Sumando y restando expresiones racionales

 

Objetivos de aprendizaje

·         Sumar y simplificar expresiones racionales.

·         Restar y simplificar expresiones racionales.

·         Encontrar el mínimo común múltiplo de varias expresiones algebraicas.

·         Simplificar problemas que combinan la suma la resta.

 

Introducción

 

Al comienzo de los cursos de matemáticas, los estudiantes aprenden a sumar y restar números enteros antes de aprender la multiplicación y la división. Sin embargo, con las fracciones y las expresiones racionales, la multiplicación y la división se enseñan primero porque estas operaciones son más fáciles de hacer que la suma y la resta. La suma y la resta de expresiones racionales no son tan fáciles de realizar como la multiplicación, porque, al igual que con las fracciones numéricas, el proceso consiste encontrar denominadores comunes. Trabajando con cuidado y escribiendo los pasos seguido, puedes llevar el orden de todos los números y las variables y realizar las operaciones con precisión.

 

Sumando y restando expresiones racionales con denominadores comunes

 

Sumar expresiones racionales con el mismo denominador es la manera más simple de comenzar.

 

Para sumar fracciones con denominadores comunes, suma los numeradores y conserva el mismo denominador. Luego simplifica la suma. Sabes cómo hacer esto con fracciones numéricas.

 

 

 

Sigue el mismo proceso para sumar expresiones con denominadores comunes. Intentemos una.

 

 

Ejemplo

Problema

Sumar. Expresar la suma en su forma simplificada.

 

 

Como los denominadores son iguales, suma los numeradores. Recuerda que x no puede ser -4 porque los denominadores serían 0.

 

 

 

Factoriza el numerador.

 

 

Reescribe el factor común como una multiplicación por 1 y simplifica.

Respuesta

 

 

 

Recuerda que debes también describir el dominio, para determinar todos los valores posibles de las variables. Los valores excluidos del dominio son cualesquiera valores de la variable que resulten en un denominador igual a 0. En el problema anterior, el dominio es todos los números reales excepto −4, ya que un valor de x = −4 crea un denominador de 0. Algunas veces, cuando simplificamos una expresión, el lector que sólo ve la respuesta simplificada no se dará cuenta que hay valores excluidos. En el ejemplo anterior, con sólo ver la forma simplificada 2x como reemplazo de la forma original , el lector no tendría modo de saber que el valor −4 no puede usarse para x. Entonces cuando decimos que 2x es el equivalente de , necesitamos decir que t −4 es un valor excluido.

 

Para restar expresiones racionales con denominadores comunes, seguimos el mismo proceso que usas para restar fracciones con denominadores comunes. El proceso es igual que la suma de expresiones racionales, excepto que restas en lugar de sumar.

 

 

Ejemplo

Problema

Restar. Expresar la resta en su forma simplificada.

 

Resta el segundo numerador del primero y conserva el mismo denominador. Recuerda que x no puede ser -6 porque los denominadores serían 0.

 

Ten cuidado de distribuir el negativo de ambos términos del segundo numerador.

 

Combina los términos comunes. Esta expresión racional no se puede simplificar más.

Respuesta

 

 

 

Restar y expresar la resta en su forma simplificada. , x ≠ 5

 

 

A)

 

B) x + 5

 

C) x – 5

 

D) 5

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Realizaste correctamente la resta, pero esta expresión racional puede simplificarse más porque el numerador y el denominador tienen el factor común (x – 5). La respuesta correcta es x + 5.

 

B) x + 5

Correcto. Como hay un denominador común, resta los numeradores para . El numerador puede factorizarse y un factor común es (x – 5) está presente en el numerador y en el denominador. .

 

C) x – 5

Incorrecto. El factor común presente en el numerador y en el denominador es x – 5, no x + 5. Después de factorizar obtienes: . La respuesta correcta es x + 5.

 

D) 5

Incorrecto. Para encontrar la diferencia, resta el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera, así: . Luego factoriza el numerador y simplifica. La respuesta correcta es x + 5.

 

 

 

Sumando y restando expresiones racionales con denominadores distintos

 

Antes de sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos, necesitas encontrar el común denominador. Una vez más, este proceso es similar al que usamos para sumar y restar fracciones numéricas con denominadores distintos. Veamos un ejemplo numérico para empezar.

 

 

Como los denominadores son 6, 10, y 4, tienes que encontrar el mínimo común denominador y expresar cada fracción con este denominador antes de sumar. (Por cierto, puedes sumar fracciones encontrando cualquier denominador común; no tiene que ser el mínimo. Buscamos el mínimo porque será más fácil simplificar. Pero cualquiera funciona.)

