Propiedades Asociativa, Conmutativa, y Distributiva

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Identificar y usar las propiedades conmutativas de la suma y la multiplicación.

·         Identificar y usar las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación.

·         Identificar y usar la propiedad distributiva.

 

Introducción

 

Hay muchas veces que en el álgebra necesitas simplificar una expresión. Las propiedades de los números reales proveen herramientas para ayudarte a tomar una expresión complicada y simplificarla.

 

Las propiedades asociativa, conmutativa, y distributiva del álgebra son propiedades que se usan comúnmente para simplificar expresiones algebraicas. Querrás tener un buen entendimiento de estas propiedades para hacer problemas algebraicos más fáciles de resolver.

 

La Propiedad Conmutativa de la Suma y de la Multiplicación

 

Te encontrarás con rutinas diarias cuyo orden puede ser intercambiado sin modificar el resultado. Por ejemplo, piensa en servir una taza de café en la mañana. Tendrás la misma taza de café sin importar en qué orden añades los ingredientes:

 

·         Servir 12 onzas de café en una taza, luego añadir leche.

·         Añadir leche en una taza, luego añadir 12 onzas de café.

 

El orden en el que añades los ingredientes no importa. De la misma manera, no importa si te pones primero el zapato izquierdo o si te pones primero el zapato derecho para ir a trabajar. Siempre y cuando traigas puestos los dos zapatos al salir de tu casa, ¡todo saldrá bien!

 

En las matemáticas, decimos que estas situaciones son conmutativas — el resultado será el mismo (el café se prepara a tu gusto; sales de tu casa con ambos zapatos puestos) sin importar el orden en el que se realizan las tareas.

 

Igualmente, la propiedad conmutativa de la suma dice que cuando dos números son sumados, el orden puede ser cambiado sin afectar el resultado. Por ejemplo, 30 + 25 da el mismo resultado que 25 + 30.

 

30 + 25 = 55

25 + 30 = 55

 

La multiplicación se comporta de la misma forma. La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que cuando dos números se multiplican, su orden puede cambiar sin afectar el resultado. Por ejemplo, 7 · 12 tiene el mismo producto que 12 · 7.

 

7 · 12 = 84

12 · 7 = 84

 

Estas propiedades se aplican a todos los número reales. Echemos un vistazo a algunos ejemplos de suma.

 

 

Ecuación Original

Ecuación reescrita

1.2 + 3.8 = 5

3.8 + 1.2 = 5

14 + (−10) = 4

(−10) + 14 = 4

(−5.2) + (−3.6) = −8.8

(−3.6) + (−5.2) = −8.8

 

 

Propiedad Conmutativa de la Suma

 

Para cualesquiera números reales a y b, a + b = b + a.

 

La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 − 7 no tiene la misma diferencia que 7 − 4. Aquí, el signo − significa resta.

 

Sin embargo, recuerda que 4 − 7 puede reescribirse como 4 + (7), porque restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Aplicando la propiedad conmutativa de la suma, puedes decir que 4 + (7) es lo mismo que (7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy distinta a 7 – 4.

 

 

Ahora veamos algunos ejemplos de multiplicación.

 

Ecuación Original

Ecuación Reescrita

4.5 · 2 = 9

2 · 4.5 = 9

(−5) · 3 = -15

3 · (−5) = -15

 

 

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

 

Para cualesquiera números reales a y b, a · b = b · a.

 

 

El orden no importa siempre y cuando las dos cantidades se multipliquen. Esta propiedad funciona para números reales y para variables que representen números reales.

 

De la misma forma que la resta, la división tampoco es conmutativa. 4 ÷ 2 no tiene el mismo cociente que 2 ÷ 4.

 

 

Ejemplo

Problema

Reescribe la expresión (15.5) + 35.5 de una manera distinta, usando la propiedad conmutativa de la suma, y muestra que ambas expresiones dan el mismo resultado.

 

(15.5) + 35.5 = 20  

 

 

35.5 + (15.5)  

 

 

35.5 + (15.5)  

 

35.5 – 15.5 = 20  

 

 

Sumando.

 

Usando la propiedad conmutativa, puedes cambiar el 15.5 y el 35.5 para que queden en orden distinto.

