Funciones Lineales
Objetivos de Aprendizaje
· Definir las funciones lineales y describir sus características.
· Comparar funciones lineales proporcionales y no proporcionales.
· Explicar los componentes de la ecuación de una función lineal.
Cada mañana Miguel se prepara una taza de café poniendo 2.5 cucharadas de granos de café molidos en su cafetera. A veces, cuando se ha desvelado la noche anterior, necesita 2 tazas de café para despertar, por lo que pone doble cantidad en la cafetera. Si tiene invitados a cenar y quiere servir café con el postre, prepara una cantidad mayor de café. Su receta es simple — pone 2.5 cucharadas por cada taza que quiere preparar.
Miguel puede fácilmente adaptar su receta, porque hay una relación entre la cantidad de granos de café y el número de tazas — al aumentar la cantidad de café, aumenta también la cantidad de granos necesarios. Veamos cómo se ve ésta relación en una gráfica.
Podemos ver que ésta relación es una función — para cada valor independiente (tazas de café), hay un único valor dependiente (cucharadas de granos necesarias). También podemos ver que la gráfica de pares de entradas y salidas es una línea recta. Esto la hace una función lineal — una función es lineal si su gráfica forma una línea recta. La línea es recta porque las variables cambian con una tasa constante. Ésa es otra característica de las funciones lineales — tienen una tasa de cambio constante.
Veamos otro tipo de funciones lineales para entender mejor cómo funcionan.
Mientras que Miguel se toma su café, decide comparar algunos planes de servicios móviles para ver cuál le parece mejor. Su compañía celular le ofrece dos planes. El plan básico cobra 7 centavos por mensaje de texto mandado o recibido. El plan avanzado le permite a Miguel mandar textos, fotos y video, y sólo cobra 2 centavos por mensaje. ¡Perfecto! Pero espera — el plan avanzado tienen un cargo mensual fijo de $10. Entonces ¿Cómo va a decidir Miguel cuál plan le conviene más?
¡Lo sé! Ambos planes son funciones — el costo de mandar textos depende del número de textos enviados. Si graficamos cada uno, podemos comparar cómo varían los costos.
Empecemos con el plan básico. Podemos calcular el costo (y) de mandar y recibir cualquier número de mensajes (x) con la ecuación simple y = 0.07x. (Usando 0.07 en lugar de 7, el costo (y) será medido en dólares en lugar de centavos.) Con ésta ecuación podemos calcular los siguientes puntos:
| # de Textos | Costo |
| 0 | $0.00 |
| 10 | $0.70 |
| 100 | $7.00 |
| 200 | $14.00 |
La gráfica de esos puntos se ve así — una línea recta desde (0,0).
Ahora veremos el plan avanzado. Para calcular el costo (y) de mandar y recibir x número de mensajes por mes con éste plan, podemos empezar con una ecuación muy parecida a la que usamos antes: y = 0.02x, porque cada mensaje cuesta 2 centavos. Pero ¿recuerdas el cargo mensual? Tenemos que sumar $10, y nuestra ecuaciónse vuelve y = 0.02x + 10. Con ésta ecuación, podemos calcular los siguientes valores para el plan avanzado:
| # de Textos | Costo |
| 0 | $10.00 |
| 10 | $10.20 |
| 100 | $12.00 |
| 200 | $14.00 |
Graficando esos puntos.
Ahora la diferencia entre los dos planes es clara — si Miguel manda menos de 200 textos al mes, el plan básico es más barato. Si manda más de 200 textos, habrá ahorrado dinero usando el plan avanzado. Saber esto es útil para Miguel, pero nosotros estamos más interesados en las funciones. Ambas son líneas rectas con una tasa de cambio estable, por lo que son funciones lineales. Pero el plan básico incluye el origen, mientras que el plan avanzado no.
Hay algo especial con las funciones lineales que incluyen el origen — hay una relación multiplicativa simple entre las variables independientes y las variables dependientes. Esto significa que las variables tienen una relación proporcional, y éstas son funciones proporcionales. Para las funciones proporcionales, si multiplicamos ambas variables por el mismo número, su relación se mantendrá. Por ejemplo, volviendo a la tabla del plan básico:
| # de Textos | Costo |
| 0 | $0.00 |
| 1 | $0.07 |
| 10 | $0.70 |
| 100 | $7.00 |
| 200 | $14.00 |
El costo de un texto = $0.07. Si Miguel quiere encontrar el costo de mandar 10 textos bajo éste plan, él podría tomar la ecuación 1 = $0.07 y multiplicar ambos lados por 10. Encontraría un costo de $0.70 por 10 textos. Si multiplicamos ambas cantidades por 0 veríamos que la gráfica debe pasar por el origen. Esto tiene sentido, porque 0 mensajes cuestan $0.
Ahora veamos la otra función, para el plan avanzado:
| # de Textos | Costo |
| 0 | $10.00 |
| 1 | $10.02 |
| 10 | $10.20 |
| 100 | $12.00 |
| 200 | $14.00 |
El costo de un texto = $10.02. ¿Podemos calcular el costo de 10 textos multiplicando ambos lados de la relación por 10? No — ¡10 textos no cuestan $100.20! ¿Qué salió mal? A pesar de que el plan avanzado es una función lineal, no es una función proporcional — las variables dependiente e independiente no están relacionadas por sólo una constante y no tienen una relación proporcional. Con relaciones no proporcionales, multiplicar la entrada y la salida por el mismo número no funciona. Por esto, funciones lineales no proporcionales no incluyen el origen — el multiplicar la entrada por 0 no hará la salida 0.
¿Cuál de las siguientes situaciones puede ser descrita por una función lineal no proporcional?
A) El número de conejos en una población que se duplica cada año.
B) El tiempo que le toma a un carro en movimiento viajar diferentes distancias a una velocidad constante.
C) La paga diaria de un vendedor que gana $5 por cada venta, mas una suma fija de $100 al día.
D) El dinero recabado por una persona recolectando donativos de $5 por cada milla recorrida en una carrera de caridad.
Hemos visto que todas las funciones lineales tienen algunas cosas en común. Todas muestran variables dependientes e independientes (entradas y salidas) con una tasa de cambio constante. Para las funciones proporcionales, éstas características son suficientes para escribir la ecuación de la función: salida = tasa de cambio constante • entrada. La forma algebraica estándar para escribir ésta ecuación es y = kx.
Para funciones lineales no proporcionales, existe otro factor, un ajuste que mueve la línea graficada de la función fuera del origen. En nuestro ejemplo del plan de celular, éste ajuste era el cargo mensual, que se aplica sin importar el valor de las variables dependiente e independiente. Tenemos que incluir éste factor en la ecuación que define éste tipo de funciones: salida = (tasa de cambio constante • entrada) + ajuste. La forma algebraica estándar para escribir ésta ecuación es y = mx + b.
Durante una sequía, un lago de 100 pies pierde 6 pulgadas de agua por día debido a la evaporación. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones muestra la función de la profundidad del lago con los días de sequía?
A) profundidad = 100 • días – 0.05
B) profundidad = -0.5 • días + 100
C) días = -0.5 • profundidad + 100
D) profundidad = 0.5 • días + 100
Sumario
Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante y describen una línea recta en una gráfica. Las funciones lineales pueden definirse con la ecuación y = mx + b. Las funciones proporcionales son funciones lineales que incluyen el origen y pueden ser definidas por la ecuación y = kx. Todas las funciones proporcionales son lineales, pero no todas las funciones lineales son proporcionales.
