Triángulos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Identificar triángulos equiláteros, isósceles, escalenos, agudos, rectos y obtusos.

·         Identificar si dos triángulos son similares, congruentes, o ninguno.

·         Identificar los lados correspondientes de triángulos similares.

·         Encontrar las medidas faltantes en un par de triángulos similares.

·         Resolver problemas de aplicación con triángulos similares.

 

Introducción

Las formas geométricas, llamadas figuras, son una parte importante del estudio de la geometría. El triángulo es una de las formas básicas Es la figura más simple de entre la clasificación de figuras llamadas polígonos. Todos los triángulos tienen tres lados y tres ángulos, pero vienen en distintas formas y tamaños. Dentro del grupo de los triángulos, se utilizan las características de los lados de un triángulo para clasificarlos aún más. Los triángulos tienen características importantes, y entender dichas características nos permite aplicar ideas en problemas del mundo real.

 

Clasificando y nombrando triángulos

Un polígono es una figura plana cerrada con tres o más lados rectos. Los polígonos tienen cada uno su propio nombre dependiendo de cuántos lados tiene. Por ejemplo, el polígono que tiene tres lados se llama triángulo porque el prefijo “tri” significa “tres.” Su nombre también indica que el polígono tiene tres ángulos. El prefijo “poli” significa muchos.

 

La tabla siguiente muestra y describe tres clasificaciones de los triángulos. Nota que los tipos los ángulos se usan para clasificar el triángulo.

 

Nombre del triángulo

Dibujo del triángulo

Descripción

Triángulo agudo

 

 

Un triángulo con tres ángulos agudos (3 ángulos que miden entre 0° y 90°).

Triángulo obtuso

 

 

Un triángulo con 1 ángulo obtuso (1 ángulo que mide entre 90° y 180°).

Triángulo rectángulo

 

 

Un triángulo que contiene un ángulo recto (1 ángulo que mide 90°). Nota que el ángulo recto se muestra con una marca de esquina y no necesita ser etiquetado como de 90°.

 

La suma de las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo siempre es 180°. Este hecho puede aplicarse para encontrar la medida del tercer ángulo de un triángulo, si tenemos las medidas de los otros dos. Considera los ejemplos siguientes.

 

 

Ejemplo

Problema

Un triángulo tiene dos ángulos que miden 35° y 75°. Encontrar la medida del tercer ángulo.

 

35° + 75° + x = 180°

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

 

110º + x = 180º

 

Encontrar el valor de x.

 

            x = 180° ‒ 110º

            x = 70°

 

Respuesta

El tercer ángulo del triángulo mide 70°.

 

 

 

Ejemplo

Problema

Uno de los ángulos en un triángulo rectángulo mide 57º.

Encontrar la medida del tercer ángulo.

 

57° + 90° + x = 180°

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°. Uno de los ángulos mide 90° porque es un triángulo rectángulo.

 

147º + x = 180°

Simplificar.

 

            x = 180º - 147º

            x = 33 º

 

Encontrar el valor de x.

Respuesta

El tercer ángulo del triángulo mide 33°.

 

 

 

Existe una convención establecida para nombrar triángulos. Las etiquetas de los vértices del triángulo, que generalmente son letras mayúsculas, se usan para nombrar el triángulo.

 

 

Podemos llamar este triángulo ABC o  porque A, B, y C son vértices del triángulo. Cuando nombramos un triángulo, podemos empezar con cualquier vértice. Luego mantenemos las letras en orden al ir alrededor del polígono. El triángulo de arriba podría haberse llamado de varias maneras: , o . Los lados del triángulo son los segmentos de recta AB, AC, y CB.

 

De la misma forma que los triángulos pueden clasificarse como, agudos, obtusos, o rectángulos basados en sus ángulos, también pueden clasificarse por la longitud de sus lados. Los lados que miden lo mismo se llaman lados congruentes. Si bien designamos un segmento que une los puntos A y B con la notación , designamos la longitud de un segmento uniendo los puntos A y B con la notación AB sin la barra. La longitud AB es un número, y el segmento  es una colección de puntos que hacen un segmento.

 

Los matemáticos muestran la congruencia poniendo una marca a través de los lados que miden lo mismo. Si una marca aparece en otro lado, entonces dicho lado mide lo mismo que el primero. Si los lados tienen marcas distintas entonces no son congruentes. La tabla muestra la clasificación de los triángulos según la longitud de sus lados.

 

Nombre del triángulo

Dibujo del triángulo

Descripción

Triángulo equilátero

 

 

Un triángulo cuyos tres lados tienen la misma longitud. Estos lados se llaman lados congruentes.

Triángulo isósceles

 

 

Un triángulo con exactamente dos lados congruentes.

Triángulo escaleno

 

 

Un triángulo con sus tres lados de longitud distinta.

 

Para describir un triángulo más específicamente, puedes usar la información de dos lados y uno de sus ángulos. Considera el siguiente ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Clasifica el siguiente triángulo.

 

 

 

 

Observa qué tipo de ángulos tiene el triángulo. Como uno de los ángulos es recto, éste es un triángulo rectángulo.