 

Encontrar el mínimo común denominador es lo mismo que encontrar el mínimo común múltiplo de 4, 6, y 10. Existen un par de maneras de hacer esto. La primera es enlistar los múltiplos de cada número y determinar cuáles múltiplos tienen en común. El mínimo de estos números será el mínimo común denominador.

 

Número

Múltiplos

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

 

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

68

 

 

 

 

 

10

20

30

40

50

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El otro método es usar la factorización prima, el proceso de encontrar los factores primos de un número. Así funciona este método con números:

 

Ejemplo

Problema

Usa la factorización prima para encontrar el mínimo común múltiplo de 6, 10, y 4.

 

6 = 3 2

10 = 5 2

4 = 2 2

Primero, encuentra la factorización prima de cada denominador.

 

6 = 3 • 2

10 = 5 • 2

4 = 22

 

 

 

 

 

 

 

MCM = 3 • 5 • 2 • 2

El contiene los factores 2, 3, y 5. Multiplica cada número el número máximo de veces que aparece en una factorización.

 

En este caso, 3 aparece una vez, 5 aparece una vez, y 2 se usa dos veces porque aparece dos veces en la factorización prima de 4.

 

Entonces, el de 6, 10 y 4 es 3 • 5 • 2 • 2, o 60.

Respuesta

El mínimo común múltiplo de 6, 10, y 4 es 60.

 

 

Mira, encontraste el mismo mínimo común múltiplo usando ambos métodos. La factorización prima fue más rápida, porque no tuviste que hacer una tabla llena de múltiplos para encontrar el común múltiplo.

 

Ahora que has encontrado el mínimo común múltiplo, puedes usar ese número como el mínimo común denominador de las fracciones. Multiplica cada fracción por la forma fraccional de 1 te producirá un denominador de 60:

 

 

 

 

Ahora que tienes denominadores comunes, suma las fracciones:

 

 

También puedes encontrar el mínimo común denominador de expresiones racionales, y usarlo para sumar expresiones racionales con denominadores distintos:

 

 

Ejemplo

Problema

Sumar. Expresar la suma en su forma simplificada.

 

15m2 = 3 • 5 • m • m

 

21m = 3 • 7 • m

 

Encuentra la factorización prima de cada denominador.

 

15m2 = 35mm

 

21m = 3 • 7m

 

 MCM: 3 • 5 • 7 m • m

 

MCM: 105m2

 

Encuentra el mínimo común múltiplo. 3 aparece una vez en ambas expresiones, por lo que aparecerá una vez en el mínimo común múltiplo. El 5 y el 7 aparecen por lo menos una vez. Para las variables, la m aparece dos veces.

 

Usa el mínimo común múltiplo para tu nuevo común denominador, será el MCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compara cada denominador original y el nuevo común denominador. Ahora reescribe las expresiones racionales para que tengan el común denominador de 105m2. Recuerda que m no puede ser 0 porque los denominadores serían 0.

 

El primer denominador es 15m2 y el MCD es 105m2. Necesitas multiplicar 15m2 por 7 para obtener el MCD, entonces multiplica toda la expresión racional por .

 

El segundo denominador es 21m y el MCD es 105m2. Necesitas multiplicar 21m por 5m para obtener el MCD, entonces multiplica toda la expresión racional por .

 

 

Suma los numeradores y conserva el denominador.

 

 

Si es posible, simplifica encontrando los factores comunes en el numerador y el denominador. Esta expresión racional ya está en su forma simplificada porque el numerador y el denominador no tienen factores en común.

 

Respuesta

 

 

 

 

 

Tomó tiempo, pero ya terminaste. Sumar expresiones racionales puede ser un proceso largo, pero tomándolo paso a paso, se puede hacer.

 

Ahora intentemos restar expresiones racionales, Usarás la misma técnica básica de encontrar el mínimo común denominador y reescribir cada expresión racional para que tenga ese denominador.

 

 

Ejemplo

Problema

Restar. Expresar la resta en su forma simplificada.

 

 

Encuentra la factorización prima de cada denominador. t + 1 no puede factorizarse más, pero  sí. Recuerda que t no puede ser -1 o 2 porque los denominadores serían 0.

 

 

 

 

 

 

 

MCM: (t + 1)(t – 2)

Encuentra el mínimo común múltiplo. t + 1 aparece una vez en ambas expresiones, por lo que aparecerá una vez en el mínimo común denominador. t – 2 también aparece una vez.

 

Esto significa que (t - 2)(t + 1) es el mínimo común múltiplo. En este caso, es más fácil dejar el común múltiplo en términos de los factores, por lo que no lo sacarás multiplicando.

Usa el mínimo común múltiplo para tu nuevo común denominador, será el MCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compara cada denominador original y el nuevo común denominador. Ahora reescribe las expresiones racionales para que cada una tenga el común denominador (t + 1)(t – 2).