 

Sumar 35.5 y 15.5 es lo mismo que restar 15.5 de 35.5. La suma es 20.

 

Respuesta        (15.5) + 35.5 = 20 y 35.5 + (15.5) = 20

 

 

Reescribe 52 • y de una manera distinta, usando la propiedad conmutativa de la multiplicación. Ten en cuenta que y representa un número real.

 

A) 5y • 2

 

B) 52y

 

C) 26 • 2 • y

 

D) y • 52

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 5y • 2

Incorrecto. No puedes cambiar un dígito de 52 y pegarlo a la variable y. La respuesta correcta es y • 52.

 

B) 52y

Incorrecto. Esta es otra manera de escribir 52 • y, pero no has usado la propiedad conmutativa. La respuesta correcta es y • 52.

 

C) 26 • 2 • y

Incorrecto. No necesitas factorizar 52 en 26 · 2. La respuesta correcta es y • 52.

 

D) y • 52

Correcto. El orden de los factores ha sido invertido.

 

 

 

Las Propiedades Asociativas de la Suma y de la Multiplicación

 

La propiedad asociativa de la suma dice que los números en una expresión aditiva pueden agruparse de distinta manera sin cambiar la suma. Puedes recordar el significado de la propiedad asociativa recordando que cuando te asocias con familiares, amigos, y compañeros, formas grupos con ellos.

 

Abajo hay dos maneras de simplificar el mismo problema de suma. En el primer ejemplo, el 4 se agrupa con el 5, y 4 + 5 = 9.

 

4 + 5 + 6 = 9 + 6 = 15

 

Aquí, en el mismo problema, primero se agrupan el 5 y el 6, 5 + 6 = 11.

 

4 + 5 + 6 = 4 + 11 = 15

 

En ambos casos, la suma es la misma. Esto ilustra que cambiar el agrupamiento de números que se suman resulta en el mismo número.

 

Los matemáticos normalmente usan paréntesis para indicar qué operación debe realizarse primero en una ecuación algebraica. Los problemas de suma de arriba se reescriben, esta vez usando paréntesis para indicar su agrupamiento asociativo.

 

(4 + 5) + 6 = 9 + 6 = 15

 

4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15

 

Es claro que los paréntesis no afectan la suma; la suma sigue siendo la misma a pesar de que se han incluido paréntesis.

 

Propiedad Asociativa de la Suma

 

Para cualesquiera números reales a, b, y c, (a + b) + c = a + (b + c).

 

 

El ejemplo de abajo muestra cómo se aplica la propiedad asociativa para simplificar expresiones con números reales.

 

 

Ejemplo

Problema

 

Reescribe 7 + 2 + 8.5 – 3.5 de una manera distinta, usando la propiedad asociativa de la suma, y muestra que ambas expresiones dan el mismo resultado.

7 + 2 + 8.5 – 3.5

 

7 + 2 + 8.5 + (−3.5)

 

La propiedad asociativa no aplica a las expresiones de resta. Entonces, reescribe la expresión como la suma de un número negativo.

(7 + 2) + 8.5 + (−3.5)

  9   + 8.5 + (−3.5)

      17.5 + (−3.5)

      17.5 – 3.5 = 14

 

 

 

Agrupa 7 y 2, y súmalos. Luego, súmales 8.5. Finalmente, suma 3.5, que es lo mismo que restar 3.5.

Resta 3.5. La suma es 14.

7 + 2 + (8.5 + (−3.5))

7 + 2 +     5

  9  +     5

14

 

Agrupa 8.5 y –3.5, y luego súmalos para obtener 5. Luego suma 7 y 2, y súmalos al 5.

 

La suma es 14.

Respuesta    (7 + 2) + 8.5 – 3.5 = 14 y 7 + 2 + (8.5 + (−3.5)) = 14

 

 

La multiplicación tiene una propiedad asociativa que funciona exactamente igual que la de la suma. La propiedad asociativa de la multiplicación dice que los números en una expresión de multiplicación pueden reagruparse usando paréntesis. Por ejemplo, la expresión siguiente puede ser reescrita de dos maneras distintas usando la propiedad asociativa.

