Valor Absoluto

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Encontrar el valor absoluto de números y expresiones.

·         Representar valores absolutos con declaraciones numéricas y en la recta numérica.

 

 

El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia.

 

En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo.

 

 

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:

 

|20|

|x|

|4n − 9|

 

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

 

 

Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles.

 

Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes.

 

Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se cancelan cuando son multiplicados.

 

 

Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3).

 

 

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2.

 

|6 − 4| = |2| = 2

 

De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto.

 

|15 − 21| = |-6| = 6

 

 

 

 

En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original.

 

Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del cero en la recta numérica.

 

 

 

Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en direcciones opuestas.

 

 

 

Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión, debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6.

 

 

 

 

El valor absoluto es un concepto útil cuando sólo estamos interesados en el tamaño de la diferencia entre dos números. El valor absoluto nos da la distancia, pero descarta la información con respecto a la dirección. Como la dirección es ignorada, el valor absoluto de un número sólo puede ser positivo o cero, nunca negativo. Cuando el valor de una expresión es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo que el valor original. Cuando el valor de una expresión es negativo, su valor absoluto es el mismo valor pero sin el signo negativo.