Encontrando la Pendiente de una Recta

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Encontrar la pendiente de una recta en una gráfica.

·         Encontrar la pendiente de una recta dados dos puntos.

·         Encontrar la pendiente de las rectas x = a y y = b.

 

Introducción

La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un carrito bajando una rampa o subir las escaleras. La rampa y la escalera tienen una pendiente. Puedes describir la pendiente de la rampa o de las escaleras considerando el movimiento horizontal y vertical. En una conversación, usas las palabras “gradual” o “empinado” para describir una pendiente. En una pendiente gradual, casi todo el movimiento es horizontal. En una pendiente empinada, el movimiento vertical es mayor.

 

Definiendo la Pendiente

La definición matemática de la pendiente es muy similar a la de la vida diaria. En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas. Tan solo con mirar la gráfica de una recta, puedes saber algunas cosas sobre su pendiente, especialmente relativa a otras rectas graficadas en el mismo plano de coordenadas. Considera las gráficas de las tres rectas siguientes:

 

 

Primero, veamos las rectas A y B. Si imaginas que estas rectas son un cerro, dirías que la recta B es más empinada que la recta A. La recta B tiene una pendiente mayor que la recta A.

 

Ahora, observa que las rectas A y B se elevan conforme te mueves de izquierda a derecha. Decimos que estas rectas tienen una pendiente positiva. La recta C baja de izquierda a derecha por lo que tienen una pendiente negativa. Usando dos de los puntos en la recta, puedes calcular la pendiente de la recta encontrando la elevación y el avance. El cambio vertical entre dos puntos se llama elevación, y el cambio horizontal se llama avance. La pendiente es igual a la división de la elevación entre el avance: .

 

 

 

 

Calculando la Pendiente de una Recta en una Gráfica

Puedes determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la elevación y el avance. Una característica de una recta es que su pendiente es constante en toda su extensión. Entonces, puedes escoger cualesquiera 2 puntos sobre la gráfica de la recta para calcular la pendiente. Veamos un ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.

 

 

 

elevación = 2

Empieza en un punto en la recta, como (2, 1) y muévete verticalmente hasta alinearte con otro punto en la recta, como (6, 3). La elevación es de 2 unidades. Es positiva puesto que te moviste hacia arriba.

 

avance = 4

Luego, muévete horizontalmente al punto (6, 3). Cuenta el número de unidades. El avance es de 4 unidades. Es positivo puesto que te moviste hacia la derecha.

 

Pendiente =

Pendiente = .

Respuesta

La pendiente es .

 

 

Esta recta tendrá una pendiente de  sin importar qué par de puntos hayas escogido de la recta. Intenta medir la pendiente partiendo del origen, (0, 0), al punto (6, 3). Encontrarás que la elevación = 3 y el avance = 6. La pendiente es . ¡Es la misma!

 

Veamos otro ejemplo.

 

Ejemplo

Problema

Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.

 

 

 

 

Observa que las dos rectas tienen pendientes positivas, por lo que esperamos que las respuestas sean positivas.

 

 

 

elevación = 4

Recta azul

 

Empieza con la recta azul, yendo del punto (-2, 1) al punto (-1, 5). Esta recta tiene una elevación de 4 unidades hacia arriba, por lo que es positiva.

 

avance = 1

El avance es de 1 unidad a la derecha, por lo que es positivo.

 

Pendiente =

Sustituye los valores de la elevación y del avance y sustituye en la fórmula: Pendiente = .

 

 

 

elevación = 1

Recta roja

 

La recta roja, va del punto (-1, -2) al punto (3, -1) tiene una elevación de 1 unidad.

 

avance = 4

La recta roja tiene un avance de 4 unidades.

 

Pendiente =

Sustituye los valores de la elevación y del avance y sustituye en la fórmula: Pendiente = .

Respuesta

La pendiente de la recta azul es 4 y la pendiente de la recta roja es .

 

 

Cuando ves las dos rectas, puedes notar que la recta azul es más empinada que la recta roja. Tiene sentido que el valor de la pendiente de la recta azul, 4, es mayor que el valor de la pendiente de la recta roja, . Entra más grande es la pendiente, más empinada la recta.

