Graficando Ecuaciones Lineales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Usar pares coordenados para graficar relaciones lineales.

·         Graficar una ecuación lineal usando intersecciones en x y y.

·         Determinar si un par ordenado es la solución de una ecuación.

·         Resolver problemas de aplicación que implican gráficas y ecuaciones lineales.

 

 

Graficar pares ordenados es sólo el inicio de la historia. Una vez que sabes cómo colocar puntos en una cuadrícula, puedes usarlos para encontrarle sentido a todo tipo de relaciones matemáticas.

 

Puedes usar el plano de coordenadas para graficar puntos y para mapear diferentes relaciones, como la relación entre la distancia de un objeto y el tiempo transcurrido. Muchas relaciones matemáticas son relaciones lineales. Veamos que es una relación lineal.

 

 

Una relación lineal es una relación entre variables que al ser graficadas en el plano de coordenadas, los puntos forman una línea. Veamos una serie de puntos en el Cuadrante I del plano de coordenadas.

 

Observa los cinco pares ordenados (y sus coordenadas x y y) abajo. ¿Puedes ver un patrón en la localización de los puntos? Si este patrón continúa, ¿qué otros puntos podrían estar en la línea?

 

 

Probablemente encontraste que si este patrón continúa el siguiente par ordenado sería (5, 10). Esto tiene sentido porque el punto (5, 10) “se alinea” con los otros puntos en la serie — está literalmente en la misma línea que los otros. Aplicando la misma lógica, puedes pensar que los pares ordenados (6, 12) y (7, 14) también formarían parte de la línea si el plano de coordenadas fuera más grande; ellos, también, se alinearían con los otros puntos.

 

Esta serie de puntos también puede representarse en una tabla. En la tabla siguiente, se registran las coordenadas x y y de cada par ordenad en la gráfica.

 

 

Observa que cada coordenada-y es el doble de su coordenada-x correspondiente. Todos estos valores de x y y siguen el mismo patrón, y, cuando se grafican en el plano de coordenadas, se alinean.

 

Una vez que conoces el patrón que relaciona los valores de x y y, puedes encontrar el valor de y para cualquier valor de x que se encuentra en la línea. Entonces si la regla de este patrón es que cada coordenada-y es dos veces la coordenada-x correspondiente, entonces los pares ordenados (1.5, 3), (2.5, 5), y (3.5, 7) deben aparecer también en la línea, ¿correcto? Veamos qué pasa.

 

 

Si continuaras añadiendo pares ordenados (x, y) donde el valor de y es el doble del valor de x, terminarías con una gráfica como esta.

 

 

Observa cómo todos los puntos se juntan para crear una línea. Puedes entonces pensar en una línea, como una colección infinita de números o puntos individuales que comparten la misma relación matemática. En este caso, la relación es que el valor de y es el doble del valor de x.

 

Hay muchas maneras de representar una relación lineal — una tabla, una gráfica lineal, y también una ecuación lineal. Una ecuación lineal es una ecuación con dos variables cuyos pares ordenados se grafican como una línea recta.

 

Existen varias formas de crear una gráfica a partir de una ecuación lineal. Una manera es crear una tabla de valores para x y y, y luego graficar los pares ordenados en el plano de coordenadas. Sólo hacen falta dos puntos para determinar una línea. Sin embargo, es siempre buena idea graficar más de dos puntos para evitar posibles errores.

 

Luego dibujas una línea pasando por los puntos para mostrar todos los puntos que están en la línea. Las flechas a cada extremo indican que la línea continúa infinitamente en ambas direcciones. Cada punto en esta línea es una solución de la ecuación lineal.

 

 

 

 

Las ecuaciones lineales graficadas arriba se resolvieron para y. Si la ecuación no está en términos de y, es mejor primero despejar la ecuación para y. Si no hay y en la ecuación, entonces resuelve la ecuación para x.

 

 

 

Las ecuaciones lineales x = 2 y y = −3 sólo tienen una variable en cada término, Sin embargo, como son ecuaciones lineales, entonces se grafican en el plano coordenado de la misma manera que las ecuaciones lineales. Sólo piensa en la ecuación x = 2 como x = 0y + 2 y piensa en la ecuación y = −3 como y = 0x – 3.

 

 

 

Observa que y = −3 se grafica como una línea horizontal.

