Propiedades y leyes de los números enteros

 

Objetivos de aprendizaje

·         Simplificar usando la propiedad del elemento neutro de la suma.

·         Simplificar usando la propiedad del elemento neutro de la multiplicación.

·         Identificar y usar la ley conmutativa de la suma.

·         Identificar y usar la ley conmutativa de la multiplicación.

·         Identificar y usar la ley asociativa de la suma.

·         Identificar y usar la ley asociativa de la multiplicación.

 

 

 

Las Matemáticas a veces implican la simplificación de expresiones numéricas. Al simplificar, puedes usar leyes y propiedades que aplican a ciertas operaciones. La propiedad del elemento neutro de la multiplicación dice que cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número, y la propiedad del elemento neutro de la suma dice que cualquier número sumado a cero es el mismo número.

 

Dos leyes importantes son las leyes conmutativas, que dicen que el orden en el cual sumas dos números o multiplicas dos números no afecta el resultado. Puedes recordar esto si consideras que la distancia que viajas de tu casa al trabajo y del trabajo a tu casa es la misma. Puedes cambiar de lugar los números en la suma y en la multiplicación sin que importe su orden en la expresión.

 

También aprenderás cómo simplificar una suma y una multiplicación usando las leyes asociativas. De la misma manera que las conmutativas, hay leyes asociativas para la suma y la multiplicación. Así como las personas pueden asociarse con otras en grupos diferentes, un número puede asociarse con otros números en un grupo y otro. Las leyes asociativas nos permiten agrupar números usando paréntesis.

 

 

La propiedad del elemento neutro de la suma dice que para cualquier número al que se le suma 0, el resultado equivale al mismo número. Recuerda que el resultado no es cero – eso sólo sucede cuando multiplicas. Tu resultado es simplemente igual al número original.

 

 

 

 

112 + 0 = ?   A) 112   B) 0   C) 1   D) 1,120   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 112 Correcto. Sumar cero al número no cambia el número.   B) 0 Incorrecto. Tu respuesta debería ser cero si multiplicas 112 por 0, pero no si sumas 112 a 0. La respuesta correcta es 112.   C) 1 Incorrecto. Sumar 112 a 0 no es igual a 1. La respuesta correcta es 112.   D) 1,120 Incorrecto. No debes poner cero en el lugar de las unidades y mover los dígitos a la izquierda de su valor de posición. Esto sólo ocurre cuando multiplicas por una potencia de diez. La respuesta correcta es 112.

 

De acuerdo con la propiedad del elemento neutro de la multiplicación, el producto de 1 por cualquier número resulta en el mismo número. El resultado es simplemente idéntico al número original.

 

 

 

 

72,540 x 1 = ?   A) 725,401   B) 72,541   C) 72,540   D) 72,539   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 725,401 Incorrecto. No debes poner cero en el lugar de las unidades y mover los dígitos a la izquierda de su valor de posición. Esto sólo ocurre cuando multiplicas por una potencia de diez. La respuesta correcta es 72,540.   B) 72,541 Incorrecto. No sumas 1 al número. La respuesta correcta es 72,540.   C) 72,540 Correcto. Multiplicar cualquier número por 1 resulta en el mismo número, y en este caso es 72,540.   D) 72,539 Incorrecto. No restas uno del número. La respuesta correcta es 72,540.

 

 

 

 

La ley conmutativa de la suma nos dice que puedes cambiar de posición los números en una expresión sin alterar la suma. Por ejemplo, 3 + 2 es lo mismo que 2 + 3.

 

3 + 2 = 5

2 + 3 = 5

 

Es probable que te encuentres con rutinas diarias en las que el orden puede ser cambiado. Por ejemplo, cuando te preparas para ir a trabajar en la mañana, ponerte tus guantes izquierdo y derecho es conmutativo. Podrías ponerte primero el guante derecho y después el izquierdo, o podrías ponerte primero el izquierdo y luego el derecho. De la misma manera, cepillarte los dientes y peinarte el cabello es conmutativo, porque no importa en qué orden los llevas a cabo.

 

Recuerda que ésta ley sólo aplica a la suma, y no a la resta. Por ejemplo:

 

8 – 2 no es lo mismo que 2 – 8.

 

A continuación, encontrarás ejemplos de expresiones que han sido cambiadas con la ley conmutativa. Nota que las expresiones donde se resta no pueden ser cambiadas.

 

 

También es posible que te encuentres con rutinas en la vida real que no son conmutativas. Cuando te preparas para ir a trabajar, ponerte tu ropa debe ocurrir antes que ponerte tu chamarra. De la misma manera, subirte al carro debe ocurrir primero que encender el motor. En una tienda, necesitas tomar los artículos antes de ir a la caja a pagar.

