Resolviendo Ecuaciones de Un Paso Usando las Propiedades de la Igualdad

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad aditiva de la igualdad.

·         Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad multiplicativa de la igualdad.

 

Introducción

 

Escribir y resolver ecuaciones es una parte importante de las matemáticas. Las ecuaciones algebraicas pueden ayudarte a modelar situaciones y resolver problemas en donde hay cantidades desconocidas. El tipo más simple de ecuación algebraica es la ecuación lineal que tiene sólo una variable.

 

Expresiones y Ecuaciones

 

Una ecuación es un enunciado matemático donde dos expresiones son iguales. Una ecuación siempre tendrá el signo de igual con una expresión a cada lado. Las expresiones están hechas de términos, y el número de términos en cada expresión en una ecuación puede variar.

 

Las ecuaciones algebraicas contienen variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables normalmente se representan con letras, como x, y, o z. Algunas veces una variable se multiplica por un número. A este número se le conoce como el coeficiente de una variable. Por ejemplo, el coeficiente de 3x es 3.

 

 

Usando la Propiedad Aditiva de la Igualdad

 

Una propiedad importante de las ecuaciones es una que dice que puedes sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación y la ecuación mantiene su equivalencia. Algunas veces las personas se refieren a esto como mantener la ecuación “balanceada”. Si imaginas una ecuación como una balanza, las cantidades en cada lado de la ecuación son iguales, o están balanceadas.

 

Veamos una ecuación numérica simple, 3 + 7 =10, para explorar la idea de que una ecuación balanceada.

 

 

Las expresiones en cada lado del signo igual son iguales, por lo que puedes añadir el mismo valor a cada lado y mantener la igualdad. Veamos qué pasa cuando añadimos 5 a cada lado.

 

3 + 7 + 5 = 10 + 5

 

Como cada expresión es igual a 15, puedes ver que añadir 5 a cada lado de la ecuación original resulta en una ecuación válida. La ecuación sigue “balanceada.”

 

Por otro lado, veamos lo que pasa cuando añadimos 5 a sólo un lado de la ecuación.

3 + 7 = 10

3 + 7 + 5 = 10

15 10

 

Sumar 5 a sólo un lado de la ecuación resulta en una ecuación falsa. ¡La ecuación ya no está “balanceada”, y ya no es válida!

 

 

Propiedad Aditiva de la Igualdad

 

Para todos los números reales a, b, y c: Si a = b, entonces a + c = b + c.

 

Si dos expresiones son iguales una con otra, y sumas el mismo valor a ambos lados de la ecuación, la ecuación permanece igual.

 

 

Cuando resuelves una ecuación, encuentras el valor de la variable que hace válida la ecuación. Para resolver una ecuación, puedes despejar la variable. Despejar la variable significa reescribir una ecuación equivalente en la que la variable está a un lado de la ecuación y todo lo demás está al otro lado de la ecuación.

 

Cuando la ecuación contiene una suma o una resta, usas la operación inversa para “deshacer” la operación para despejar la variable. Para la suma y la resta, la meta es volver 0 cualquier valor que se suma o se resta, 0 es la identidad aditiva.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x – 6 = 8.

 

 

Esta ecuación significa que si tienes un número desconocido x, y le restas 6, te resultará un 8. Estás tratando de averiguar el valor de la variable x.

 

Usando la Propiedad Aditiva de la Igualdad, suma 6 a cada lado de la ecuación para despejar la variable. Sumas 6, porque se está restando 6 de la variable.

Respuesta

x = 14

 

 

 

Como la resta puede escribirse como una suma (sumando el opuesto), la propiedad aditiva de la igualdad puede usarse en la resta también. Entonces, así como puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuación sin cambiar su validez, también puedes restar el mismo valor a cada lado de la ecuación.

 

Ejemplo

Problema

Resolver x + 7 = 42.

 

 

Como 7 está siendo sumado a la variable, restamos 7 para despejar la variable.

 

Para mantener la ecuación balanceada, resta 7 a ambos lados de la ecuación.

Respuesta

x = 35

 

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resolver 12.5 + x = -7.5.

 

12.5 + x = -7.5

Como 12.5 está siendo sumado a la variable, restamos 12.5 para despejar la variable.

 

 12.5 + x = -7.5

    12.5       −12.5

       0 + x = - 20

Para mantener la ecuación balanceada, resta 12.5 a ambos lados de la ecuación.

