Identificar las Seis Funciones Trigonométricas

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Identificar la hipotenusa, el cateto adyacente y el cateto opuesto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

·         Determinar las seis funciones trigonométricas de un ángulo dado en un triángulo rectángulo.

·         Reconocer la relación recíproca entre seno/cosecante, coseno/secante, y tangente/cotangente.

·         Usar una calculadora para encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para cualquier ángulo agudo.

·         Usar una calculadora para encontrar la medida de un ángulo dado el valor de la función trigonométrica.

 

 

Supongamos que quieres construir una rampa de acceso para un muelle de carga que está a 4 pies por encima del nivel del suelo. Quieres que sea posible empujar un carro por la rampa, y que el ángulo de elevación no exceda los 20°. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?

 

 

En este diagrama, tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Queremos encontrar la longitud de la hipotenusa. Probablemente sepas que el Teorema de Pitágoras te permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, teniendo las longitudes de los otros dos lados. Ahora aprenderás trigonometría, que es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre ángulos y lados de triángulos. De hecho, la trigonometría te permitirá encontrar las longitudes desconocidas y las medidas de los ángulos en triángulos rectángulos en una variedad de casos, como el problema anterior.

 

 

 

En el ejemplo anterior, uno de los ángulos agudos mide 20°. Podrías describir el lado cuya medida es 4 pies como la altura del triángulo, o podrías decir que es el “opuesto” del ángulo de 20°. El otro lado del triángulo se llama “adyacente” al ángulo de 20°. En trigonometría, este tipo de relación entre lados y ángulos es muy importante. Estos dos lados de un triángulo rectángulo se llaman “catetos”, por lo que el lado opuesto se llama cateto opuesto y el lado adyacente se llama cateto adyacente.

 

La relación general entre lados y ángulos se muestra en el diagrama siguiente.

 

 

El ángulo A está formado por la hipotenusa y el cateto . Decimos que el cateto  es adyacente al ángulo A. Decimos que el cateto  es el lado opuesto al ángulo A. En otras palabras, el cateto adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.

 

 

 

 

Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo. Considera el siguiente ejemplo:

 

 

 

 

Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.

 

 

 

 

 

Supongamos que tu profesor les pide a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares.

 

Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales. Por ejemplo, un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.

 

 

Ahora supongamos que a cada uno de ustedes se le ha pedido encontrar la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa. Si bien estamos usando triángulos distintos y tendremos números distintos en el numerador y el denominador, nos dará el mismo resultado. Tú y tu amigo obtendrán:

 

 

Las dos razones son las mismas porque los 2s se cancelan. Si dibujas un triángulo con los mismos ángulos y con lados que son el triple de largos que los del triángulo T, la razón del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa será . Esta razón será la misma para cualquier triángulo similar y se llama seno de 35°. El seno se abrevia como .

 

El mismo tipo de resultado se obtiene si usas otras razones de los lados. Por ejemplo, si tomas la razón del lado adyacente al ángulo de 35° y la hipotenusa, obtendrás  sin importar qué triángulo de los anteriores utilices.

 

Además de la razón del seno, hay otras 5 razones o funciones que puedes calcular: cos, tan, cot, sec, y csc. Así como sen es la abreviatura para seno, cos es la de coseno, tan la de tangente, csc la de cosecante, sec la de secante, y cot la de cotangente. (Cuando decimos estas abreviaciones debemos pronunciar la palabra completa.) Estas seis funciones te ayudarán a encontrar la longitud de los lados desconocidos y también la medida de los ángulos. Veamos las definiciones de las seis funciones, empezando con un triángulo rectángulo típico como el que se muestra a continuación.

 

 

Las definiciones son las siguientes:

 

                  

 

Dadas las definiciones, podemos practicar su aplicación.

 

 

 

 

Observa que los valores de seno y coseno están entre 0 y 1. Los calculaste dividiendo la longitud de un cateto y la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo, por lo que el numerador es menor que el denominador. Esto significa que el resultado de las funciones seno y coseno son siempre menores que 1.

