Trigonometría y Triángulos Rectángulos
Objetivos de Aprendizaje
· Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes desconocidas de los lados de un triángulo rectángulo.
· Encontrar las longitudes y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo.
· Encontrar los valores exactos de una función trigonométrica para ángulos que miden 30°, 45°, y 60°.
· Resolver problemas de aplicación usando trigonometría de triángulos rectángulos.
Introducción
Supongamos que debes construir una rampa y no sabes qué tan larga debe ser. Conoces ciertas medidas de ángulos y longitudes de lados, pero necesitas encontrar la información faltante.
Hay seis funciones trigonométricas que puedes usar para calcular lo que no conoces. Ahora aprenderás a usar dichas funciones para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos.
Hay varias formas de determinar la información desconocida en un triángulo rectángulo. Una de estas formas es el Teorema de Pitágoras, que dice 
.
Supongamos que tienes un triángulo rectángulo en el que a y b son las longitudes de sus catetos y c es la longitud de la hipotenusa, como se muestra abajo.
Si conoces la longitud de dos de los lados, entonces puedes usar el Teorema de Pitágoras () para calcular la longitud del tercer lado. Una vez que conoces todos los lados, puedes usar todas las funciones trigonométricas.
| Ejemplo | ||
| Problema
| Encontrar los valores de
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| Puedes inmediatamente calcular la tangente a partir de su definición y de la información en el diagrama. |
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| Para encontrar el valor de la secante, necesitarás la longitud de la hipotenusa. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa. |
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| Ahora calcula sec X usando la definición de secante. |
| Respuesta |
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| ¿Cuál es el valor de
A) B) C) D)
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Algunos problemas pueden proporcionar los valores de dos razones trigonométricas para un ángulo y pedirte que encuentres el valor de otras razones. Sin embargo, realmente sólo necesitas conocer el valor de una razón trigonométrica para encontrar el valor de cualquier otra razón trigonométrica para el mismo ángulo.
| Ejemplo | ||
| Problema | Para el ángulo agudo A, | |
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| Primero necesitas dibujar un triángulo rectángulo donde La tangente es la razón del lado opuesto y del lado adyacente. Se muestra el triángulo más simple que puedes usar que tenga esa razón. Tiene una longitud del lado opuesto de 2 y una longitud del lado adyacente de 5. Pudiste haber usado un triángulo cuyo lado opuesto mida 4 y lado adyacente mida 10. (Sólo necesitas la razón para reducir a
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| Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa. |
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| Luego usas la definición de coseno para encontrar cos A. |
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| Ahora usas el hecho de que sec A = 1/cos A para encontrar sec A. |
| Respuesta |
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. Encontrar los valores de 
).
| Ejemplo | ||
| Problema | Si el ángulo X es un ángulo agudo con | |
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| En éste triángulo rectángulo, ya que |
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| Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto desconocido. |
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| Puedes calcular la cotangente usando la definición.
O puedes encontrar la cotangente calculando primero la tangente y luego su recíproco. |
| Respuesta |
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, ¿cuál es el valor de 
, la razón del lado opuesto y la hipotenusa es 
. El triángulo más simple que podemos usar que tenga esa razón sería el triángulo que tiene una longitud del lado opuesto de 3 y una longitud de hipotenusa de 4.
A determinar todas las longitudes de los lados y medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo se le llama resolver el triángulo rectángulo. Veamos cómo hacer esto cuando se nos da la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Una vez que aprendas cómo resolver un triángulo rectángulo, podrás resolver muchos problemas del mundo real – como el problema de la rampa que vimos al inicio de la lección – y las únicas herramientas que necesitarás son las definiciones de las funciones trigonométricas, el Teorema de Pitágoras, y una calculadora.
| Ejemplo | ||
| Problema | Necesitas construir una rampa con las siguientes dimensiones. Resuelve el triángulo rectángulo mostrado a continuación. Usa las aproximaciones | |
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| Recuerda que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, lo que significa que suman 90°. Como |
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| Puedes usar la definición de la cosecante para encontrar c. Sustituye la medida del ángulo en el lado izquierdo de la ecuación y usa el triángulo para obtener la razón en la derecha. Al resolver la ecuación y redondear a la decena más cercana obtienes |
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| De manera similar, puedes usar la definición de la tangente y la medida del ángulo para encontrar b. Resolviendo la ecuación y redondeando a la decena más cercana obtienes |
| Respuesta |
| La rampa necesita medir 11.7 pies de largo.
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En el problema anterior, te proporcionaron los valores de las funciones trigonométricas. En el problema siguiente, necesitarás usar las teclas de las funciones trigonométricas de tu calculadora para encontrar los valores.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver el triángulo rectángulo mostrado. Redondea las longitudes a la decena más cercana. | |
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| Los ángulos agudos son complementarios, lo que significa que su suma es 90°. Como |
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| Puedes usar la definición de coseno para calcular x. Usa tu calculadora para encontrar el valor de |
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| Para encontrar y, puedes usar otra función trigonométrica (como el coseno) o puedes usar el Teorema de Pitágoras. Resolviendo la ecuación y redondeando a la decena más cercana, obtienes |
| Respuesta |
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Ahora conocemos los tres lados y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo.
