Rectas Paralelas y Perpendiculares
Objetivos de Aprendizaje
· Encontrar la pendiente de una recta que es paralela o perpendicular a otra.
· Dados un punto y una recta perpendicular o paralela a una recta desconocida, escribir la ecuación de la recta desconocida.
Introducción
Cuando graficas dos o más ecuaciones lineales en el plano de coordenadas, generalmente se cruzan en algún punto. Sin embargo, cuando dos rectas en un plano coordenado nunca se cruzan, se llaman rectas paralelas. También veremos el caso cuando dos rectas en el plano de coordenadas se cruzan en un ángulo recto. Estas se llaman rectas perpendiculares. Las pendientes de las gráficas en cada uno de los casos tienen una relación especial entre ellas.
Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero.
Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos.
Las rectas perpendiculares también están en todos lados, no sólo en una gráfica en papel sino en el mundo real, desde el patrón de cruce en las calles a la intersección de las líneas coloreadas de una camisa a cuadros.
Explora las rectas en el diagrama interactivo siguiente.
o Haz clic y arrastra el punto en el deslizante “Ecuación” para elegir uno de 5 ejemplos de ecuaciones. La ecuación se grafica en azul.
o Luego, haz clic y arrastra el punto en la recta roja para hacerla paralela o perpendicular a la recta azul. (Asegúrate de mover lentamente el cursor.) ¡Cuando las rectas son paralelas o perpendiculares, aparecerá un texto para avisarte que ya le atinaste!
o Observa las pendientes de las dos rectas paralelas. ¿Qué es lo que notas? Observa las pendientes de las rectas perpendiculares. ¿Qué es lo que notas?
o Escoge otra ecuación e inténtalo de nuevo.
o Conforme intentas con otras ecuaciones, observa la relación entre las pendientes de rectas paralelas, y las pendientes de rectas perpendiculares. Al intentar con la última ecuación, ¿puedes predecir cuáles serán las pendientes de las rectas paralelas y perpendiculares?
De la primera exploración, habrás notado lo siguiente.
| Rectas Paralelas
Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen: o la misma pendiente o distintas intersecciones en y
Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4. | |
|
| La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3. | Identifica la pendiente de la recta dada. |
| Respuesta | La pendiente de la recta paralela es −3. | Una recta paralela a la recta dada tiene la misma pendiente. |
| Ejemplo | |||
| Problema | Determina si las rectas y = 6x + 5 y y = 6x – 1 son paralelas. | ||
|
| La recta dada se escribe como y = mx + b con m = 6 para la primera recta y m = 6 para la segunda recta. La pendiente de ambas rectas es 6. | Identifica la pendiente de la recta dada. | |
|
| La primera recta tiene una intersección en <i>y</i> en (0, 5), y la segunda recta tiene una intersección en <i>y</i> en (0, −1). No son la misma recta. | Observa b, el valor de y de la intersección en <i>y</i>, para ver si las rectas son la misma, en cuyo caso no decimos que son paralelas. | |
| Respuesta | Las rectas son paralelas. | Las pendientes de las rectas son las mismas y tienen diferentes intersecciones en y, entonces no son la misma recta y son paralelas. | |
| Rectas Perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será |
porque las rectas son perpendiculares.
También puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, 
.
| Ejemplo | ||
| Problema | Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6. | |
|
| La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6. La pendiente es 2. | Identifica la pendiente de la recta dada. |
|
Respuesta |
La pendiente de la recta perpendicular es | Para encontrar la pendiente de la recta perpendicular, encuentra el recíproco, |
.
, y luego encuentra el opuesto del recíproco
Observa que el producto 
, lo que significa que las pendientes son perpendiculares.
