Razonamiento Deductivo
Objetivos de Aprendizaje
· Identificar y dar ejemplos de razonamiento deductivo.
· Usar las propiedades de los números para construir argumentos lógicos simples.
El razonamiento deductivo es probablemente el proceso más usado en matemáticas. Cualquiera que ha resuelto un rompecabezas como el Sudoku ha usado el razonamiento deductivo. Cuando razonamos deductivamente, usamos hechos conocidos para llegar a conclusiones lógicas que sabemos son verdaderas. (Deducimos un hecho al unir otros factores.) Esto es distinto que el razonamiento inductivo, que generaliza y conjetura basado en observaciones en lugar de lógica. Los matemáticos (y el resto de nosotros también) a menudo usamos los razonamientos inductivo y deductivo juntos.
El Razonamiento Deductivo Contra el Razonamiento Inductivo
Imagina que hemos recolectado los resultados de experimentos y observaciones, y decidimos que hemos encontrado un patrón en los datos. O imagina que tenemos un problema que resolver pero no estamos seguros de dónde empezar, por lo que tratamos de usar algunas posibles soluciones para ver qué tipo de resultados obtenemos. El problema es, nuestras generalizaciones pueden ser o no correctas. Incluso con muchos ejemplos, puede ser difícil si no imposible estar seguro de que no existe por lo menos un contraejemplo que aún no hemos encontrado.
Por esta razón, los matemáticos, científicos, investigadores, y otras personas que hacen conjeturas normalmente siguen un razonamiento inductivo con un poco de razonamiento deductivo. Tratan de justificar las conjeturas que han hecho basadas en observaciones. Esto es, tratan de dar un argumento lógico, una serie de declaraciones verificables que explica el por qué su conjetura es siempre verdadera.
El razonamiento deductivo es útil cuando el razonamiento inductivo no es apropiado, o cuando no existen suficientes ejemplos para poder generalizar.
Considera rompecabezas como el Sudoku. En un Sudoku, cada fila, columna, y caja de 3 X 3 debe ser llenado con dígitos del 1 al 9. Un dígito no puede ser usado más de una vez en una misma fila, columna, o caja.
El razonamiento inductivo no es útil para tratar de resolver este rompecabezas. Podríamos ver las soluciones de otros rompecabezas, y ver en dónde fueron colocados cada uno de los dígitos. Pero si generalizamos esto diciendo que debemos llenar los dígitos de la misma manera cada vez, ¡no podríamos resolver muchos rompecabezas!
Lo que podemos hacer entonces es encontrar las posiciones específicas para este rompecabezas basándonos en las reglas del juego y en los números ya dados. En la fila de arriba de las cajas de 3 X 3 del rompecabezas anterior, las cajas izquierda y central ya tienen un 1. El 1 en la caja derecha no puede ir ni en la primera ni en la segunda fila, porque ya tienen 1s. Entonces el 1 para la caja derecha debe quedar en la tercera fila, y sólo hay un lugar dónde ponerlo. ¡El razonamiento deductivo ha revelado la localización del 1 en la caja derecha!
Incluso si nunca hemos resuelto el Sudoku, todos hemos usado muchas veces el razonamiento deductivo. Cada vez que trabajamos con una ecuación o expresión matemática para llegar a una conclusión o respuesta, estamos usando el razonamiento deductivo — siguiendo los principios generales de las matemáticas para encontrar una solución específica que debe ser verdadera.
| Ejemplo | |
| Problema | Terry hace lo siguiente para factorizar la expresión 3x3 + 6x2 + 3x.
• Primero factoriza 3x usando la Propiedad Distributiva: 3x3 + 6x2 + 3x = 3x(x2 + 2x + 1)
• Luego reconoce que el segundo factor está en la forma de a2 + 2ab + b2, y recuerda que a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
• Finalmente, reescribe el segundo factor como el cuadrado de un binomio: 3x(x2 + 2x + 1) = 3x(x + 1)2
¿Es esto razonamiento inductivo o deductivo? |
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| Terry usó la Propiedad Distributiva y otros hechos conocidos para crear una serie de hechos nuevos sobre la expresión 3x3 + 6x2 + 3x. Esto es razonamiento deductivo |
| Solución | Razonamiento deductivo |
| Lucretia recordó esta regla de la aritmética:
Para saber si las fracciones
Ella se preguntó si esto siempre funciona, y construyo el siguiente argumento:
· Supongamos que sabemos que ad = bc. · Dividimos ambos lados de la ecuación entre bd — que podemos hacer si b ≠ 0 y d ≠ 0 — y simplificamos: ·
· Entonces es verdad si b ≠ 0 y d ≠ 0. · Si estamos empezando con fracciones, entonces b y d no pueden ser 0, entonces esta regla de la "multiplicación en cruz" funciona.
¿Qué clase de razonamiento está usando Lucretia?