 

 

 

 

 

Rescribe 15 + 12 = 27 de una manera distinta, usando la ley conmutativa de la suma.   A) 15 = 12 + 27   B) 12 = 15 + 27   C) 15 + (12 = 27)   D) 12 + 15 = 27   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 15 = 12 + 27 Incorrecto. Sólo puede cambiar el orden de los sumandos. La respuesta correcta es 12 + 15 = 27.   B) 12 = 15 + 27 Incorrecto. Sólo puede cambiar el orden de los sumandos. La respuesta correcta es 12 + 15 = 27.   C) 15 + (12 = 27) Incorrecto. Nunca debes poner paréntesis entre el signo = (y los paréntesis no se usan en las leyes conmutativas). La respuesta correcta es 12 + 15 = 27.   D) 12 + 15 = 27 Correcto. La ley conmutativa te permite cambiar el orden de los sumandos.

 

 

 

La multiplicación también tiene una ley conmutativa. La ley conmutativa de la multiplicación dice que cuando dos o más números son multiplicados, su orden puede cambiarse sin afectar el resultado. En el ejemplo siguiente, nota que 5 multiplicado por 4 da el mismo resultado que 4 multiplicado por 5. En ambos casos, el resultado es 20.

 

5 • 4 = 20

 

4 • 5 = 20

 

Este ejemplo muestra cómo los números pueden cambiarse de lugar en una expresión de multiplicación.

 

 

 

Ten en cuenta que cuando usas la ley conmutativa, sólo el orden es afectado. La agrupación no cambia.

 

Problema: Reescribe 52 • 46 de una manera distinta, usando la ley conmutativa de la multiplicación.   A) 42 • 56   B) 5 • 246   C) 5 • 24 • 6   D) 46 • 52   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 42 • 56 Incorrecto. No puedes cambiar un dígito de cada número. La respuesta correcta es 46 • 52.   B) 5 • 246  Incorrecto. Los mismos números deben ser multiplicados. Los números en si no deben cambiar, sólo el orden en el que aparecen. La respuesta correcta es 46 • 52.   C) 5 • 24 • 6  Incorrecto. Los mismos números deben ser multiplicados. Los números en si no deben cambiar, sólo el orden en el que aparecen. La respuesta correcta es 46 • 52.   D) 46 • 52 Correcto. El orden de los números es cambiado, y los mismos números son multiplicados.

 

 

 

A continuación hay dos maneras de simplificar y resolver un problema de adición. Nota que puedes sumar números en cualquier orden. En el primer ejemplo, 4 es sumado a 5 para hacer 9.

 

4 + 5 + 6 = 9 + 6 = 15

 

Aquí, el mismo problema es resuelto, pero ésta vez, 5 se suma a 6 para hacer 11. Nota que resolver de ésta forma nos da el mismo resultado.

 

4 + 5 + 6 = 4 + 11 = 15

 

La ley asociativa de la suma nos dice que los números en una expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis. Puedes recordar el significado de la ley asociativa teniendo en cuenta que tú te asocias con miembros de tu familia, amigos, y compañeros, haces grupos con ellos. En la siguiente expresión, se usan paréntesis para agrupar números de tal forma que sepas qué sumar primero. Nota que cuando se presentan paréntesis, los números dentro de ellos se suman primero. La expresión puede reescribirse como diferentes grupos usando la ley asociativa.

 

(4 + 5) + 6 = 9 + 6 = 15

 

4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15

 

Aquí, es claro que los paréntesis no afectan el resultado final, el resultado es el mismo sin importar dónde están los paréntesis.

 

 

 

 

Cuando reescribes una expresión usando la ley asociativa, recuerda que estás reagrupando los números y no cambiando el orden, como en la ley conmutativa.

 

Reescribe 10 + (5 + 6) usando la propiedad asociativa.   A) (5 + 6) + 10   B) 10 + (6 + 5)   C) (10 + 5) + 6   D) (10 + 6) + 5   Mostrar/Ocultar Respuesta A) (5 + 6) + 10 Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la ley asociativa de la suma. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (10 + 5) + 6.   B) 10 + (6 + 5)  Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la ley asociativa de la suma. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (10 + 5) + 6.   C) (10 + 5) + 6 Correcto. En éste caso, los números son reagrupados. Ahora 10 y 5 están dentro del paréntesis en lugar de 5 y 6.   D) (10 + 6) + 5 Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la ley asociativa de la suma. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (10 + 5) + 6.

 

 

 

La multiplicación tiene una ley asociativa que funciona exactamente igual que la de la suma. La ley asociativa de la multiplicación dice que los números en una expresión de multiplicación pueden reagruparse en paréntesis. La siguiente expresión puede reescribirse de una manera distinta usando la ley asociativa.

 

(2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4).

 

Aquí, es claro que los paréntesis no afectan el resultado final, el resultado es el mismo sin importar dónde están los paréntesis.

 

 

 

 

Cuando reescribes una expresión usando la ley asociativa, recuerda que estás reagrupando los números y no cambiando su orden. Cambiar el orden le corresponde a la ley conmutativa.

