Tasa de Cambio y Pendiente

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Calcular la tasa de cambio o pendiente de una función lineal dada la información como conjuntos de pares ordenados, una tabla o una gráfica.

·         Aplicar la fórmula de la pendiente.

 

 

Experimentamos pendientes todos los días. Piensa en bajar una cuesta en bicicleta o subir las escaleras. La cuesta y las escaleras, ambas tienen una pendiente. Esto significa que al movernos en ellas, nos estamos desplazando en dos direcciones al mismo tiempo — hacia un lado, y ya sea hacia arriba o hacia abajo. En conversación, usamos palabras como plano o empinado para describir la pendiente de un objeto. A lo largo de una pendiente suave, la mayoría del movimiento es horizontal. A lo largo de una pendiente pronunciada, el movimiento vertical es mayor.

 

 

La definición matemática de la pendiente es muy similar a la que usamos todos los días. En matemáticas, la pendiente es la relación entre los cambios vertical y horizontal entre dos puntos en una superficie o una recta. El cambio vertical entre dos puntos se llama aumento, y el cambio horizontal se llama corrida. La pendiente es igual al aumento dividido entre la corrida: . Ésta ecuación simple se llama fórmula de la pendiente.

 

A pesar de ser tan simple, la fórmula de la pendiente es una herramienta poderosa para calcular y comparar la inclinación del terreno, estructuras y rectas.

 

 

 

 

 

 

Podemos encontrar la pendiente de una recta en una gráfica contando el aumento y la corrida entre dos puntos. Si una recta tiene un aumento de 4 unidades por cada unidad de corrida, la pendiente es 4 dividido entre 1, o 4. Un número grande como éste indica una pendiente pronunciada: en éste caso, la pendiente sube 4 escalones por cada escalón de movimiento lateral.

 

Si una recta aumenta 2 unidades mientras que corre 8 unidades, la pendiente es 2 dividido entre 8, o ¼. Un número pequeño como éste representa una pendiente suave. Ésta recta sube sólo 1 escalón mientras que se desplaza 4 escalones lateralmente.

 

 

 

La proporción de aumento con respecto a la corrida describe la pendiente de cualquier recta. Ésta proporción es constante entre cualquier par de puntos sobre la recta, lo que significa que la pendiente de una línea recta es también constante, sin importar en qué parte es medida.

 

 

Es fácil calcular la pendiente de una recta a partir de una gráfica si medimos el aumento y la corrida. También podemos encontrar la pendiente si conocemos las coordenadas de cualquier par de puntos en la recta. Cada punto consiste en un par de coordenadas: el valor sobre x y el valor sobre y, escritas como (x, y). El valor sobre x nos indica en dónde está el punto horizontalmente. El valor sobre y nos dice dónde está el punto verticalmente.

 

Considera dos puntos al azar sobre una recta. Los llamaremos punto 1 y punto 2. El punto uno tiene coordenadas (x₁, y₁) y el punto 2 tiene coordenadas (x₂, y₂).

 

 

 

El aumento es la distancia vertical entre los dos puntos, la cual es la diferencia entre sus coordenadas sobre y. Por lo que el aumento es y₂ − y₁. La corrida entre estos dos puntos es la diferencia entre las coordenadas x, o x₂ − x₁. Como la pendiente es igual al aumento dividido entre la corrida, la pendiente de la recta es y₂ − y₁ entre x₂ − x₁.  Hemos encontrado una nueva manera de escribir la fórmula de la pendiente y calcular su valor. La pendiente es la diferencia entre las coordenadas y dividida entre la diferencia entre las coordenadas x.

 

Los matemáticos acostumbran usar la letra m para representar la pendiente. Por lo que ésta es la forma en la que comúnmente encontrarás escrita la fórmula de la pendiente en álgebra: . Aunque en el fondo sigue siendo la misma ecuación simple de pendiente = aumento sobre corrida.

 

 

Utilicemos la fórmula de la pendiente para calcular la pendiente de una recta usando sólo las coordenadas de dos puntos. La recta pasa a través de los puntos (1, 4) y (-1, 8). Llamemos la coordenada (1, 4) punto 1, y la coordenada (-1, 8) punto 2. Lo que significa x₁ = 1, y₁ = 4, x₂ = -1, y y₂ = 8.

 

 

 

La fórmula de la pendiente es . Cuando sustituimos las coordenadas en la fórmula, obtenemos la ecuación . Esto se reduce a m = -2. La pendiente de la recta es -2.

 

Es importante darnos cuenta que no importa qué coordenadas sean designadas como punto 1 y punto 2. Habríamos podido utilizar la coordenada (-1, 8) como punto 1, y la coordenada (1, 4) como punto 2. En éste caso, sustituyendo las coordenadas en la fórmula de la pendiente nos resulta la ecuación . Una vez más, se simplifica a m = -2. Que es la misma pendiente calculada anteriormente.

 

 

 

 

 

 

Hasta ahora hemos considerado rectas que van "cuesta arriba" o "cuesta abajo". Sus pendientes pueden ser grandes o pequeñas, pero son siempre números positivos o negativos. Pero hay otro tipo de rectas, la horizontal y la vertical. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal o nivelada con el suelo? ¿O de una recta vertical o pared?

 

Consideremos una recta horizontal en una gráfica. No importa qué par de puntos escojamos sobre la recta, siempre tendrán la misma coordenada y.

 

 

 

Esto significa que el aumento, la diferencia vertical entre dos puntos, siempre será cero. Tiene sentido — una línea horizontal no sube o baja. ¿Qué pasa cuando sustituimos un aumento de 0 en la fórmula de la pendiente? Resulta . Cero dividido entre cualquier número es cero. La pendiente de una recta horizontal es siempre igual a 0.

 

¿Y qué pasa con las rectas verticales? En su caso, no importa qué puntos usemos, siempre tendrán el mismo valor de coordenada x,

 

 

 

Significa que la corrida, la diferencia horizontal entre dos puntos, siempre será cero. También tiene sentido — una línea vertical no se mueve lateralmente. Cuando sustituimos la corrida de 0 en la fórmula de la ecuación, obtenemos .  No podemos calcular el valor porque la división entre cero no tiene sentido en el conjunto de números reales. Todas las rectas verticales tienen una pendiente que no está definida.

 

 

 

Como hemos visto, las pendientes juegan un rol importante en nuestra vida cotidiana. Podrías tener que subir una pendiente para llegar a la parada del autobús o esquiar cuesta abajo de una montaña. La fórmula de la pendiente, escrita , es una herramienta útil que puedes utilizar para calcular el cambio vertical y horizontal de una variedad de pendientes.