Expresión original:

 

Expresión 1:

 

Expresión 2:

 

el paréntesis no afecta el producto, el producto es el mismo sin importar en dónde están los paréntesis.

 

Propiedad Asociativa de la Multiplicación

 

Para cualesquiera números reales a, b, y c, (ab) • c = a • (bc).

 

 

 

 

Reescribe  usando la propiedad asociativa.

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Correcto. Aquí, los números están reagrupados. Ahora  y  están agrupados en paréntesis en lugar de  y 6.

 

B)

Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Cómo están agrupados es lo que debe cambiar. La respuesta correcta es .

 

C)  

Incorrecto. El orden de los números no cambia cuando reescribes la expresión usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Sólo cómo están agrupados es lo que debe cambiar. La respuesta correcta es.

 

D)  

Incorrecto. Multiplicar dentro de los paréntesis no es aplicar la propiedad. La respuesta correcta es .

 

 

 

Usando las Propiedades Asociativa y Conmutativa

 

Encontrarás que las propiedades asociativa y conmutativa son herramientas útiles en el álgebra, especialmente cuando tienes que evaluar expresiones. Usando las propiedades conmutativa y asociativa, puedes reordenar los términos en una expresión para que números compatibles queden uno junto al otro y agrupados. Los números compatibles son números que son fáciles de calcular, como 5 + 5, o 3 · 10, o 12 – 2, o 100 ÷ 20. (El criterio principal para números compatibles es que “funcionan bien” juntos.) Los dos ejemplos siguientes muestran cómo se hace.

 

 

Ejemplo

Problema

 

Evalúa la expresión 4 · (x · 27) cuando .

 

 

 

 

 

 

 

 

Expresión original.

 

Sustituir  por x.

 

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar los factores de tal forma que 4 y  queden juntos. Multiplicar 4 por  primero, hace que la expresión sea más fácil de evaluar, en lugar de multiplicar  por 27.

Multiplica. 4 veces  = −3, y −3 veces 27 es −81.

Respuesta     cuando .

 

 

Ejemplo

Problema

 

Simplifica: 4 + 12 + 3 + 4 – 8.

4 + 12 + 3 + 4 – 8

 

12 + 3 + 4 + 4 + (−8)

 

 

 

 

 

12 + 3 + (4 + 4 + (−8))

 

 

12 + 3 + 0

 

12 + 3 + 0 = 15

 

 

Expresión original.

 

Identifica los números compatibles. 4 + 4 es 8, y hay un −8. Recuerda que puedes pensar en el – 8 como + (−8). Usa la propiedad conmutativa de la suma para agruparlos juntos.

 

Usa la propiedad asociativa para agrupar 4 + 4 + (−8).

 

Suma 4 + 4 + (−8).

 

Suma el resto de los términos.

 

Respuesta       4 + 12 + 3 + 4 – 8 = 15

 

 

Simplifica la expresión: −5 + 25 – 15 + 2 + 8

 

A) 5

 

B) 15

 

C) 30

 

D) 55

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 5

Incorrecto. Cuando usas la propiedad conmutativa para reordenar sumandos, asegúrate de que los sumandos se lleven sus signos negativos. La respuesta correcta es 15.

 

B) 15

Correcto. Usa la propiedad conmutativa para reordenar la expresión de tal forma que los números compatibles queden uno junto al otro, y luego usa la propiedad asociativa para agruparlos.

 

C) 30

Incorrecto. Revisa tu suma y tu resta, y piensa en el orden en el que puedes sumar los números. Usa la propiedad conmutativa para reordenar la expresión de tal forma que los números compatibles queden uno junto al otro, y luego usa la propiedad asociativa para agruparlos. La respuesta correcta es 15.

 

D) 55

Incorrecto. Parece que has ignorado los signos negativos. Cuando usas la propiedad conmutativa para reordenar sumandos, asegúrate de que los sumandos se lleven sus signos negativos. La respuesta correcta es 15.

 

 

 

La Propiedad Distributiva

 

La propiedad distributiva de la multiplicación es una propiedad muy útil que nos permite reescribir expresiones en las que estás multiplicando un número por una suma o una resta. La propiedad dice que el producto de una suma o una resta como 6(5 – 2), es igual a la suma o resta de los productos, en este caso, 6(5) – 6(2).