 

Reescribe  8 • (7 • 6) usando la propiedad asociativa.   A) (8 • 7) • 6   B) (7 • 6) • 8   C) (7 • 8) • 6   D) (8 • 76)   Mostrar/Ocultar Respuesta     A) (8 • 7) • 6 Correcto. Aquí, los números han sido reagrupados. Ahora 8 y 7 están dentro del paréntesis en lugar de 7 y 6.   B) (7 • 6) • 8 Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la ley asociativa de la multiplicación. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (8 • 7) • 6.   C) (7 • 8) • 6 Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la ley asociativa de la multiplicación. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (8 • 7) • 6.   D) (8 • 76) Incorrecto. Los dígitos de números diferentes no deben combinarse para crear nuevos números. Sólo debe cambiar la manera en que están agrupados. La respuesta correcta es (8 • 7) • 6.

 

 

 

Cuando se reescribe una expresión, puedes saber si ha sido reescrita usando la ley conmutativa o la ley asociativa basado en si el orden de los números ha cambiado o si los números han sido reagrupados usando paréntesis.

 

Si una expresión se reescribe de tal forma que el orden de los números ha cambiado, entonces se ha usado la ley conmutativa.

 

 

 

 

Recuerda que cuando te asocias con amigos y familia, típicamente te estás agrupando con otras personas. Por lo que, si los números en una expresión se han reagrupado usando paréntesis y su orden permanece sin cambiar, entonces se ha usado la ley asociativa.

 

 

 

 

12 • (6 • 2) = 144 se reescribe como (12 • 6) • 2 = 144. ¿Se reescribió ésta expresión usando la ley conmutativa o la ley asociativa?   A) ley conmutativa   B) ley asociativa   Mostrar/Ocultar Respuesta A) ley conmutativa Incorrecto. La ley conmutativa consiste en cambiar de orden los números, lo que no ocurre en éste problema. La respuesta correcta es la ley asociativa.   B) ley asociativa Correcto. Los números han sido reagrupados usando paréntesis y el orden de los números no cambia

 

Si no hay paréntesis en un problema que ha sido reescrito, puedes asumir que la ley asociativa no ha sido utilizada.

 

17 • 3 = 51 se reescribe como 3 • 17 = 51. ¿Se reescribió ésta expresión usando la ley conmutativa o la ley asociativa?   A) ley conmutativa   B) ley asociativa   Mostrar/Ocultar Respuesta A) ley conmutativa Correcto. El orden de los números ha sido cambiado, lo que muestra que se ha usado la ley conmutativa.   B) ley asociativa Incorrecto. La ley asociativa consiste en reagrupar los números usando paréntesis, lo cual no ocurre en éste problema. Más bien, el orden de los números ha sido cambiado. La respuesta correcta es la ley conmutativa.

 

 

Las leyes asociativa y conmutativa son útiles cuando tienes una expresión con sólo una suma. Usando la ley conmutativa, los números pueden ser reordenados de tal manera que los números que son más fáciles de sumar queden uno junto al otro, y usando la ley asociativa, puedes reagruparlos de cualquier manera.

 

Por ejemplo, a continuación se muestran algunas maneras de sumar 6 + 5 + 4 usando las leyes asociativa y conmutativa. Nota que la respuesta es siempre la misma.

 

(6 + 5) + 4 = 11 + 4 = 15        agrupando 6 y 5 para sumar primero

(5 + 6) + 4 = 11 + 4 = 15        reordenando 6 y 5

5 + (6 + 4) = 5 + 10 = 15        agrupando 6 y 4 para sumar primero

 

6 + (5 + 4) = 6 + 9 = 15          agrupando 5 y 4 para sumar primero

6 + (4 + 5) = 6 + 9 = 15          reordenando 4 y 5

(6 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15        agrupando 6 y 4 para sumar primero

 

 

 

 

Algunas veces las leyes conmutativa y asociativa pueden facilitar suficientemente el problema como para poder resolverlo en tu cabeza.

 

 

También funciona cuando estás multiplicando más de dos números. Puedes usar las leyes conmutativa y asociativa si la expresión contiene sólo una multiplicación.

 

 

 

 

 

La propiedad del elemento neutro de la suma dice que para cualquier número al que se le suma cero, el resultado de la suma es el mismo número. La propiedad del elemento neutro de la multiplicación dice que para cualquier número multiplicado por uno, el resultado será el mismo número. Al cero se le llama la identidad aditiva, y al uno se le llama la identidad multiplicativa.

 

Cuando reescribes una expresión usando la ley conmutativa, cambias el orden de los números siendo sumados o multiplicados. Cuando reescribes una expresión usando la ley asociativa, agrupas un par distinto de números usando paréntesis.

 

Puedes usar las leyes conmutativa y asociativa para reagrupar y reordenar cualquier número en una expresión que implica solamente suma. También puedes usar las leyes conmutativa y asociativa para reagrupar y reordenar cualquier número en una expresión que implica solamente multiplicación.