 

Observa las longitudes de los lados. ¿Hay marcas de congruencia u otras marcas?

 

Las marcas de congruencia nos dicen que hay dos lados con la misma longitud. Entonces, el triángulo es isósceles.

Respuesta

Este es un triángulo isósceles.

 

 

Clasifica el siguiente triángulo.

 

 

A) agudo escaleno

B) rectángulo isósceles

C) obtuso escaleno

D) obtuso isósceles

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) agudo escaleno

Incorrecto. Este triángulo tiene un ángulo (ángulo Q) que mide entre 90º y 180º, por lo que es un triángulo obtuso. Es también escaleno porque todos sus lados tienen longitudes distintas. La respuesta correcta es obtuso escaleno.

 

B) rectángulo isósceles

Incorrecto. Este triángulo no contiene un ángulo recto. Tiene un ángulo (ángulo Q) que mide entre 90º y 180º, por lo que es un triángulo obtuso. Es también escaleno porque todos sus lados tienen longitudes distintas. La respuesta correcta es obtuso escaleno.

 

C) obtuso escaleno

Correcto. Este triángulo tiene vértices P, Q, y R, un ángulo (ángulo Q) que mide entre 90º y 180º, y lados de tres longitudes distintas.

 

D) obtuso isósceles

Incorrecto. Si bien este triángulo es obtuso, no tiene dos lados que miden lo mismo. Sus tres lados tienen longitudes diferentes, por lo que es escaleno. La respuesta correcta es obtuso escaleno..

 

 

 

Identificando triángulos congruentes y similares

Dos triángulos son congruentes si tienen exactamente el mismo tamaño y forma, En los triángulos congruentes, la medida de sus ángulos correspondientes y sus lados correspondientes es la misma. Considera los dos triángulos siguientes:

 

 

Como los ángulos  y  son ángulos rectos, estos son triángulos rectángulos. Llamemos a estos dos triángulos  y . Estos triángulos son congruentes si cada par de lados correspondientes tienen la misma longitud y cada par de ángulos correspondientes la misma medida.

 

Los lados correspondientes son opuestos a los ángulos correspondientes.

 

 

 significa

“corresponde a”

 

 y son triángulos congruentes porque sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

 

Veamos otro par de triángulos. Abajo se muestran los triángulos  y .

 

 

Estos dos triángulos no son congruentes porque es claramente más pequeño en tamaño que . Pero, a pesar de que no tienen el mismo tamaño, se parecen el uno al otro. Tienen la misma forma. Parece que los ángulos correspondientes de estos triángulos tienen la misma medida, y si así fuera, serían ángulos congruentes y llamaríamos similares a los triángulos.

 

Marcamos los ángulos congruentes de la misma forma marcamos los lados congruentes.

 

Imagen que muestra las medidas de los ángulos de ambos triángulos.

Imagen que muestra los triángulos ABC y RST usando marcas para mostrar la congruencia de sus ángulos.

 

También podemos mostrar que hay ángulos congruentes usando varias bandas dentro del ángulo, en lugar de varias marcas en un lado. Abajo se muestra una imagen con varias bandas en el ángulo.

 

Imagen que muestra los triángulos ABC y RST usando bandas para mostrar la congruencia de sus ángulos.

 

Si los ángulos correspondientes de dos triángulos miden lo mismo se llaman triángulos similares. El nombre tiene sentido porque tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, Cuando un par de triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales entre ellos. Esto significa que hay un factor de escala consistente que puede ser usado para comparar los lados correspondientes. En el ejemplo anterior, la longitud de los lados del triángulo grande son todos ellos 1.4 veces más largos que los del triángulo pequeño. Entonces, los triángulos similares son proporcionales uno al otro.

 

Sólo por el hecho de que dos triángulos parecen similares no significa que lo sean en el sentido matemático de la palabra. Comprobar que dos ángulos correspondientes miden lo mismo es una forma de asegurarnos que los triángulos son similares.

 

 

Lados correspondientes de triángulos similares

Existe otro método para determinar la similaridad de triángulos que consiste en comparar las razones de las longitudes de sus lados correspondientes.

 

Si las razones de los pares de lados correspondientes son iguales, los triángulos son similares.

 

 

Considera los dos triángulos siguientes.

 

 

  no es congruente con  porque las longitudes de los lados de  son más largos que los de . Entonces, ¿son similares los triángulos? Si lo son, los lados correspondientes deberían ser proporcionales.

 

Como estos triángulos están orientados de la misma forma, podemos relacionar los lados izquierdo, derecho e inferior:  y ,  y ,  y . (Podemos llamar a estos los dos lados más cortos, los dos lados más largos, y los dos lados que quedan y obtener las mismas razones). Ahora veamos las razones de sus longitudes.

 

 

Sustituyendo los valores de las longitudes en la proporción, podemos ver que es válida:

 

 

Si los lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son similares. Los triángulos ABC y DEF son similares pero no congruentes.

 

Usemos esta idea de lados correspondientes proporcionales para determinar si otros dos triángulos son similares.

