Dividiendo números enteros y aplicaciones
Objetivos de aprendizaje
· Usar tres formas diferentes de representar la división.
· Dividir números enteros.
· Hacer la división larga.
· Dividir números enteros entre una potencia de 10.
· Reconocer que la división entre 0 no está definida.
· Resolver problemas de aplicación usando la división.
Introducción
Algunas personas piensan en la división como una “distribución justa” porque cuando divides un número estás tratando de crear partes iguales. La división es también la operación inversa de la multiplicación. En una multiplicación combinas conjuntos iguales para crear un total. En la división, separas el total en conjuntos que tienen la misma cantidad. Por ejemplo, podrías utilizar la división para determinar cómo repartir 40 empanadas entre 12 invitados en una fiesta.
¿Qué es la división?
Dividir es partir en partes iguales. Por ejemplo, uno podría usar la división para determinar cómo compartir un plato de galletas con un grupo de personas. Si hay 15 galletas para compartir entre 5 personas, podrías dividir 15 entre 5 y encontrar la “distribución justa”, es decir, que todos reciban el mismo número de galletas. Considera la ilustración siguiente.
15 galletas repartidas uniformemente en 5 platos resultan en 4 galletas en cada plato. Podrías representar ésta situación con la ecuación:
15 ÷ 5 = 3
Podrías también usar la recta numérica para modelar ésta división. Así como puedes pensar en la multiplicación como una suma repetida, puedes pensar en la división como una resta repetida. Considera cuántos saltos necesitasen 5s al moverte desde 15 hasta 0 en la recta numérica.
Nota que hay 3 saltos que cuando regresas desde 15 hasta 0. Esto es como restar 5 de 15 tres veces. Ésta resta repetida puede representarse con la ecuación: 15 ÷ 5 = 3.
Finalmente, considera cómo un modelo de área puede representar ésta división. Pregúntate, si fueras a dibujar un rectángulo que contiene 15 cuadritos con 5 cuadritos en una fila, ¿Cuántas filas tendría dicho rectángulo? Puedes empezar haciendo una fila de 5:
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| 5 |
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Ahora añade más filas hasta que tengas 15 cuadritos.
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| 5 |
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| 3 |
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El número de filas es 3. Entonces, 15 dividido entre 5 es igual a 3.
| Ejemplo | |||
| Problema | Encuentra 24 ÷ 3 usando el modelo de conjuntos y la recta numérica. |
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| Modelo de Conjuntos:
Recta numérica:
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| Respuesta | 24 ÷ 3 = 8 |
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Al igual que la multiplicación, la división puede escribirse usando diferentes símbolos. Ya hemos mostrado la división escrita como 15 ÷ 5 = 3, pero también puede escribirse de otras maneras:
Cada parte de la división tiene su nombre. El número que está siendo dividido, es decir, el total, se llama dividendo. En éste curso, el dividendo será el número más grande, aunque en las matemáticas no siempre sucede así. El número que está dividiendo se llama divisor. El resultado de una división se llama cociente.
El cuadro siguiente resume la terminología y formas comunes de representar la división.
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3 Maneras de representar la división
12 ÷ 3 = 4 (con el símbolo de división; ésta ecuación significa “12 entre 3 es igual a 4.”)
En los ejemplos anteriores, 12 es el dividendo, 3 es el divisor y 4 es el cociente.
Dividendo ÷ Divisor = Cociente
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¿Cuáles de las siguientes expresiones representan dividir $56 en partes iguales entre 7 personas?
1.
2. 56 ÷ 7
3.
A) #2 es la única expresión que representa la situación.
B) Todas las expresiones representan la situación.
C) #1 representa la situación.
D) #3 representa la situación.
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Una vez que has entendido cómo se escribe la división, ya estás preparado para resolver problemas simples de división. Necesitarás tus conocimientos de multiplicación para realizar la división. Si no te los sabes de memoria, puedes adivinar o revisar con una calculadora.
Considera los siguientes problemas:
10 ÷ 5 = ?
48 ÷ 2 = ?
30 ÷ 5 = ?
En el primer problema, 10 ÷ 5, podrías preguntarte, “¿cuántos cincos hay en diez?” Seguramente puedes responder fácilmente. Otra forma de ver esto es considerar partir 10 en 5 grupos e imaginar cuántos habrá en cada grupo.
10 ÷ 5 = 2
Para resolver 48 ÷ 2, podrías darte cuenta que dividir entre 2 es como partir algo en 2 partes o partir un total a la mitad. ¿Qué número podrías duplicar para que resulte 48?