 

Ten en cuenta que el lado opuesto para uno de los ángulos agudos es el lado adyacente del otro ángulo agudo. En el ejemplo anterior, el lado EF fue el cateto opuesto para el ángulo D. Pero, como podrás ver en el siguiente ejemplo, será el cateto adyacente para el ángulo E.

 

 

 

 

Si comparas las respuestas de los últimos dos ejemplos, verás lo siguiente:

Estas dos funciones trigonométricas son iguales porque el lado opuesto al ángulo D (que es 4) es el lado adyacente al ángulo E. Ya que ambos ángulos son agudos, D y E son complementarios. Esto es:

 

 

Sustituyendo esto en la ecuación anterior:

 

 

De nuevo, la razón por la que las dos funciones son iguales es que el lado opuesto de uno de los ángulos agudos es el lado adyacente del otro ángulo agudo. Esto sucede en todos los triángulos rectángulos. Entonces si A es cualquier ángulo agudo, siempre sucede que:

 

 

Comparando más respuestas de los dos últimos ejemplos, podemos encontrar estas relaciones:

 

 y

 

Obtienes estas igualdades porque (1) el lado adyacente al ángulo D es 3, y también es el lado opuesto al ángulo E, y (2) el lado opuesto al ángulo D es 4, y también es el lado adyacente al ángulo E. Estos son ejemplos de la relación general que hemos descrito: el lado opuesto de un ángulo agudo es el lado adyacente del otro ángulo agudo. Usando el mismo razonamiento, si A es cualquier ángulo agudo, siempre sucede que:

 

 

Una ecuación, como las tres anteriores, que es válida para cualquier valor de la variable se llama una identidad. Observa los nombres completos de estas funciones: seno y coseno, secante y cosecante, tangente y cotangente. A estos pares se les conoce como cofunciones. Los ángulos A y  son complementarios. En otras palabras, las cofunciones de cualquier par de ángulos complementarios son iguales.

 

Pues usar estas relaciones para encontrar los valores de las funciones trigonométricas a partir de los valores de otras funciones sin necesidad de dibujar un triángulo. Observa que puedes reemplazar A y  por B y . La letra diferente no cambiará la relación, porque estos ángulos son complementarios.

 

 

 

 

¿Cuáles son los valores de  y ?     A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente tomaste el ángulo agudo W, y encontraste . Recuerda que obtienes razones distintas para dos ángulos agudos, por lo que debes tener cuidado en qué ángulo estás usando. La respuesta correcta es C.   B) Incorrecto. Puede que hayas usado el ángulo agudo W y también cambiaste el coseno y la cosecante. Recuerda que obtienes razones distintas para dos ángulos agudos, por lo que debes tener cuidado en qué ángulo estás usando. La respuesta correcta es C.   C) Correcto. Usando la definición de coseno, . Usando la definición de cosecante, .   D) Incorrecto. Parece que cambiaste los valores de coseno y cosecante. Los nombres son muy similares, por lo que debes tener cuidado de usar la función adecuada. La respuesta correcta es C.

 

 

 

Las seis razones o funciones normalmente se consideran en dos grupos de tres funciones. El primer grupo es:

 

 

Una manera de recordar estas tres definiciones es con una técnica de memorización que usa las siglas de cada palabra. La definición de seno se representa por COH (Cateto Opuesto entre Hipotenusa). De la misma manera, la definición de coseno se representa por CAH (Cateto Adyacente entre Hipotenusa), y la definición de tangente se representa por COCA (Cateto Opuesto entre Cateto Adyacente). Si ponemos los tres juntos tenemos COHCAHCOCA.

 

El segundo grupo es:

 

 

Si comparas estas tres razones con los tres anteriores, verás que las tres fracciones son recíprocas de las tres fracciones anteriores. Esto es, la cosecante es la recíproca del seno, la secante es la recíproca del coseno, y la cotangente es la recíproca de la tangente. Esto nos da las tres identidades:

 

 

Si recuerdas COHCAHCOCA y estas tres identidades, puedes identificar los valores de cualquier función trigonométrica, como se puede ver en el siguiente ejemplo.