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Algunas veces podrás recibir suficiente información sobre el triángulo rectángulo para resolverlo, pero esa información podría no incluir la medida de los ángulos agudos. En esta situación, necesitas usar la inversa de las funciones trigonométricas en tu calculadora para resolver el triángulo.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver el triángulo rectángulo mostrado a continuación, dado que | |
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| No te proporcionan ninguna medida de ángulo, pero puedes usar la definición de la cotangente para encontrar el valor de n. |
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| Usa la razón que se te da a la izquierda y la información del triángulo a la derecha. Multiplica y resuelve n. |
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| Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de p. |
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| Podemos usar el triángulo para encontrar el valor de la tangente y la tecla de la inversa de la tangente en tu calculadora para obtener el ángulo. Redondeando al grado más cercano, |
| Respuesta |
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Ahora conocemos los tres lados y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo. |
. Encontrar las longitudes exactas y los ángulos aproximados al grado más cercano.
| ¿Cuál es el valor de x a la decena más cercana?
A) 4.57 B) 1.97 C) 0.90 D) 0.22
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. Una manera correcta de preparar la ecuación es 
. La respuesta correcta es 1.97.
. La respuesta correcta es 1.97.
Como regla general, necesitas usar la calculadora para encontrar los valores de las funciones trigonométricas para cualquier medida particular. Sin embargo, ángulo que miden 30°, 45°, y 60° — que encontrarás en muchos problemas y aplicaciones — son especiales. Puedes encontrar los valores exactos de estas funciones sin una calculadora. Veamos cómo..
Supongamos que tienes un triángulo rectángulo con un ángulo agudo que mide 45°. Como los ángulos agudos son complementarios, el otro ángulo también debe medir 45°. Ya que los dos ángulos agudos son iguales, los catetos también deben tener la misma longitud, por ejemplo, 1 unidad.
Puedes determinar la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras.
Ahora tienes todos los lados y ángulos en el triángulo rectángulo.
Puedes usar éste triángulo (que a veces se llama triángulo 45° - 45° - 90°) para encontrar todas las funciones trigonométricas para 45°. Una manera de recordar éste triángulo es notar que la hipotenusa es 
veces la longitud de cualquiera de los catetos.
| Ejemplo | |||
| Problema | Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para 45° y racionalizar los denominadores si es necesario. | ||
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| Usa las definiciones de seno, coseno y tangente. Observa que debido a que los lados opuesto y adyacente son iguales, el seno y el coseno también lo son. | |
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| Usa las identidades recíprocas. Observa que debido a que los lados opuesto y adyacente son iguales, el seno y el coseno también lo son. | |
| Respuesta |
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Puedes construir otro triángulo que puedes usar para encontrar todas las funciones trigonométricas para 30° y 60°. Comienza con un triángulo equilátero con los lados iguales midiendo 2 unidades. Si divides el triángulo equilátero a la mitad, produces dos triángulos de con ángulos de 30°, 60° y 90°. Estos dos triángulos rectángulos son congruentes. Ambos tienen una hipotenusa de longitud 2 y una base de longitud 1.
Puedes determinar la altura usando el Teorema de Pitágoras.
Aquí vemos la mitad del triángulo equilátero dibujado horizontalmente.
Puedes usar este triángulo (que a veces se llama triángulo 30° - 60° - 90°) para encontrar todas las funciones trigonométricas para 30° y 60°. Observa que la hipotenusa es dos veces el cateto más corto que es opuesto al ángulo de 30°, de manera que 
. La longitud de cateto más largo que es opuesto al ángulo de 60° es 
veces la longitud del cateto más corto.
| Ejemplo | ||
| Problema | Encontrar los valores de | |
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| Usa las definiciones de seno, coseno y tangente. Para cada ángulo, asegúrate de usar los catetos que son opuestos y adyacentes a ese ángulo. Por ejemplo, |
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| Recuerda que la secante es el recíproco del coseno y que la cotangente es el recíproco de la tangente. Racionaliza los denominadores. |
| Respuesta |
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Puedes usar la información de los triángulos 30° - 60° - 90° y 45° - 45° - 90° para resolver triángulos similares sin usar una calculadora.
| Ejemplo | ||
| Problema | ¿Cuál es el valor de x en el triángulo siguiente? | |
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| Como ambos catetos miden lo mismo, los dos ángulos agudos deben ser iguales, por lo que miden 45° cada uno. |
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| En un triángulo 45° - 45° - 90°, la longitud de la hipotenusa es
Aquí vemos otra manera de resolver el problema. Puedes usar la definición de seno para encontrar x. |
| Respuesta |
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También pudiste haber usado el Teorema de Pitágoras para resolver el problema anterior, el cual habría producido la ecuación 
.