 

El siguiente ejemplo muestra una recta con una pendiente negativa.

 

Ejemplo

Problema

Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.

 

 

elevación = 3

Empieza en el punto A, (0, 4) y sube a 3. Esto significa que te mueves 3 unidades en la dirección negativa.

 

avance = 2

De ahí, avanza 2 unidades en la dirección positiva al punto B (2, 1).

 

Pendiente =  

Pendiente = .

Respuesta

La pendiente de la recta es .

 

 

La dirección es importante cuando se trata de determinar la pendiente. Es importante poner atención a si te mueves hacia arriba, abajo, derecha, o izquierda; esto es, si te mueves en la dirección positiva o negativa. Si te mueves para arriba hacia el segundo punto, la elevación es positiva. Si te mueves para abajo hacia el segundo punto, la elevación es negativa. Si te mueves a la derecha hacia el segundo punto, el avance es positivo. Si te mueves a la izquierda hacia el segundo punto, el avance es negativo. En el ejemplo anterior, pudiste encontrar la pendiente empezando en el punto B, avanzando 2, y luego elevándote +3 para llegar al punto A. El resultado sigue siendo una pendiente de .

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Encontrar la pendiente de la recta en la gráfica siguiente.

elevación = 4.5

Empieza en (-3, -0.25) y elévate 4.5.  Esto significa que te mueves 4.5 unidades en la dirección positiva.

avance = 6

De ahí, muévete 6 unidades en la dirección positiva a (3, 4.25).

Respuesta

La pendiente de la recta es 0.75.

 

 

Estudiando Ecuaciones

A veces, la pendiente de una recta puede determinarse fácilmente de su ecuación. Consideremos la recta cuya ecuación es y = 5x. Puedes crear una tabla de valores para encontrar 3 puntos en la recta.

 

x

y

1

5

0

0

2

10

 

Usando los tres puntos, crea una gráfica de la recta y determina su pendiente.

 

 

Conforme te mueves del punto (-1, -5) al punto (2, 10), la recta se eleva 15 y avanza 3, entonces la pendiente es . Observa que el número 5 aparece en la ecuación: y = 5x.

 

Siempre que la ecuación de la recta se escriba de la forma y = mx + b, se le llama la forma pendiente-intersección de la ecuación. La m es la pendiente de la recta. Y b es la be en el punto, es decir, la intersección en y(0, b).

 

Por ejemplo, en la ecuación y = 3x – 7, la pendiente es 3, y la intersección en y es (0, −7).

 

¿Y qué si la ecuación se escribe como 2y = 5x + 1? Entonces debes reescribir la ecuación en la forma y = mx + b. Despeja y.

 

            2y = 5x + 1

              y =  divide entre 2 ambos lados de la ecuación.

 

La pendiente es , y la intersección en y es (0, ).

 

¿Cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es y = −2x + 7?

A) 7

B) 2

C) −2

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 7

Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el coeficiente de x. La respuesta correcta es −2.

 

B) 2

Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el coeficiente de x. El coeficiente es −2. La respuesta correcta es −2.

 

C) −2

Correcto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el coeficiente de x. Para esta recta el coeficiente, o m, la pendiente, es −2.

 

D)

Incorrecto. La pendiente de una recta de la forma y = mx + b está dada por el coeficiente de x. El coeficiente es −2. La respuesta correcta es −2.

 

 

 

Calculando la Pendiente de una Reta Dados Dos Puntos

Hemos visto que puedes encontrar la pendiente de una recta en una gráfica midiendo la elevación y el avance. También puedes encontrar la pendiente de una recta sin necesidad de la gráfica si conoces las coordenadas de cualquier par de puntos en esa recta. Cada punto tiene un conjunto de coordenadas: un valor de x y un valor de <i>y</i>, escritos como un par ordenado (x, y). El valor de x nos dice en dónde está el punto horizontalmente. El valor de <i>y</i> nos dice en dónde está el punto verticalmente.

 

Considera dos puntos en una recta —El punto 1 y el punto 2. El punto 1 tiene coordenadas (x1, y1) y el punto 2 tiene coordenadas (x2, y2).