 

 

 

 

El valor de cualquier función trigonométrica es una razón, o una fracción. Recuerda que las fracciones pueden ser reducidas.

 

 

 

 

Recuerda que los lados de un triángulo rectángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras. Entonces si a y b son las longitudes de los catetos, y c es la hipotenusa, debes tener . En el ejemplo anterior, las longitudes de los catetos fueron 2 y 3, y la hipotenusa fue , y es cierto que .

 

 

¿Cuáles de las siguientes expresiones podrían ser valores de funciones trigonométricas para el mismo ángulo?   A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Puedes tener estos valores de seno y tangente para el mismo ángulo. Sin embargo, los valores de seno y cosecante del mismo ángulo son recíprocos. Si , entonces , no . La respuesta correcta es D.   B) Incorrecto. Los valores de coseno y secante son recíprocos, como deben ser. Sin embargo, no puedes tener los valores dados de seno y coseno para el mismo ángulo. Si , puedes dibujar un triángulo rectángulo con el cateto opuesto al ángulo X de longitud 4 y la hipotenusa con longitud 5. Si tienes , entonces el cateto adyacente sería 2. Sin embargo, las longitudes 2, 4 y 5 no satisfacen el Teorema de Pitágoras. La respuesta correcta es D.   C)   Incorrecto. Puedes dibujar un triángulo rectángulo con el cateto opuesto al ángulo Y con longitud de 12, el cateto adyacente con longitud de 5, y la hipotenusa con longitud de 13. Esto te daría . Usando la definición de la tangente, , entonces tendrías que , no . La respuesta correcta es D.   D) Correcto. Si , entonces , porque son recíprocos. Puedes dibujar un triángulo rectángulo con ambos catetos con longitud 1, y la hipotenusa tendrá longitud de  por el Teorema de Pitágoras. Usando la definición de coseno, , tendrías entonces .

 

 

 

Sabes que si dibujas dos triángulos similares con ángulos de 35°, 55°, y 90°, la razón del lado opuesto a 35° y la hipotenusa será la misma para todos esos triángulos. Esto es . La manera más fácil de encontrar a qué equivale esta razón es con una calculadora científica.

 

Observa la calculadora, encontrarás una tecla que dice SIN. Puedes usarla para encontrar el valor del seno de . Ten esto en cuenta: necesitas saber que hay unidades distintas para medir ángulos. Para nuestros propósitos, asegúrate que tu calculadora está configurada en “modo de grados.” (Las siguientes instrucciones son generales, por lo que podrías necesitar el manual de instrucciones de tu calculadora para saber exactamente cómo configurarla.)

 

Si usas una calculadora científica, observa en la pantalla y busca la palabra DEG por encima del 0 (en lugar de RAD o GRAD). Si no aparece, presiona la tecla DRG hasta que aparezca la palabra DEG. Ahora escribe 32, y presiona la tecla SIN. El resultado debe ser :

 

 

Si tienes una calculadora graficadora, presiona la tecla MODE. La tercera línea de la pantalla dirá RADIAN DEGREE. Usa las flechas para seleccionar DEGREE, y luego presiona ENTER, 2ND, QUIT. Ahora la calculadora está en modo de grados. En una calculadora graficadora, introduces los comandos de la misma manera en que los escribes. Entonces presiona las teclas para escribir sin(35) en la pantalla y luego presiona ENTER. Debe aparecer el valor en la siguiente línea de la pantalla.

 

Como el seno es una función, dada la medida de un ángulo X (la entrada), tu calculadora te dará el valor de  (la salida). Todos los triángulos rectángulos con un ángulo agudo que mide X serán similares, entonces la razón del lado opuesto y la hipotenusa será la misma para todos esos triángulos. Entonces, la razón depende sólo del valor de X; no depende del triángulo.

 

De la misma manera, las otras cinco razones trigonométricas son funciones. Puedes usar tu calculadora para encontrar el valor de estas funciones. Notarás que junto a la tecla SIN están las teclas COS y TAN, que pueden usarse para calcular los valores del coseno y de la tangente.