 

¿Qué tabla de valores pudo ser generada por la ecuación 2y – 5x = 10?   A) x y 5 0 7.5 1 10 2   B) x y 1 5 2 6 3 7   C) x y 1 15 2 20 3 25   D) x y 0 5 1 7.5 2 10   Mostrar/Ocultar Respuesta La respuesta correcta es D. Para generar una tabla de valores para esta ecuación, primero despeja la ecuación para y. Ahora elige valores para x y luego evalúa la ecuación para y. Cuando x = 0, y = 5, cuando x = 1, y = 7.5, cuando x = 2, y = 10.

 

 

 

Las intersecciones de una línea son los puntos donde la línea se intersecta, o cruza, los ejes vertical y horizontal.

 

La línea recta de la gráfica siguiente intersecta los dos ejes coordenados. El punto donde la línea cruza el eje x se llama intersección en x. La intersección en y es el punto donde la línea cruza el eje y.

 

 

La intersección en x anterior es el punto (−2, 0). La intersección en y es el punto (0, 2).

 

Observa que la intersección en y siempre ocurre cuando x = 0, y la intersección en x siempre ocurre cuando y = 0.

 

Para encontrar las intersecciones en x y y de una ecuación lineal, puedes sustituir 0 para y y para x respectivamente.

 

Por ejemplo, la ecuación lineal 3y + 2x = 6 tiene una intersección en x cuando y = 0, entonces 3(0) + 2x = 6.

   2x = 6

     x = 3

 

La intersección en x es (3, 0).

 

De la misma manera, la intersección en y ocurre cuando x = 0.

            3y + 2(0) = 6

                   3y     = 6

                         y = 2

 

La intersección en y es (0, 2).

 

 

 

¿Cuál es la intersección en y de la línea con la ecuación y = 5x – 4?   A)   B) (−4, 0)   C) (0, −4)   D) (5, −4)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto.es la intersección en x. En la intersección en y, x = 0. Cuando sustituyes 0 por x en la ecuación, y = −4. La respuesta correcta es (0, −4).   B) (−4, 0) Incorrecto. Esta respuesta cambia los valores de x y y. Las coordenadas se dan en el orden (x, y). En la intersección en y, x = 0. Cuando sustituyes 0 por x en la ecuación, y = −4. La respuesta correcta es (0, −4).   C) (0, −4) Correcto. En la intersección en y, x = 0. Cuando sustituyes 0 por x en la ecuación, y = −4.   D) (5, −4) Incorrecto. Este es el coeficiente de x y la constante, no la intersección en y. En la intersección en y, x = 0. Cuando sustituyes 0 por x en la ecuación, y = −4. La respuesta correcta es (0, −4).

 

 

 

Puedes usar intersecciones para graficar ecuaciones lineales. Una vez que has encontrado las dos intersecciones, dibuja una línea a través de ellas.

 

Hagámoslo con la ecuación 3y + 2x = 6. Ya sabemos que las intersecciones de la línea que representa a esta ecuación son (0, 2) y (3, 0). Eso es todo lo que necesitas saber.

 

 

 

 

 

 

Hasta ahora, has considerado las siguientes ideas sobre líneas: una línea es una representación visual de una ecuación lineal y la línea misma está hecha de un número infinito de puntos (pares ordenados). La imagen siguiente muestra la línea de la ecuación lineal y = 2x – 5 con algunos puntos específicos en la línea.

 

 

Cada punto en la línea es una solución de la ecuación y = 2x – 5. Puedes probar cualquiera de los puntos que están etiquetados por ejemplo el par ordenado, (1, −3).

 

            y = 2x – 5

            −3 = 2(1) – 5

            −3 = 2 – 5

            −3 = −3                       Esto es válido.

 

También puedes intentar con CUALQUIERA de los otros puntos en la línea. Cada punto en la línea es una solución de la ecuación y = 2x – 5. Esto significa que es fácil determinar si un par ordenado es solución de una ecuación. Si el par ordenado está en la línea creada por la ecuación lineal, entonces es una solución de la ecuación. Pero si el par ordenado no está en la línea — no importa qué tan cerca aparezca — entonces no es una solución de la ecuación.