 

                                    6(5 – 2) = 6(3) = 18

                                    6(5) – 6(2) = 30 – 12 = 18

 

La propiedad distributiva de la multiplicación puede usarse cuando multiplicas un número por una suma. Por ejemplo, supón que quieres multiplicar 3 por la suma de 10 + 2.

 

3(10 + 2) = ?

 

de acuerdo con esta propiedad, puedes sumar los número 10 y 12 primero y luego multiplicar por 3, como se muestra aquí: 3(10 + 2) = 3(12) = 36. de manera alternativa, puedes multiplicar cada sumando por tres (a esto se le llama distribuir el 3), y luego puedes sumar los productos. El proceso se muestra a continuación.

 

U01_L4_T2_text_image1.png

3 (10 + 2) = 3(12) = 36

 

3(10) + 3(2) = 30 + 6 = 36

 

Los productos son iguales.

 

Como la multiplicación es conmutativa, puedes usar la propiedad distributiva sin importar el orden de los factores.

 

U01_L4_T2_text_image2.png

 

Las Propiedades Distributivas

 

Para cualesquiera números reales a, b, y c:

 

La multiplicación se distribuye sobre la suma:      a(b + c) = ab + ac

La multiplicación se distribuye sobre la resta:       a(bc) = abac

 

 

 

 

Reescribe la expresión 10(9 – 6) usando la propiedad distributiva.

 

A) 10(6) – 10(9)

 

B) 10(3)

 

C) 10(6 – 9)

 

D) 10(9) – 10(6)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 10(6) – 10(9)

Incorrecto. Como la resta no es conmutativa, no puedes cambiar el orden. La respuesta correcta es 10(9) – 10(6).

 

B) 10(3)

Incorrecto. Esta es una manera correcta de calcular la respuesta. Pero se te pidió reescribir el problema usando la propiedad distributiva. La respuesta correcta es 10(9) – 10(6).

 

C) 10(6 – 9)

Incorrecto. Cambiaste el orden del 6 y del 9. Nota que la resta no es conmutativa y no usaste la propiedad distributiva. La respuesta correcta es 10(9) – 10(6).

 

D) 10(9) – 10(6)

Correcto. El 10 está correctamente distribuido de tal manera que se usa para multiplicar 9 y 6 separadamente.

 

 

 

Distribuyendo con Variables

 

Siempre y cuando las variables representen números reales, la propiedad distributiva puede usarse con ellas. La propiedad distributiva es importante en el álgebra, y muchas veces verás expresiones como esta: 3(x – 5). Si se te pide expandir la expresión, puedes aplicar la propiedad distributiva de la misma forma que lo harías con enteros.

 

3 (x – 5 ) = 3(x) – 3(5) = 3x – 15

 

Recuerda, cuando multiplicas un número por una variable, puede escribirlos uno junto al otro para expresar que se están multiplicando. Entonces, la expresión “tres veces la variable x” se puede escribir de varias formas: 3x, 3(x), o 3 · x.

 

 

Ejemplo

Problema

Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión 9(4 + x).

9(4 + x)

 

9(4) + 9(x)

 

36 + 9x

Expresión original.

 

Distribuye el 9 y multiplica.

 

Multiplica.

Respuesta   9(4 + x) = 36 + 9x

 

 

 

Ejemplo

Problema

Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión 5(2x – 3) cuando x = 2.

5(2x – 3) 

 

5(2x) – 5(3)

 

10x – 15

 

10(2) – 15

 

20 – 15 = 5

Expresión original.

 

Distribuye el 5.

 

Multiplica.

 

Sustituye 2 por x, y evalúa.

Respuesta   Cuando x = 2, 5(2x – 3) = 5.

 

 

 

En el ejemplo anterior, ¿qué crees que pasaría si sustituyes x = 2 antes de distribuir el ? ¿Obtendrías el mismo resultado de 5? El ejemplo siguiente muestra lo que pasaría.

 

 

Ejemplo

Problema

Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión 5(2x – 3) cuando x = 2.