 

 

La elevación es la distancia vertical entre los dos puntos, que es la diferencia de sus coordenadas en y. Entonces la elevación es y2 y1, el avance entre esos dos puntos es la diferencia de sus coordenadas en x, o x2 x1.

 

Entonces,  o  

En el ejemplo siguiente, verás que la recta tiene dos puntos cada uno indicado como un par ordenado. El punto 1 es (0, 2), y el punto 2 es (−2, 6). Entonces ahora fas a moverte del punto 1 al punto 2. Dibujamos un triángulo sobre la recta para ayudarnos a ilustrar la elevación y el avance.

 

 

Puedes ver de la gráfica que la elevación del punto 1 al punto 2 es 4, porque te estás moviendo 4 unidades en la dirección positiva (arriba).El avance es −2, porque luego te mueves 2 unidades en la dirección negativa (izquierda). Usando la fórmula de la pendiente, .

 

No necesitas la gráfica para calcular la pendiente. Puedes sólo usar las coordenadas, poniendo atención en cuál es el punto 1 y cuál es el punto 2. Organicemos la información sobre los dos puntos:

 

Nombre

Par Ordenado

Coordenadas

Punto 1

(0, 2)

x1 = 0

y1 = 2

Punto 2

(−2, 6)

x2 = -2

y2 = 6

 

La pendiente,  = . La pendiente de la recta, m, es −2.

 

No importa qué punto sea designado como punto 1 y qué punto sea punto 2. Pudiste haber llamado a (−2, 6) el punto 1, y a (0, 2) el punto 2. En ese caso, sustituyendo las coordenadas en la fórmula de la pendiente obtenemos la ecuación . Una vez más, la pendiente m = −2. Es la misma pendiente que la anterior. Lo importante es ser consistente cuando restas: siempre debes restar en el mismo orden y2 y1 y y x2 x1.

 

Ejemplo

Problema

¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (5, 5) y (4, 2)?

 

x1 = 4

y1 = 2

(4, 2) = punto 1, (x1, y1)

 

x2 = 5

y2 = 5

(5, 5) = punto 2, (x2, y2)

 

m = 3

Sustituye los valores en la fórmula de la pendiente y simplifica.

Respuesta

La pendiente es 3.

 

El ejemplo siguiente muestra la solución cuando reviertes el orden de los puntos, llamando (5, 5) punto 1 y (4, 2) punto 2.

 

Ejemplo

Problema

¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (5, 5) y (4, 2)?

 

x1 = 5

y1 = 5

(5, 5) = punto 1, (x1, y1)

 

x2 = 4

y2 = 2

(4, 2) = punto 2, (x2, y2)

 

m = 3

Sustituye los valores en la fórmula de la pendiente y simplifica.

Respuesta

La pendiente es 3.

 

Observa que no importa qué par ordenado se llame punto 1 y qué par ordenado se llame punto 2, la pendiente sigue siendo 3.

 

Ejemplo Avanzado

Problema

¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (3,-6.25) y (-1,8.5)?

(3,-6.25) = punto 1,

(-1,8.5) = punto 2,

 

Sustituye los valores en la fórmula de la pendiente y simplifica.

Respuesta

La pendiente es -3.6875.

 

 

 

¿Cuál es la pendiente de la recta que incluye los puntos (−5, 1) y (−2, 3)

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Correcto.

 

B)

Incorrecto. El denominador es −2 (−5), no −2 5. La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. Sustituye las coordenadas en la fórmula de la pendiente de manera consistente: .  La respuesta correcta es .

 

D)

Incorrecto. Has intercambiado la elevación y el avance. La respuesta correcta es .

 

 

 

Pregunta Avanzada

¿Cuál es la pendiente de la recta que incluye los puntos  y ?

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Parece que has invertido la elevación y el avance. Usa la fórmula  para calcular la pendiente. La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. Parece que restaste las coordenadas y o x en el orden incorrecto. Asegúrate que restas , luego , y entonces calculas la pendiente. La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. Parece que restaste las coordenadas y o x en el orden incorrecto. Asegúrate que restas , luego , y entonces calculas la pendiente. La respuesta correcta es .

 

D)

Correcto. Usando la fórmula de la pendiente, , encuentras que .