Respuesta

x = -20

 

 

 

A los ejemplos anteriores a veces se les llama ecuaciones de un paso porque requieren sólo un paso para resolverlas. En estos ejemplos, sumas o restar una constante de ambos lados de la ecuación para despejar la variable y resolver la ecuación.

 

 

¿Qué harías para despejar la variable en la siguiente ecuación, usando sólo un paso?

x + 10 = 65

 

A) Sumar 10 a ambos lados de la ecuación.

B) Restar 10 del lado izquierdo de la ecuación.

C) Sumar 65 a ambos lados de la ecuación.

D) Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) Sumar 10 a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Sumar 10 a ambos lados de la ecuación resulta en la ecuación equivalente, x + 20 = 65 + 10, pero este paso no despeja la variable. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

 

B) Restar 10 del lado izquierdo de la ecuación.

Incorrecto. Restar 10 al lado izquierdo de la ecuación despeja la variable, pero restar 10 de un solo lado de una ecuación no mantiene la ecuación balanceada. De acuerdo a las propiedades de la igualdad, debes realizar exactamente la misma operación a cada lado de la ecuación, por lo que debes restar 10 de 65 para mantener la ecuación balanceada. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

 

C) Sumar 65 a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Este paso no despeja la variable. Sólo te dará una ecuación equivalente. x + 10 + 65 = 65 + 65. La respuesta correcta es: Restar 10 de ambos lados de la ecuación.

 

D) Restar 10 del ambos lados de la ecuación.

Correcto. Restar 10 a ambos lados de la ecuación resulta en una ecuación equivalente con la variable despejada y da la solución: x + 10 – 10 = 65 – 10, entonces x = 55.

 

 

 

Pregunta Avanzada

¿Qué harías para despejar la variable en la siguiente ecuación, usando sólo un paso?

 

A) Restar  de ambos lados de la ecuación.

B) Sumar  a ambos lados de la ecuación.

C) Restar  de ambos lados de la ecuación.

D) Sumar  a ambos lados de la ecuación.

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) Restar  de ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Restar  de ambos lados de la ecuación te da la ecuación, , que es lo mismo que . Sin embargo, este paso no despeja la variable. La respuesta correcta es: Sumar  a ambos lados de la ecuación.

 

B) Sumar a ambos lados de la ecuación.

Correcto. Sumar  a ambos lados de la ecuación resulta una ecuación equivalente y despeja la variable: , entonces .

 

C) Restar  de ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Restar  de ambos lados de la ecuación resulta en la ecuación equivalente , que puede reescribirse como , pero este paso no despeja la variable. La respuesta correcta es: Sumar  a ambos lados de la ecuación.

 

D) Sumar  a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Sumar  a ambos lados de la ecuación resulta en la ecuación equivalente , que puede reescribirse como , o  pero este paso no despeja la variable. La respuesta correcta es: Sumar  a ambos lados de la ecuación.

 

 

 

Con cualquier ecuación, puedes comprobar tu solución sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original. En otras palabras, evalúas la ecuación original usando tu solución. Si obtienes un enunciado válido, entonces tu solución es correcta.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x + 10 = 65. Comprobar la solución.

Como 10 está siendo sumado a la variable, resta 10 de ambos lados. Nota que restar 10 es lo mismo que sumar 10.

Comprobar:

Para comprobar, sustituye la solución, 75 por x en la ecuación original.

Simplifica. Esta ecuación es válida, por lo que la solución es correcta.

Respuesta

x = –75 es la solución de la ecuación x + 10 = 65.

 

 

Siempre es buena idea comprobar tu resultado, ya sea que se te pida o no.

 

Usando la Propiedad Multiplicativa de la Igualdad

 

De la misma manera que puedes sumar o restar exactamente la misma cantidad a ambos lados de la ecuación, también puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad para escribir una ecuación equivalente. Veamos una ecuación numérica, 5 • 3 = 15, para empezar. Si multiplicas ambos lados de esta ecuación por 2, seguirás teniendo una ecuación válida.

 

      5 • 3 = 15

5 • 3 • 2  = 15 • 2

          30 = 30

 

Esta característica de las ecuaciones se generaliza en la propiedad multiplicativa de la igualdad.

 

 

Propiedad Multiplicativa de la Igualdad

 

Para todos los números reales a, b, y c: Si a = b, entonces ac = bc (o ab = ac).

 

Si dos expresiones son iguales una con otra, y multiplicas el mismo valor a ambos lados de la ecuación, la ecuación resultante también será equivalente.