| Ejemplo | ||
| Problema | Resolver el triángulo rectángulo mostrado a continuación. | |
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| Los ángulos agudos son complementarios, entonces |
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| Como conocemos todas las medidas de los ángulos, ahora necesitamos encontrar las longitudes de los lados faltantes. Para encontrar c (la longitud de la hipotenusa), podemos usar la función seno porque sabemos que |
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| Para encontrar a (la longitud del lado opuesto al ángulo A), podemos usar la función de la tangente porque conocemos |
| Respuesta |
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Ahora conocemos todos los lados y todos los ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo. |
| Si
A) 2 B) C) D)
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, ¿cuál es el valor de 
. Entonces 
Hay situaciones en el mundo real, como la construcción de una rampa o un muelle de carga, en los que tienes un triángulo rectángulo y cierta información sobre sus lados y ángulos, y quieres encontrar las medidas desconocidas. Es aquí donde saber trigonometría te puede ayudar.
| Ejemplo | ||
| Problema | Ben y Emma salieron a volar una cometa. Emma puede ver que la cuerda de su cometa forma un ángulo de 70° con respecto a la tierra. La cometa está directamente sobre Ben, que está parado a 50 pies de distancia. ¿cuántos pies de cuerda ha soltado Emma? Redondear al pie más cercano. | |
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| Queremos encontrar la longitud de la cuerda que ha soltado. Es la hipotenusa del triángulo rectángulo mostrado. |
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| Como la distancia de 50 pies corresponde al lado adyacente al ángulo de 70° , puedes usar la función coseno para encontrar x. |
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| Resuelve la ecuación para x. Usa una calculadora para encontrar el valor numérico. La respuesta se redondea a 146. |
| Respuesta | Emma ha soltado aproximadamente 146 pies de cuerda. | |
En el ejemplo anterior, te dieron un lado y un ángulo agudo. En el siguiente, te dan dos lados y te piden encontrar un ángulo. Encontrar un ángulo normalmente consiste en usar las funciones trigonométricas inversas. La letra Griega teta, θ, se usa comúnmente para representar un ángulo desconocido. En este ejemplo, θ representa el ángulo de elevación.
| Ejemplo | ||
| Problema | Una rampa para sillas de ruedas se coloca sobre unas escaleras de manera que un extremo queda a 2 pies sobre el suelo. El otro extremo está en cierto punto y la distancia horizontal es de 28 pies, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el ángulo de elevación redondeado a la decena de grado más cercana?
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| El ángulo de elevación está marcado como |
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| Quieres encontrar la medida de un ángulo que te da cierto valor de tangente. Esto significa que necesitas encontrar la inversa de la tangente. Recuerda que debes usar las teclas 2ND y TAN en tu calculadora. Observa el lugar de las centenas para redondear a la decena más cercana. |
| Respuesta | El ángulo de elevación es de aproximadamente 4.1°. | |
Recuerda que los problemas que involucran triángulos con ciertos ángulos especiales pueden resolverse sin calculadora.
| Ejemplo | ||
| Problema | Se usa una cerca para formar un corral triangular con el lado más largo de 30 pies, como se muestra abajo. ¿Cuál es la medida exacta del lado opuesto al ángulo de 60°? | |
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| Llamemos x a la longitud desconocida. Como conoces la longitud de la hipotenusa, puedes usar la función seno. |
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| Este es un triángulo 30°- 60°- 90°. Entonces, puedes calcular el valor exacto del a función trigonométrica sin usar una calculadora. |
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| Resuelve la ecuación para x. |
| Respuesta | La longitud exacta del lado opuesto al ángulo de 60°es | |
Algunas veces el triángulo rectángulo puede ser parte de un sistema más grande.
| Una persona está sujeta a un poste telefónico a 3 pies debajo del extremo superior del poste, como se muestra abajo. La persona está enganchada a 14 pies del poste y forma un ángulo de 64° con el suelo. ¿Cuál es la altura a la que está la persona sujeta? Redondea la respuesta a la decena de pie más cercana.
A) B) C) D)
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, donde x representa la distancia vertical desde la base del poste hasta donde la persona está sujeta.
Sumario
Hay muchas maneras de encontrar los lados y los ángulos desconocidos en un triángulo rectángulo. Resolver el triángulo rectángulo puede lograrse usando las definiciones de las funciones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. A este proceso se le llama resolver el triángulo rectángulo. Ser capaz de resolver un triángulo rectángulo es útil para resolver una variedad de problemas reales como la construcción de una rampa para sillas de ruedas.
Puedes encontrar las cantidades exactas de las funciones trigonométricas para ángulos que midan 30°, 45°, y 60°. Puedes encontrar valores exactos para los lados de triángulo 30°, 45°, y 60° si recuerdas que 
y . Para otras medidas de ángulos, es necesario usar una calculadora para encontrar valores aproximados de las funciones trigonométricas.