 

 

 

Calculando las Pendientes de Rectas Horizontales y Verticales

 

Hasta ahora has considerado rectas que “suben la cuesta” o “bajan la cuesta.” Sus pendientes pueden ser empinadas o graduales, pero siempre son números positivos o negativos. Pero hay otros tipos de rectas, las horizontales y las verticales, ¿Cuál es la pendiente de una recta nivelada? ¿O la de una pared o recta vertical?

 

Consideremos una recta horizontal en una gráfica. No importa qué par de puntos escojas en la recta, siempre tendrán la misma coordenada en y. La ecuación de esta recta es y = 3. La ecuación también se puede escribir como y = (0)x + 3.

 

 

Usando la forma y = 0x + 3, puedes ver que la pendiente es 0. Puedes también usar la fórmula de la pendiente con dos puntos en la recta horizontal para calcular la pendiente. Usando (−3, 3) como punto 1 y (2, 3) como punto 2, obtienes:

 

 

La pendiente de esta recta horizontal es 0.

 

Consideremos cualquier recta horizontal. No importa qué puntos de la recta tomes, siempre tendrán la misma coordenada en y. Entonces, cuando aplicas la fórmula de la pendiente, el numerador siempre será 0. Cero dividido entre cualquier número distinto de 0 es 0, entonces la pendiente de cualquier recta horizontal es siempre 0.

 

La ecuación para la recta horizontal y = 3 te dice que no importa que par de puntos tomes en esta recta, la coordenada en y siempre será 3.

 

¿Y qué pasa con las rectas verticales? En este caso, no importa qué par de puntos tomes, siempre tendrán la misma coordenada en x. La ecuación para esta resta es x = 2.

 

 

No hay manera de que esta ecuación pueda ponerse en forma de pendiente-intersección, porque el coeficiente de y es 0 (x = 0y + 2).

 

¿Entonces, ¿qué pasa cuando usas la fórmula de la pendiente con dos puntos en la recta vertical para calcular la pendiente? Usando (2, 1) como punto 1 y (2, 3) como punto 2, obtienes:

 

 

Pero la división entre cero no tiene sentido para los números reales. Por este hecho, se dice que la pendiente de esta recta vertical no está definida. Esto sucede para todas las rectas verticales — todas tienen una pendiente no definida.

 

Ejemplo

Problema

¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos (3, 2) y (8, 2)?

 

(3, 2) = punto 1,

 

(−8, 2) = punto 2,

 

 

m = 0

Sustituye los valores en la fórmula de la pendiente y simplifica.

Respuesta

La pendiente es 0, entonces la recta es horizontal.

 

 

Pregunta Avanzada

¿Cuál de los siguientes puntos estarán en la recta creada por los puntos  y ?

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Observa que ambos puntos en la recta tienen la misma coordenada en x pero distintas coordenadas en y. Esto la hace una recta vertical, entonces cualesquiera dos puntos en la recta tendrán una coordenada en x de -3.75. La respuesta correcta es .

 

B)

Correcto.  Los puntos  y  de la recta vertical, entonces cualquier punto en esa recta tendrá una coordenada en x de -3.75.

 

C)

Incorrecto. Intenta dibujando una figura de los puntos  y . Forman de una recta vertical, por lo que cualquier otro par de puntos en la recta tendrán una coordenada en ex de -3.75. La respuesta correcta es .

 

D)

Incorrecto. Observa que ambos puntos en la recta tienen la misma coordenada en x pero distintas coordenadas en y. Esto la hace una recta vertical, entonces cualesquiera dos puntos en la recta tendrán una coordenada en x de -3.75. La respuesta correcta es .

 

 

 

Sumario

La pendiente describe la inclinación de una recta. La pendiente de cualquier recta es constante a lo largo de la misma. La pendiente también puede darte información sobre la dirección de la recta en el plano de coordenadas. La pendiente puede calcularse ya sea observando la gráfica de la recta o usando las coordenadas de cualquier par de puntos en la recta. Hay dos fórmulas para la pendiente: Pendiente =  y  donde m = pendiente y  y  son dos puntos en la recta.

 

Las imágenes siguientes resumen los distintos tipos de pendientes de rectas.