 

Identificando Soluciones   Para saber si un par ordenado es una solución de una ecuación lineal, puedes hacer lo siguiente: o        Graficar la ecuación lineal, y graficar el par ordenado. Si el par ordenado aparenta estar en la línea graficada, entonces es una posible solución de la ecuación lineal. Si el par ordenado no está en la línea graficada, entonces no es una solución. o        Sustituye los valores (x, y) en la ecuación. Si la ecuación da un enunciado válido, entonces el par ordenado es una solución de la ecuación lineal. Si el par ordenado no resulta en un enunciado válido entonces no es una solución.

 

 

 

 

 

Las ecuaciones lineales pueden usarse para modelar problemas del mundo cotidiano, como cuánto dinero ganas en cierto tiempo, o la distancia que recorre un ciclista dado un ritmo constante de pedaleo. Graficar estas relaciones en un plano de coordenadas puede ayudar a pensar (y encontrar soluciones) en el problema.

 

Considera este problema.

 

Eilene maneja 20 millas desde su casa a la estación del tren, y luego aborda un tren directo a New York. El tren viaja a 55 millas por hora durante todo el viaje. Después de 2 hora en el tren, ¿qué tan lejos está ella de su casa? ¿Después de cuántas horas en el tren estará Eilene a 300 millas de su casa?

 

Sea x = el tiempo (en horas) que Eilene viaja en el tren.

Sabes que la velocidad del tren es de 55 mph.

Entonces, la distancia en el tren es d = rt, o 55x

Ella ya viajó 20 millas, entonces su distancia total es 55x + 20.

Sea y la distancia total, entonces y = 55x + 20.

 

Sustituyendo algunos valores de x, puedes encontrar los valores correspondientes de y.

 

 

Una vez que has calculado algunos pares ordenados, puedes usar una gráfica para modelar la situación. (Observa que esta grafica no pasa por el origen — ¡cuando Eilene aborda el tren, ella ya está a 20 millas de su casa porque vive a 20 millas de la estación!)

 

También, mantén la gráfica en el Cuadrante I, ya que estás limitado a distancias y tiempos positivos.

 

 

La primera parte de la pregunta puede resolverse observando la tabla de valores o la gráfica. Cuando x = 2, y = 130; esto significa que Eilene viajará 130 millas de su casa después de 2 hora en el tren.

 

Ahora piensa en la segunda pregunta: ¿después de cuántas horas en el tren Eilene estará a 300 millas del su casa? Busca el valor de la coordenada x cuando y = 300. Es un poco más de 5, entonces ella estará a 300 millas de su casa después de 5 horas (¡y algunos minutos!). Problema resuelto.

 

Aquí hay otro problema.

 

Morgan quiere comprar una laptop de $1,080 para la escuela. Morgan va a usar el plan de compra de la tienda — ella pagará $45 al mes durante 24 meses. Quiere saber cuánto le deberá a la tienda en cada mes del plan.

 

Morgan puede hacer un seguimiento de su deuda con una gráfica. El eje x será el número de meses y el eje y representará la cantidad de dinero que todavía le debe a la tienda.

 

Morgan conoce dos puntos en su plan de pago: el día en el que compra la computadora ella estará a 0 meses y deberá $1,080, y el día en que termine de pagar, estará a 24 meses y deberá $0. Con estos puntos, Morgan puede dibujar una línea que vaya desde la intersección en y en (0, 1080) hasta la intersección en x en (24, 0).

 

 

Morgan puede usar su gráfica para saber cuándo dinero deberá después de cierto número de meses. Por ejemplo, a los 6 meses, parece que Morgan deberá $800. (Y si calcula de manera precisa, encontrará que quedan $810 en su balance.)

 

 

Cuando graficamos en un plano de coordenadas, una relación lineal será una línea. Ejemplos de relaciones lineales son ecuaciones lineales como y = x + 3, 2x – 5y = 8, y x = 4. Para graficar una ecuación, puedes encontrar conjuntos de pares ordenados para graficar sustituyendo números por una variable y encontrando la otra. Usualmente es más fácil encontrar los pares ordenados si primero despejas y, o si no hay y en la ecuación entonces despejas x. También puedes graficar la ecuación usando las intersecciones en x y y para encontrar dos puntos en la gráfica. En cualquiera de las dos maneras, dibujas una línea para indicar que todos los puntos en la línea son pares ordenados que satisfacen la ecuación lineal. Si bien dos puntos determinan una línea, siempre es buena idea comprobar por lo menos otro punto.