48 ÷ 2 = 24
Para resolver 30 ÷ 5, podrías preguntarte, ¿cuántas veces debo saltar de 5 en 5 para llegar de 0 a 30? “5, 10, 15, 20, 25, 30. Debo saltar 6 veces para llegar a 30.”
30 ÷ 5 = 6
Algunas veces cuando estás dividiendo, no puedes partir el número fácilmente. Piensa en la división 9 ÷ 2. Podrías imaginar éste problema como 9 piezas de chocolate siendo divididas entre 2 personas. Podrías hacer dos grupos de 4 chocolates, y te quedaría un chocolate de sobra.
En matemáticas, éste sobrante se llama residuo. Es la parte que queda después de realizar una división. En el ejemplo anterior, el residuo es 1. Podemos escribirlo como:
9 ÷ 2 = 4 R1
Leemos ésta ecuación: “Nueve entre 2 es igual a 4 con un residuo de 1.”
Podrías pensar en partir la pieza extra de chocolate para compartirla. ¡Es buena idea! Si divides un chocolate al a mitad, podrías darle a cada persona una mitad de pieza de chocolate. Cada uno recibiría 4
piezas de chocolate. Por lo pronto, no vamos a preocuparnos por expresar los residuos de las fracciones decimales. Vamos a utilizar la notación de residuo con la letra R. Éste es un ejemplo:
| Ejemplo | ||||
| Problema | 45 ÷ 6 |
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| 6 • 7 = 42 | ¿Cuántos seises hay en 45? Intenta con 7. |
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| 45 – 42 = 3 | 3 no es suficiente para otro 6. Entonces, 3 es el residuo. |
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| Respuesta | 45 ÷ 6 = 7 R3 |
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Como la multiplicación es la inversa de la división, puedes revisar tu solución para el problema de la división con una multiplicación. Para confirmar tu respuesta 7 R3, primero multiplica 6 por7 y luego suma 3.
6 • 7 = 42
42 + 3 = 45, entonces el cociente 7 R3 es correcto.
| Calcula 67 ÷ 7.
A) 9
B) 9 R4
C) 60
D) 10
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La división larga es un método que es útil cuando haces una división que no es fácil de resolver en la mente, dicha división está formada por números grandes. A continuación se muestra un ejemplo de una manera de escribir los pasos de ésta división.
| Ejemplo | ||||
| Problema | 68 ÷ 4 |
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| Reescribe la división. |
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| 1
− 4 28 | Divide las decenas. ¿Cuánto es 6 entre 4? Resta 4 de 6 y baja el siguiente dígito del dividendo, 8. |
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| ¿Cuánto es 28 entre 4?
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− 4 28 −28 0 |
7 • 4 = 28, por lo que escribes un 7 sobre el 8. No queda residuo. |
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| 17 • 4
217 x 4 68 | Corrobora la respuesta usando la multiplicación. |
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| Respuesta | 68 ÷ 4 = 17 |
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| Ejemplo | |||
| Problema | 6,707 ÷ 233 |
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| 2
466 | Examina los tres primeros dígitos del dividendo y determina cuántos 233s contiene. Usa el razonamiento. Intenta: 2 • 233 = 466 Intenta: 3 • 233 = 699 (demasiado grande) |
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| 2
− 466 2047 |
Resta 466 de 670 y baja el siguiente dígito del dividendo, 7. |
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| 28
− 466 2047 − 1864 183 | ¿Cuántos 233s hay en 2,047? Al parecer unos 10 porque 233 • 10 = 2,330. Intenta 9, 233 • 9
22233 x 9 2,097 (demasiado grande) ¡Debe ser 8! 22233 x 8 1,864 |
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| 233 • 28 = 6,524 6,524 + 183 = 6,707 | Revisa tu solución usando la multiplicación. Primero, multiplica 233 • 28. Luego, suma el residuo. |
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| Respuesta 6,707 ÷ 233 = 28 R183 | |||
| Calcula 417 ÷ 34.
A) 451
B) 12
C) 12 R9
D) 13
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Al igual que al multiplicar por potencias de 10 resulta un patrón, también hay un patrón cuando dividimos entre potencias de 10. Considera tres cocientes: 20 ÷ 10; 200 ÷ 10; y 2,000 ÷ 10.