5(2x – 3)

 

5(2(2) – 3)

 

5(4 – 3)

 

5(4) – 5(3)

 

20 – 15 = 5

Expresión original.

 

Sustituye 2 por x.

 

Multiplica.

 

Resta y evalúa.

Respuesta   Cuando x = 2, 5(2x – 3) = 5.

 

 

 

Combinando Términos Semejantes

 

La propiedad distributiva también puede ayudar a entender una idea fundamental en el álgebra: que cantidades como 3x y 12x pueden sumarse y restarse de la misma manera que los números 3 y 12. Veamos un ejemplo para ver cómo se hace esto.

 

 

Ejemplo

Problema

Suma: 3x + 12x.

3(x) + 12(x)

 

 

x(3 + 12)

 

 

 

x(15)

o

15x

3x es 3 veces x, y 12x es 12 veces x.

 

De estudiar la propiedad distributiva (y también usando la propiedad conmutativa, sabes que x(3 + 12) es lo mismo que 3(x) + 12(x).

 

 

Combina los términos dentro de los paréntesis:

3 + 12 = 15.

 

Respuesta   3x + 12x = 15x

 

 

 

¿Viste lo que pasó? Si penamos que x es una cantidad distribuida, puedes ver que 3x + 12x = 15x. (Si no estás seguro de ello, intenta sustituir cualquier número por x en la expresión... encontrarás que siempre es válido!)

 

Los grupos de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por la misma variable se llaman “términos semejantes”. La tabla siguiente muestra algunos grupos diferentes de términos semejantes:

 

Grupos de Términos Semejantes

3x, 7x, −8x, −0.5x

−1.1y, −4y, −8y

12t, 25t, 100t, 1t

4ab, −8ab, 2ab

 

Siempre que ves términos semejantes en una expresión algebraica o una ecuación, puedes sumarlos o restarlos como lo harías con números reales. Por ejemplo,

10y + 12y = 22y, y 8x – 3x – 2x = 3x.

 

Ten cuidado de no combinar términos que no tienen la misma variable: ¡4x + 2y no es 6xy!

 

 

Ejemplo

Problema

Simplifica: 10y + 5y + 9x – 6xx.

10y + 5y + 9x – 6xx

 

 

 

 

15y   +   2x

 

Hay términos semejantes en esta expresión, porque todos son un coeficiente multiplicado por una variable x o y. Observa que – x es lo mismo que (−1)x.

 

Suma los términos semejantes. 10y + 5y = 15y, y 9x – 6xx = 2x.

 

Respuesta      10y + 5y + 9x – 6xx = 15y + 2x

 

 

Simplifica: 12xx + 2x – 8x.

 

A) 23x

 

B) 5

 

C) 5x

 

D) x

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 23x

Incorrecto. Parece que sumaste todos los términos. Observa que −x y −8x son negativos. La respuesta correcta es 5x.

 

B) 5

Incorrecto. Combinaste los enteros correctamente, ¡pero recuerda incluir la variable también! La respuesta correcta es 5x.

 

C) 5x

Correcto. Cuando combinas los términos semejantes, resulta la suma de 5x.

 

D) x

Incorrecto. Parece que restaste de 12x todos los términos. Observa que −x y −8x son negativos, pero 2x es positivo. La respuesta correcta es 5x.

 

 

 

Sumario

 

Las propiedades conmutativa, asociativa, y distributiva nos ayudan a reescribir expresiones algebraicas complicadas a otras más fáciles de entender. Cuando reescribes una expresión usando la propiedad conmutativa, cambias el orden de los números que están siendo sumados o multiplicados. Cuando reescribes una expresión usando la propiedad asociativa, agrupas pares distintos de números usando paréntesis. Puedes usar las propiedades conmutativa y asociativa para reagrupar y ordenar cualquier número en una expresión siempre y cuando la expresión esté hecha enteramente de sumandos o factores (y no una combinación de ellos). La propiedad distributiva puede usarse para reescribir expresiones con varios propósitos. Cuando estás multiplicando un número por una suma, puedes sumar y luego multiplicar. También puedes multiplicar primero cada sumando y luego sumar los producto. Aplica el mismo principio si estás multiplicando un número por una diferencia.