 5² se llama “cinco al cuadrado.” “Cinco al cuadrado” significa que el cinco se multiplica por sí mismo. En matemáticas llamamos al resultado de elevar al cuadrado un número entero un cuadrado perfecto. Un cuadrado perfecto es cualquier número que puede escribirse como un número entero elevado a la potencia de 2. Por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto. Un número cuadrado perfecto puede representarse con una figura cuadrada, como se muestra abajo. Vemos que 1, 4, 9, 16, 25, y 36 son ejemplos de cuadrados perfectos.

 

 

Para elevar al cuadrado un número, multiplica el número por sí mismo. 3 al cuadrado = 3²  = 3 • 3 = 9.

 

Abajo están algunos ejemplos de cuadrados perfectos.

 

 

La operación inversa de elevar al cuadrado un número se llama encontrar la raíz cuadrada de un número. Encontrar la raíz cuadrada es como preguntar, “¿qué número multiplicado por sí mismo me daría éste número?” La raíz cuadrada de 25 es 5, porque 5 multiplicado por sí mismo es igual a 25. Las raíces cuadradas se escriben con el símbolo matemático, llamado signo radical, que se ve así: . La “raíz cuadrada de 25” se escribe .

 

 

 

Encontrar .   A) 6   B) 18   C) 72   D) 7   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 6 Correcto. Ya que 6 • 6 = 36,  = 6.   B) 18 Incorrecto. La raíz cuadrada de 36 es el número que puedes multiplicar por sí mismo para obtener 36. La raíz cuadrada no es el número que multiplicas por 2 para obtener 36. La respuesta correcta es 6, porque 6 • 6 = 36.   C) 72 Incorrecto. Puede ser que incorrectamente sumaste 36 a sí mismo para obtener 72. La raíz cuadrada de 36 es el número que puedes multiplicar por sí mismo para obtener 36. La respuesta correcta es 6, porque 6 • 6 = 36.   D) 7 Incorrecto. 7 • 7 = 49, entonces  = 7. La respuesta correcta es 6, porque 6 • 6 = 36. Esto significa  = 6.

 

 

La notación exponencial es una forma rápida de escribir una multiplicación repetida del mismo número. Un número escrito en notación exponencial tiene una base y un exponente, y cada una de sus partes proveen información para encontrar el valor de la expresión. La base nos dice qué número está siendo repetidamente multiplicado, y el exponente nos dice cuántas veces la base se usa en la multiplicación. Los exponentes 2 y 3 tienen nombres especiales. Elevar una base a la potencia de 2 se llama elevar al cuadrado. Y una base a la potencia de 3 se llama elevar al cubo. El inverso de elevar al cuadrado un número es encontrar su raíz cuadrada. Para encontrar la raíz cuadrada de un número, pregúntate, “¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo para obtener éste número?”