En el caso donde una de las rectas es vertical, la pendiente de esa recta no está definida y no es posible calcular el producto de un número indefinido. Cuando una recta es vertical, la recta perpendicular a ella será horizontal, teniendo una pendiente de cero (m = 0).
| Ejemplo | ||
| Problema | Determinar si las rectas y = −8x + 5 y | |
|
| Las rectas dadas están escritas en la forma y = mx + b, con m = −8 para la primera recta y m = | Identifica las pendientes de las rectas dadas. |
|
| −8 ≠ El recíproco opuesto de −8 es | Determina si las pendientes son la misma o si son recíprocas opuestas. |
| Respuesta | Las rectas son perpendiculares. | Las pendientes de las rectas son recíprocas opuestas, por lo que las rectas son perpendiculares. |
para la segunda recta.
| ¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares a la recta
A)
B)
C)
D) Todas las rectas son perpendiculares.
|
?
, que es el opuesto recíproco de la pendiente de 7 en la ecuación original. Ambas rectas so perpendiculares a la recta original.
Las relaciones entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares pueden usarse para escribir ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares.
Empecemos con un ejemplo de rectas paralelas.
| Ejemplo | ||
| Problema | Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1). | |
|
| x – y = 5 −y = −x + 5 y = x – 5 | Reescribe, si es necesario, la recta que quieres que sea paralela de la forma y = mx + b. |
|
| En la ecuación anterior, m = 1 y b = −5. Como m = 1, la pendiente es 1. | Identifica la pendiente de la recta dada. |
|
| La pendiente de la recta paralela es 1. | Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente. |
|
| y = mx + b 1 = 1(−2) + b | Usa el método para escribir una ecuación a partir de la pendiente y un punto en la recta. Sustituye 1 por m, y el punto (−2, 1) por x y y. |
|
| 1 = −2 + b 3 = b | Resuelve b. |
| Respuesta | y = x + 3 | Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar. |
Cuando trabajas con rectas perpendiculares, normalmente tendrás una de las rectas y un punto adicional.
| Ejemplo | ||
| Problema | Escribir la ecuación de una recta que contenga el punto(1, 5) y sea perpendicular a la recta y = 2x – 6. | |
|
| La recta dada se escribe en la forma y = mx + b, como m = 2 y b = -6. La pendiente es 2. | Identifica la pendiente de la recta con la que tu recta debe ser perpendicular. |
|
| La pendiente de la recta paralela es | Para encontrar la pendiente de una recta perpendicular, encuentra el recíproco, |
|
|
| Usando el método de escribir una ecuación a partir de su pendiente y un punto en la recta. Sustituye |
|
|
| Resuelve b. |
| Respuesta |
| Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar. |
.
, y luego su opuesto, 
| ¿Cuál de la siguientes es la ecuación de una recta paralela a y = −2x – 14 y pasa por el punto (−3, 1)?
A) y = −2x + 1
B)
C)
D) y = −2x – 5
|
| Ejemplo | ||
| Problema | Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a y = 4. | |
|
| y = 4 y = 0x + 4
| Reescribe, si es necesario, la recta en la forma y = mx + b. Podrás haber notado sin hacerlo que y = 4 es una recta horizontal 4 unidades sobre el eje-x. Porque es horizontal, y sabes que la pendiente es cero. |
|
| En la ecuación anterior, m = 0 y b = 4. Como m = 0, la pendiente es 0. Esta es una recta horizontal. | Identifica la pendiente de la recta dada. |
|
| La pendiente de la recta paralela también es 0. | Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente. |
|
|
y = 10 | Como la recta paralela será una recta horizontal, su forma es y = una constante. Escoge una constante para crear la recta paralela. |
| Respuesta | y = 10 | Esta recta es paralela a y = 4 e intersecta el eje-y en (0, 10). |
Sumario
Cuando rectas en un plano so paralelas (es decir, nunca se cruzan), tienen la misma pendiente. Cuando rectas son perpendiculares (es decir, se cruzan formando un ángulo de 90°), sus pendientes son recíprocas opuestas una de la otra. El producto de sus pendientes siempre será -1, excepto en el caso donde una de las rectas es vertical, porque su pendiente no está definida. Puedes usar estas relaciones para encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto en particular y que sea paralela o perpendicular a otra recta.