A) Razonamiento inductivo B) Razonamiento deductivo
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y 
son iguales, "multiplicar en cruz" para encontrar ad y bc. 
y 4 • 15 = 5 • 12, y 
y 2 • 4 ≠ 3 • 3. A partir de varios ejemplos como estos, pudo generalizar que la igualdad de las fracciones y los productos encontrados por la multiplicación en cruz son los mismos para todos los pares de fracciones, y entonces habría hecho la conjetura de que las fracciones son iguales si esos productos son iguales.
El resultado final del razonamiento deductivo es normalmente un argumento lógico. La mayoría de los argumentos con los que nos hemos topado son argumentos finales y elegantes. Usualmente no vemos los borradores, los errores, las líneas de razonamiento que no llevaron a ningún lado. ¡No sabemos en qué lugar completamente distinto al del argumento final empezó quien escribió el argumento, y no podemos saber cuándo alguien trabajó el argumento hacia atrás porque así era más fácil encontrar la conclusión en lugar de partir de la hipótesis!
¿El punto? No te preocupes cuando es difícil encontrar un buen argumento inmediatamente. El razonamiento deductivo normalmente requiere un poco de creatividad y persistencia. El tiempo y la práctica hará más fácil sortear los callejones sin salida y seguir las pistas prometedoras.
El ejemplo de abajo muestra una forma de abordar la construcción de un argumento:
| Ejemplo | ||
| Problema | Frank tiene tres hermanos, y a todos les gusta juntarse para comprar boletos de lotería. Siempre que hay un premio grande, él se pregunta si podría ser dividido en partes iguales entre los cuatro, en caso de que ganen.
Frank ha notado que cuando un número formado por los últimos dos dígitos de un número completo es divisible entre 4, el número completo también es divisible entre 4. Por ejemplo, 293,212 es divisible entre 4 y 12 es divisible entre 4.
¿Cómo puede usar el razonamiento deductivo para justificar la veracidad de su prueba de divisibilidad? | |
| Solución | Primero, vamos a escribir un ejemplo general de la conjetura. Esto es, el ejemplo debe representar muchos ejemplos, no sólo uno
En este caso, queremos hablar de los dos últimos dígitos de un número completo. Aquí hay un truco que puede ser útil cuando trabajamos con dígitos: Usa los valores de posición para escribir el número como una suma de sumandos que son productos de potencias de 10
En este caso, como Frank está interesado en los dos últimos dígitos de un número grande, podemos separar esos dígitos del resto del número. Por ejemplo, 236 puede escribirse como 200 + 36, o 2(100) + 36. El número 72,915 puede escribirse como 72,900 + 15, o 729(100) + 15. | |
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| Cualquier número completo puede escribirse como 100a + b, donde a y b son números completos y b < 100.
| Para ponerlo en términos generales, un número grande puede escribirse como 100 veces un número más un segundo número que es menor que 100. Este es una declaración general conocida
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| Si b es divisible entre 4, entonces 100a + b es divisible entre 4. | También podemos escribir la conjetura de Frank usando expresiones algebraicas |
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| Ahora necesitamos encontrar una manera de conectar el ejemplo general a la conclusión. Esto puede tomar varios pasos |
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| En este caso, queremos que 100a + b sea divisible entre 4. Entonces vamos a factorizar 4 de la expresión |
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| ¿Qué significa que el número sea divisible entre 4? Significa que el cociente es un número completo, entonces queremos que |
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| Como a es un número completo, 25a es también un número completo. | Podemos usar la hipótesis aquí. Definimos que a sea un número completo, entonces 25a también es un número completo. |
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| Como b es divisible entre 4, Eso significa que | La hipótesis es que b es divisible entre 4, por lo que eso nos da información sobre |
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| Como
| Concluir el argumento |
sea un número completo. ¿Cómo podemos mostrar que lo es?
es un número completo. 
. Como
Aquí hay algunos consejos para construir un argumento. Ninguno de ellos funcionará cada vez, y tal vez necesitemos probarlos todos antes de encontrar un argumento que funcione.
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· Usa la hipótesis de la declaración lógica como un punto de partida.
· Usa la conclusión de la declaración lógica como un punto de partida.
· Empieza con algo relacionado con la hipótesis o con la conclusión que ya sepas que es verdadero. Por ejemplo, con una desigualdad de un valor absoluto, podrías empezar con el hecho de que |x| ≥ 0 para todos los números reales x.
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| Construye un argumento lógico que explique por qué un número de dos dígitos es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es divisible entre 3.
Pista: Escribe el número de dos dígitos como 10x + y, y nota que 10x = 9x + x.
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es un número completo. Como x es un dígito, 3x es un número completo, entonces 
Sumario
El razonamiento deductivo es el proceso de hacer conclusiones juntando hechos conocidos para dar un argumento razonado para un nuevo hecho. El razonamiento deductivo puede ser usado para justificar una conjetura a la que se llegó usando el razonamiento inductivo. Es también útil cuando el razonamiento inductivo es inapropiado, como cuando no hay suficientes ejemplo de dónde generalizar.