 

Necesitas multiplicar t + 1 por t – 2 para obtener el MCD, entonces multiplica toda la expresión racional por .

 

La segunda expresión ya tiene el denominador (t + 1)(t – 2), por lo que no necesitas multiplicar por nada.

 

Luego reescribe el problema de sustracción con el común denominador.

 

 

 

 

Resta los numeradores y simplifica. Recuerda que los paréntesis deben ser incluidos alrededor del segundo (t – 2) en numerador porque toda la cantidad es restada. De otra forma estarías restando solamente la t.”

 

 

 

El numerador y el denominador tienen un factor común de t – 2, por lo que la expresión racional puede ser simplificada.

Respuesta

 

 

 

 

Hasta ahora todas las expresiones racionales que has sumado y restado han tenido algunos factores comunes. ¿Qué pasa si no tienen factores en común?

 

 

Ejemplo

Problema

Restar. Expresar la resta en su forma simplificada.

 

MCM = (2y - 1)(y - 5)

Ni 2y – 1 ni y – 5 pueden factorizarse. Porque no tienen factores comunes, el mínimo común múltiplo, que será el mínimo común denominador, es el producto de estos denominadores. Recuerda que y no puede ser ½ ni 5 porque los denominadores serían 0.

 

 

 

Multiplica cada expresión por el equivalente de 1 que te dará el común denominador.

 

Luego reescribe la resta con el común denominador. Tiene sentido conservar el denominador factorizado para comprobar los factores comunes.

 

 

 

Resta y simplifica.

Respuesta

  

 

 

 

Sumar. Expresar la suma en su forma simplificada.

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. El método es correcto, pero la respuesta no ha sido simplificada. El numerador de la expresión racional puede simplificarse multiplicando y combinando términos semejantes. La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. Para sumar expresiones racionales con denominadores distintos, debes primero encontrar un común denominador. El común denominador para estas expresiones racionales es  ya que los denominadores no tienen ningún factor común. Escribe ambos sumandos con el común denominador, , y luego simplifica. La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. Sólo puedes simplificar el numerador y el denominador donde hay factores comunes, no términos comunes. No puedes cancelar el término x2 con 12’s. La respuesta correcta es .

 

D)

Correcto. Primero encuentra el común denominador, (x + 4)(x – 3), y reescribe cada sumando usando ese denominador: . Multiplica y suma los numeradores: .

 

 

 

Combinando varias expresiones racionales

 

Puede que necesites combinar más de dos expresiones racionales. Si bien esto parecería fácil si todas tienen el mismo denominador, ¿qué pasa cuando no?

 

En el ejemplo siguiente, observa cómo se encuentra un común denominador para tres expresiones racionales. Una vez hecho esto, la suma y resta de términos se ve como antes, cuando sólo trabajabas con dos términos.

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar. Expresar el resultado en su forma simplificada.

 

x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

 

x – 2 = x – 2

 

x + 2 = x + 2

 

 

 

 

 

 

MCM = (x + 2)(x – 2)

Encuentra el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador. Multiplica cada factor el número máximo de veces que aparece en una sola factorización. Recuerda que x no puede ser 2 o -2 porque los denominadores no pueden ser 0.

 

(x + 2) aparece un máximo de una vez, al igual que (x – 2). Esto significa que MCM es (x + 2)(x – 2).

 

 

 

 

El MCM se vuelve el común denominador. Multiplica cada expresión por el equivalente de 1 que te dará el común denominador.

 

 

 

 

Reescribe el problema original con el común denominador. Tiene sentido mantener el denominador factorizado para buscar factores comunes.

 

 

 

Combina los numeradores.

 

Comprueba para la forma simplificada. Como  ni  son factores comunes de , esta expresión está en su forma simplificada.

Respuesta

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar. Expresar el resultado en su forma simplificada.

 

3y = 3 • y

 

x = x

 

9 = 3 • 3

 

MCM = 3 • 3 • xy

 

MCM = 9xy

Encuentra el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador. Multiplica cada factor el número máximo de veces que aparece en una sola factorización. Recuerda que x no puede ser 2 o -2 porque los denominadores no pueden ser 0.

 

 

 

El MCM se vuelve el común denominador. Multiplica cada expresión por el equivalente de 1 que te dará el común denominador.

 

 

 Reescribe el problema original con el común denominador.

 

Combina los numeradores.

 

 

 

 

Comprueba para la forma simplificada.

Respuesta

 

 

 

Sumario

 

Para sumar y restar expresiones racionales, aplica las mismas ideas que usas para sumar y restar fracciones numéricas: primero encuentra un común denominador. El mínimo común denominador es el mismo que el mínimo común múltiplo y puede encontrarse enlistando múltiplos para cada denominador o por medio de la factorización prima. Luego usa ese común denominador para reescribir las fracciones par que las puedas sumar o restar.