Piensa en 20 ÷ 10. Hay 2 centenas en veinte, por lo que 20 ÷ 10 = 2. Los cálculos para 200 ÷ 10 y 2,000 ÷ 10 se muestran a continuación.
| Ejemplo | |||
| Problema | 200 ÷ 10 |
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| Reescribe el problema. |
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| Divide el primer dígito del dividendo, 2, entre el divisor. Ya que 2 ÷ 10 no resulta en un número entero, continúa con el siguiente dígito, 0. |
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| 2
| 20 ÷ 10 = 2 |
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| 2
– 20 0 |
2 • 10 = 20 20 – 20 = 0 |
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2
– 20 00
20
– 20 00 0 0
|
Baja el siguiente dígito, 0, del dividendo.
Como 10 todavía no llega a 00 y no nos queda nada para bajar, multiplica 0 por 10.
0 • 10 = 0 0 – 0 = 0 No nos queda residuo. |
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| Respuesta | 200 ÷ 10 = 20 |
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| Ejemplo | |||
| Problema | 2000 ÷ 10 |
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| Rescribe el problema. |
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| Divide el primer dígito del dividendo, 2, entre el divisor. Como 2 ÷ 10 no resulta en número entero, pasa al siguiente dígito, 0.
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| 2
| 20 ÷ 10 = 2 |
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| 2
– 20 0 |
2 • 10 = 20 20 – 20 = 0
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| 2
–20 00
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Baja el siguiente dígito, 0, del dividendo.
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| 20
– 20 000
200
– 20 000 0 0
| Como 10 no cabe en 00, suma un 0 al cociente y baje el siguiente dígito, 0.
Como 10 sigue sin caber en 000 y no tenemos nada más que bajar, suma un 0 al cociente, multiplica el 0 por 10. 0 • 10 = 0 0 – 0 = 0 No nos queda residuo.
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| Respuesta | 2,000 ÷ 10 = 200 |
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Examina los resultados de éstos tres problemas y trata de determinar un patrón en la división entre 10.
| 20 | ÷ | 10 = 2 |
| 200 | ÷ | 10 = 20 |
| 2000 | ÷ | 10 = 200 |
Nota que el número de ceros en el cociente disminuye cuando un dividendo es dividido entre 10: 20 se convierte en 2; 200 se convierte en 20 y 2,000 se convierte en 200. En cada caso de los ejemplos anteriores, puedes ver que hay un ' menos en el cociente que los que había en el dividendo.
Continúa con otro ejemplo de la división entre una potencia de 10.
| Ejemplo | |||
| Problema | 2,000 ÷ 100 |
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| Reescribe el problema. |
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| Divide el primer dígito del dividendo, 2, entre el divisor. Como 2 ÷ 100 no resulta en un número entero, pasa al siguiente dígito, 0. |
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| Divide los primero dos dígitos del dividendo, 20, entre el divisor. Como 20 ÷ 100 no resulta en un número entero, pasa al siguiente dígito, 0. |
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| 2
| 200 ÷ 100 = 2 |
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| 2
–200 0 |
2 • 100 = 200 200 – 200 = 0 |
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2
-200 00
20
-200 00 0 0 |
Bala el siguiente dígito, 0, del dividendo.
Como 100 aun no cabe en 00 y no tenemos nada más que bajar, suma 0 al cociente, multiplica el 0 por 10. 0 • 10 = 0 0 – 0 = 0 No nos queda residuo.
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| Respuesta | 2,000 ÷ 100 = 20 |
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Considera éste grupo de ejemplos de división entre potencias de 10. ¿Qué patrón ves?
| 20 | ÷ | 10 = 2 |
| 200 | ÷ | 10 = 20 |
| 2,000 | ÷ | 10 = 200 |
| 2,000 | ÷ | 100 = 20 |
| 2,000 | ÷ | 1000 = 2 |
Nota que cuando divides un número entre una potencia de 10, el cociente resulta con menos ceros. Esto es porque la división entre una potencia de 10 afecta el valor de posición. Por ejemplo, cuando haces la división 18,000 ÷ 100 = 180, el cociente, 180, tiene dos ceros menos que el dividendo, 18,000. Esto es porque la potencia de 10, 100, tiene dos ceros.
| Calcula 135,000 ÷ 100.
A) 13,500
B) 134,900
C) 13,500,000
D) 1,350
|
Sabes lo que es dividir entre 2 o dividir entre 10, pero ¿qué significa dividir una cantidad entre 0? ¿Es siquiera posible? ¿Puedes dividir un número entre 0? Considera los dos problemas siguientes.
y 
Podemos leer la primera expresión, “cero dividido entre ocho” y la segunda expresión, “ocho dividido entre cero.” Como la multiplicación es la inversa de la división, podemos reescribir éstos problemas como problemas de multiplicación.
0 ÷ 8 = ?