 

 

Ejemplo

Problema

Determinar si los triángulos siguientes son similares comprobando si sus lados correspondientes son proporcionales.

 

 

Primero determinamos los lados correspondientes, los cuales son ángulos correspondientes opuestos.

 

Escribimos como una razón las longitudes de los lados correspondientes.

 

 

 

2 = 2 = 2

Sustituimos las longitudes de los lados en las razones, y determinamos si las razones de los lados correspondientes son equivalentes.

Respuesta

 son similares.

 

 

 

El símbolo matemático ~ significa “es similar a”. Entonces, puedes escribir  como .

 

 

Determinar si los triángulos son similares, congruentes, o ninguno de los anteriores.

 

 

A)  y  son congruentes.

B)  y  son similares.

C)  y  son similares y congruentes.

D)  y  no son similares ni congruentes.

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)  y  son congruentes.

Incorrecto. Los triángulos congruentes tienen lados correspondientes de las mismas longitudes y ángulos correspondientes de medidas iguales. Tienen exactamente el mismo tamaño y forma.  es equilátero y  es isósceles, por lo que no tienen exactamente la misma forma. La respuesta correcta es  y no son ni similares ni congruentes.

 

B) y  son similares.

Incorrecto. Las razones de los lados correspondientes no son iguales, por lo que los triángulos no pueden ser similares: . La respuesta correcta es  y no son similares ni congruentes.

 

C)  y  son similares y congruentes.

Incorrecto. Todos los triángulos congruentes son similares, pero estos triángulos no son congruentes. Los triángulos congruentes tienen lados correspondientes que miden lo mismo y ángulos correspondientes que también miden lo mismo.  es equilátero y  es isósceles, por lo que no tienen exactamente la misma forma. La respuesta correcta es  y no son similares ni congruentes.

 

D)  y  no son ni similares ni congruentes.

Correcto. No se sabe si las medidas de los ángulos correspondientes son iguales por ausencia de marcas de congruencia en los ángulos. Por otro lado, las razones de los lados correspondientes no son iguales: .

 

 

 

Encontrando medidas faltantes en triángulos similares

 

Puedes encontrar medidas desconocidas en un triángulo si conoces algunas de las medidas en un triángulo similar. Veamos un ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

 y  son triángulos similares. ¿Cuál es la longitud del lado BC?

 

 

 

 

En triángulos similares, las razones de los lados correspondientes son proporcionales. Crea una proporción de dos razones, una que incluya el lado faltante.

 

Sustituye en las longitudes de los lados conocidos en las razones. Sea n el lado desconocido.

 

 

Resuelve n.

Respuesta

La longitud faltante del lado BC mide 8 unidades.

 

Este proceso es bastante sencillo — pero debes tener cuidado cuando representes las razones de los lados correspondientes, recuerda que los lados correspondientes son opuestos a los ángulos correspondientes.

 

Resolviendo problemas de aplicación con triángulos similares

 

Aplicar el conocimiento de los triángulos, similaridad, y congruencia puede ser muy útil para resolver problemas en el mundo real. De la misma forma que puedes encontrar longitudes desconocidas de un triángulo dibujado en el papel, puedes usar triángulos para encontrar distancias desconocidas entre lugares u objetos.

 

Consideremos el ejemplo de dos árboles y sus sombras. Supongamos que el sol brilla sobre los árboles, uno que mide 6 pies de alto y el otro con altura desconocida. Al medir la longitud de cada sombra en el suelo, puedes usar la similaridad de los triángulos para encontrar la altura desconocida del segundo árbol.

 

Primero, ¡encontremos los triángulos en esta situación! Los árboles crean un par de lados correspondientes. Las sombras que se proyectan en el suelo forman otro par de lados correspondientes. El tercer lado va desde la punta de cada árbol a la sombra en el suelo. Esta es la hipotenusa del triángulo.

 

Si sabemos que los árboles y sus sombras forman triángulos similares, podemos establecer una proporción para encontrar la altura del árbol.

 

 

Ejemplo

Problema

Cuando el sol está a cierto ángulo en el cielo, un árbol de 6 pies formará una sombra de 4 pies. ¿Qué tan alto es el árbol que proyecta una sombra de 8 pies?

 

 

 

Las medidas de los ángulos son las mismas, por lo que los triángulos son triángulos similares. Entonces podemos usar proporciones para encontrar el tamaño del lado faltante.

 

Plantea una proporción comparando las alturas de los árboles y las longitudes de sus sombras.

 

Sustituye en las longitudes desconocidas. Llamemos la altura desconocida h.

 

Resolver h.

Respuesta

El árbol mide 12 pies de alto.

 

 

 

Sumario

 

Los triángulos son una de las formas básicas en el mundo real. Los triángulos pueden clasificarse por las características de sus ángulos y sus lados, y también pueden ser comparados según dichas características. La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. Los triángulos congruentes son triángulos que tienen el mismo tamaño y forma. Los triángulos similares tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Las longitudes de sus lados son proporcionales. El conocimiento de los triángulos puede ser útil al resolver problemas del mundo real.