Midiendo en Grados y Radianes

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Entender las medidas en radianes.

·         Convertir de grados a radianes.

·         Convertir de radianes a grados.

 

 

Sabes que hay diferentes unidades de medida para medir la misma cosa. Por ejemplo, la longitud se puede medir en pies y metros y la temperatura se puede medir en grados Centígrados y grados Fahrenheit. Normalmente usamos fórmulas para convertir entre distintas unidades de medida.

 

También hay dos maneras de medir ángulos. Sabes cómo medirlos en grados. Ahora aprenderás a medirlos en radianes y cómo convertir entre éstas unidades de medida. Mientras que los grados se usan en las actividades diarias como en la construcción y la topografía, la medida en radianes se usa para muchos cálculos, como la velocidad y distancia de los satélites alrededor de la Tierra — ¡incluyendo la Estación Espacial Internacional! Es importante poder medid ángulos en radianes así como en grados para poder convertir entre los dos sistemas.

 

 

 

Para poder definir los radianes, es necesario introducir el concepto de ángulo central. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo. En el círculo siguiente, el centro es el punto O, la longitud del radio es r, y  es el ángulo central.

 

 

Observa que  determina un arco  con longitud s. La medida en radianes del ángulo central, normalmente denotada por la letra Griega teta (), se define como la razón de la longitud del arco y la longitud del radio. Entonces la medida en radianes de  está dada por:

 

 

La longitud del arco, s, y el radio, r, deben tener las mismas unidades.

 

 

 

 

 

 

¿Cuál es la conexión entre grados y radianes? Veamos lo que pasa cuando el arco es todo el círculo:

 

 

La circunferencia del círculo está dada por . Esta es la longitud del arco de todo el círculo, o la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 360°. ¿Cuál es la medida en radianes de éste ángulo?

 

 

Un ángulo central de 360° tiene una medida en radianes de . Esto es:

 

 

Si divides ambos lados entre 2, obtendrás:

 

 

Usaremos esto para convertir de grados a radianes y vice versa.

 

Si bien los grados siempre se escriben con el símbolo (°), los radianes normalmente se escriben sin ningún símbolo o unidad. Entonces, por ejemplo,  significa la tangente de un ángulo que mide 3°, mientras que  significa la tangente de un ángulo que mide 3 radianes.

 

Asegúrate de usar las mismas unidades de medida para la longitud del radio r y la longitud del arco s. En el primer ejemplo, ambas estaban en pulgadas, en el segundo ejemplo, ambas estaban en centímetros. Cuando divides, esas unidades se cancelan, y te queda un número sin unidades.

 

 

 

 

Si tomas la definición de la medida en radianes, , y multiplicas ambos lados por r, obtienes la fórmula para la longitud del arco:

 

 

 

 

 

Hemos usado  y  para calcular la medida en radianes del ángulo central así como la longitud del arco. Pero también puedes usar la fórmula de la longitud del arco para encontrar la longitud del radio, como se ve en el siguiente ejemplo.

 

 

 

 

Un círculo tiene un radio de 8 pulgadas y un ángulo central AOB hace el arco AB de longitud 2 pies.   ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo AOB?   A) B) C) 3 D) 4   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente dividiste 2 entre 8. Necesitas convertir de pies a pulgadas para que tengas las mismas unidades. La respuesta correcta es 3.   B) Incorrecto. Probablemente convertiste correctamente ambas medidas a pulgadas, pero luego dividiste el radio entre la longitud del arco. Necesitas dividir la longitud del arco entre el radio. La respuesta correcta es 3.   C) 3 Correcto. La longitud del arco es 2 pies o 24 pulgadas. Divide esto entre el radio, 8 pulgadas, para obtener 3.   D) 4 Incorrecto. Probablemente dividiste 2 entre 8. Necesitas convertir de pies a pulgadas para que tengas las mismas unidades. También necesitas dividir la longitud del arco entre el radio. La respuesta correcta es 3.

 

 

 

Hemos visto que . Divide ambos lados de la ecuación entre 180. Obtienes:

 

 

Puedes usar esto para convertir la medida de un ángulo de grados a radianes. Por ejemplo, si quieres convertir 30° a radianes, puedes multiplicar ambos lados por 30:

 

 

Para decirlo de otra manera, multiplicas 30° por  para obtener .

Para convertir 60° a radianes, multiplicas 60° por  para obtener .

De manera similar, multiplica cualquier medida en grados por  para convertir a radianes.

 

 

 

 

Aquí hay una tabla con los ángulos que hemos convertido hasta ahora.

 

 

Aquí está la misma información con algunos ángulos adicionales, en formato gráfico:

 

 

El mismo procedimiento funciona para ángulos negativos. Recuerda que un ángulo negativo no es más que un ángulo que está orientado a favor de las manecillas del reloj cuando se dibuja en la posición estándar. Un número negativo de grados equivale a un número negativo de radianes.

 

 

¿Cuántos radianes hay en ?   A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Pudiste haber encontrado , pero luego redujiste incorrectamente. La respuesta correcta es D.   B) Incorrecto. Parece que dividiste entre 180. Necesitas multiplicar por . La respuesta correcta es D.   C) Incorrecto. Pudiste haber encontrado , pero cometiste un error al reducir. La respuesta correcta es D.   D) Correcto. Multiplica por  para obtener .

 

 

 

Supongamos que tienes ángulos medidos en radianes y quieres saber su medida en grados. El procedimiento es similar al de convertir grados a radianes.

 

Una vez más, sabes que . Divide ambos lados de la ecuación entre . Obtienes:

 

 

Si quieres convertir  radianes a grados, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por :

 

 

 

Para expresarlo de otra manera, multiplicamos  por para obtener 30°. De la misma manera, multiplica cualquier medida en radianes por  para convertir a grados.

 

 

 

 

Asegúrate de que la respuesta tenga el símbolo de grados. Una medida de ángulo escrita sin el símbolo de grados siempre se asume en radianes.

 

Aquí hay una tabla con las equivalencias de radianes y grados para algunos ángulos comunes.

 

 

 

 

 

Entonces 1 radián es poco menos que 60°, o un poco menos que un sexto de un círculo.

 

Puedes usar el mismo procedimiento para ángulos negativos.

 

 

¿Cuál es el equivalente en grados de  radianes escrito en términos simples?   A) 150° B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 150° Incorrecto. Probablemente multiplicaste bien por , pero no incluiste el signo negativo. La respuesta correcta es .   B) Correcto. Multiplica por  para obtener , y luego simplifica la fracción.   C) Incorrecto. Probablemente multiplicaste bien por , pero olvidaste simplificar. La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. Multiplicaste por  en lugar de . También, cuando escribes un ángulo en grados, debes usar el símbolo de grados, y ésta respuesta no lo tiene. La respuesta correcta es .

 

 

 

Los ángulos pueden medirse de dos maneras: con grados y con radianes. La medida en radianes de un ángulo central se define como la razón de la longitud del arco con la longitud del radio. Esta definición nos lleva a la fórmula de la longitud del arco: .

 

Los radianes y los grados están relacionados por . Si quieres convertir de grados a radianes, multiplica la medida en grados por . Si quieres convertir de radianes a grados, multiplica la medida en radianes por .