 

 

Cuando la ecuación implica una multiplicación o una división, puedes “deshacer” estas operaciones usando la operación inversa para despejar la variable. Cuando la operación es una multiplicación o una división, tu objetivo es cambiar el coeficiente a 1, la identidad multiplicativa.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver 3x = 24. Comprobar la solución.

Divide ambos lados de la ecuación entre 3 para despejar la variable (tener un coeficiente de 1). 

 

Dividir entre 3 es lo mismo que multiplicar por.

 

Comprobar

 

Comprueba sustituyendo tu solución, 8, por la variable en la ecuación original.

¡La solución es correcta!

Respuesta

 

 

 

También puedes multiplicar el coeficiente por el inverso multiplicativo (recíproco) para cambiar el coeficiente a 1.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver . Comprobar la solución.

El coeficiente de  es . Como el inverso multiplicativo de  es 2, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para obtener un coeficiente de 1 para la variable.

 

Multiplica.

Comprobar

Comprueba sustituyendo tu solución por la variable en la ecuación original.

 

 

 

 

¡La solución es correcta!

Respuesta

x = 16

 

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver . Comprobar la solución.

 

El coeficiente de la variable es . Multiplica ambos lados por el inverso multiplicativo de , que es −4.

 

 

Multiplica.

 

 

Cualquier número multiplicado por su inverso multiplicativo es igual a 1, entonces x = −8.

Comprobar

Comprueba sustituyendo tu solución por la variable en la ecuación original.

 

 

 

La solución es correcta.

Respuesta

                           x = 8

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resolver . Comprobar la solución.

Este problema contiene dos fracciones. Multiplica ambos lados por 10 para despejar la variable x. Luego simplifica las fracciones.

Comprobar

Comprueba tu respuesta sustituyendo  por x.

 

 

 

 

 

 

La solución es correcta.

Respuesta

 

 

 

 

Resolver x: 5x = 100

 

A) x = 20

B) x = −20

C) x = 500

D) x = −500

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) x = 20

Incorrecto. Para despejar la variable, puedes dividir ambos lados entre 5, porque cualquier número dividido entre sí mismo es 1. La respuesta correcta es −20.

 

B) x = −20

Correcto. Si divides ambos lados entre 5, encuentras que x = 20. Para comprobar tu respuesta, puedes sustituir 20 por x en la ecuación original para obtener el enunciado válido: 5(20) = 100.

 

C) x = 500

Incorrecto. Probablemente multiplicaste ambos lados por 5. Para despejar la variable, recuerda que debes dividir, no multiplicar, ambos lados entre 5, porque cualquier número dividido entre sí mismo es 1. La respuesta correcta es −20.

 

D) x = −500

Incorrecto. Probablemente multiplicaste ambos lados por 5. Para despejar la variable, recuerda que debes dividir, no multiplicar, ambos lados entre 5, porque cualquier número dividido entre sí mismo es 1. La respuesta correcta es −20.

 

 

 

Pregunta Avanzada

Resolver y: 4.2 = 7y

 

A) y = 0.6

B) y = 29.4

C) y = 1.67

D) y = -2.8

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) y = 0.6

Correcto Para despejar la variable y en el lado derecho de la ecuación, tienes que dividir ambos lados entre 7. , entonces y = 0.6.

 

B) y = 29.4

Incorrecto. Parece que multiplicaste 4.2 • 7 para obtener 29.4. Recuerda que si multiplicas el lado izquierdo por 7, también debes multiplicar el lado derecho por 7; ¡esto no despeja la variable! La respuesta correcta es: y = 0.6.

 

C) y = 1.67

Incorrecto. Parece que dividiste 7 entre 4.2 para obtener 1.67. Sin embargo, ¡dividir ambos lados entre 4.2 no despeja la variable!: y = 0.6.

 

D) y = -2.8

Incorrecto. Parece que restaste 7 de 4.2 para obtener -2.8. Recuerda que la expresión 7y significa “7 veces y.” Para despejar la variable, necesitas usar el inverso de la multiplicación, no de la resta. La respuesta correcta es: y = 0.6.

 

 

 

Sumario

 

Las ecuaciones son enunciados matemáticos que combinan dos expresiones de igual valor. Una ecuación algebraica puede resolverse despejando la variable a un lado de la ecuación usando las propiedades de la igualdad. Para comprobar la solución de la ecuación algebraica, sustituye el valor de la variable en la ecuación original.