? • 8 = 0
El cociente debe ser 0 porque 0 • 8 = 0
= 0
Ahora consideremos .
8 ÷ 0 = ?
? • 0 = 8
Esto no es posible, No existe un número por el cual puedas multiplicar por cero y obtener ocho. Cualquier número multiplicado por cero es siempre cero. No existe cociente para . No existe cociente para cualquier número cuando se divide entre cero.
La división entre cero es una operación para la cual no se puede encontrar una respuesta, por lo que no está permitida. Decimos que la división entre cero no está definida.
La división se utiliza para resolver muchos tipos de problemas. A continuación hay tres ejemplos de la vida real que usan la división en sus soluciones.
| Ejemplo | ||||||
| Problema | Luana hizo 40 empanadas para una fiesta. Si las empanadas se dividen equitativamente entre 12 invitados, ¿cuántas le tocan a cada uno? ¿Sobrarán empanadas? |
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| |||
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| 40 ÷ 12 | Como todos los invitados deben recibir la misma cantidad, podemos usar la división. |
| |||
|
|
– 36 4 | Prueba y error. Intenta con 3. 12 • 3 = 36
Cuando 40 empanadas se dividen equitativamente entre 12 personas, sobran 4 empanadas. |
| |||
| Respuesta | Cada invitado recibirá 3 empanadas. Quedarán 4 empanadas. |
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| |||
| Ejemplo | |||||
| Problema | Un paquete de azulejos contiene 12 cajas. Si el paquete cuesta $384, ¿cuánto cuesta una caja? |
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| ||
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| 384 ÷ 12 | Como las cajas cuestan lo mismo una que otra, querrás dividir $384 en 12 partes iguales. |
| ||
|
|
| Realiza la división. Intenta dividir el primer dígito en el dividendo entre el divisor. 12 no dividirá a 2, por lo que pasas al siguiente dígito. |
| ||
|
| 3
– 36 | Divide 38 ÷ 12. Escoge un cociente y pruébalo. Intenta 3. 3 • 12 = 36.
|
| ||
|
|
3
–36 2 |
Resta 36 de 38. |
| ||
|
| 32
–36 24 – 24 0 | Baja el siguiente dígito del dividendo y realiza la división.
12 • 2 = 24 24 – 24 = 0 |
| ||
|
| 32 • 12 es igual a 384? 32 x 12 64 + 320 384 | Revisa tu resultado multiplicando.
¡Sí! ¡Mi resultado es correcto! |
| ||
| Respuesta | Cada caja de azulejos cuesta $32. |
|
| ||
| Ejemplo | |||||
| Problema | Un cultivador de plátanos manda 4,644 plátanos. Hay 86 cajas, cada una contiene el mismo número de plátanos. ¿Cuántos plátanos hay en cada? |
|
| ||
|
| 4,644 ÷ 86 | Como cada caja, contiene el mismo número de plátanos, puedes tomar el total de plátanos y dividirlos entre el número de cajas. |
| ||
|
|
| Reescribe la división. |
| ||
|
| | Prueba y error. Intenta determinar a qué equivale 464 ÷ 86. Intenta con 5: 386 x 5 430 |
| ||
|
| 5
– 430 344 | 464 – 430 = 34 Luego, baja el siguiente dígito del dividendo, 4. |
| ||
|
|
54
– 430 344 – 344 0 |
Prueba y error. Intenta determinar el cociente de 344 y 86.
Intenta 4: 286 x 4 344 |
| ||
|
| 86 x 54 344 + 4300 4644 | Revisa tu respuesta multiplicando.
¡Sí! ¡Mi resultado es correcto! |
| ||
| Respuesta | Cada caja contiene 54 plátanos. |
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| Un teatro tiene 1,440 asientos. El teatro tiene 30 filas de asientos. ¿Cuántos asientos hay en cada fila?
A) 1,410
B) 48
C) 43,200
D) 480
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Sumario
La división es la operación inversa de la multiplicación, y puede usarse para encontrar la forma de repartir equitativamente entre un grupo. La división puede escribirse de tres maneras diferentes, usando la barra de fracción, ÷, y 
. La división puede representarse como partir un total en conjuntos de cantidades iguales, como saltos restando en la recta numérica, y como una dimensión con un modelo de área. Residuos pueden resultar cuando se realiza una división y pueden representarse con la letra R, seguida del número sobrante. Como la división es la operación inversa de la multiplicación, necesitas conocer las características de la multiplicación para poder hacer una división. Para números grandes, puedes usar la división larga para encontrar el cociente.