 

 

 

 

Podrás haber notado que tu calculadora no tiene teclas para csc, sec, o cot. Sí puedes encontrar los valores para estas funciones. Para eso encuentras el recíproco de las identidades. Primero debes encontrar el valor del sen, cos, o tan, y luego encontrar el recíproco, como en el ejemplo siguiente

 

 

 

 

¿Cuál es el valor de  en milésimas?   A) 3.420 B) 1.046 C) 0.001 D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 3.420 Correcto. Primero usas la calculadora para encontrar . Y calculas el recíproco de: .   B) 1.046 Incorrecto. Encontraste el valor de . Recuerda que la cosecante es el recíproco del seno (no del coseno). La respuesta correcta es 3.420.   C) 0.001 Incorrecto. Encontraste el valor de . Debes primero encontrar , y luego encontrar el recíproco. La respuesta correcta es 3.420.   D) Incorrecto. Tu calculadora no estaba en grados. Antes de hacer cualquier cálculo, asegúrate de configurarla para usar grados. La respuesta correcta es 3.420.

 

 

 

Hasta ahora has aprendido las definiciones de las seis funciones trigonométricas. Recuerda que una función tiene una entrada y una salida. Para cada una de estas funciones, la entrada es la medida del ángulo y la salida es igual a cierta razón de los lados. Tu calculadora puede usarse para encontrar el valor de estas funciones. Por ejemplo, si el ángulo mide 60°, el coseno del ángulo es 0.5. Esto puede representarse como .

 

¿Y qué si se invierte la situación? ¿Qué pasa si conoces el valor de la razón y quieres conocer el ángulo que ésta produce? Esto es, ¿qué si conoces la salida de una función trigonométrica, pero quieres conocer la entrada? Por ejemplo, podrías saber que el coseno de cierto ángulo es 0.5 y quieres encontrar el ángulo correspondiente. También puedes usar tu calculadora para encontrar estos valores.

 

En general, cuando inviertes la entrada y la salida de una función, lo que obtienes es una función inversa. Tu calculadora puede encontrar las inversas del seno, coseno, y tangente. En el ejemplo anterior, en una calculadora científica escribes 0.5, presionas la tecla 2ND, y luego la tecla COS. La pantalla mostrará 60. (¡Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados!) Esto te dice que el ángulo es 60°. En una calculadora graficadora, primero presionas la tecla 2ND, luego COS, y luego escribes 0.5, y finalmente ENTER. (Recuerda que posiblemente necesites leer el manual de instrucciones de tu calculadora para saber cómo realizar estas operaciones.)

 

Por encima de las teclas SIN, COS, y TAN verás . Estas son las funciones trigonométricas inversas, y la manera de decirlas es: arcoseno, arcocoseno, y arcotangente. El resultado mencionado antes se puede escribir como  o .

 

Si te dan el valor de la función seno (o tangente) y quieres conocer el ángulo que produce, debes seguir un proceso similar al descrito antes. Entonces en una calculadora científica, escribes el valor, presionas la tecla 2ND, y luego presionas la tecla SIN (o TAN).

 

 

 

 

Si te dan la expresión , por ejemplo, puedes interpretarla diciendo, “Encuentra el ángulo cuyo coseno es igual a 0.24.”

 

 

 

 

Ahora veamos un ejemplo real que usa la inversa de una función.

 

 

 

 

Recuerda que las funciones seno y coseno no pueden tener una salida mayor que 1. Con el arcoseno y el arcocoseno, estás revertiendo las entradas y las salidas. Consecuentemente, la entrada de estas funciones no puede ser un número mayor que 1. Si intentas calcular  con tu calculadora, por ejemplo, obtendrás un mensaje de error.

 

 

Si , ¿a qué equivale x redondeada a la centésima de grado más cercana?   A) 0.01° B) 0.34° C) 19.47° D) 70.53°   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 0.01° Incorrecto. En lugar de calcular , calculaste . La respuesta correcta es 19.47°.   B) 0.34° Incorrecto. No tenías tu calculadora configurada en grados. Antes de hacer cualquier cálculo, asegúrate de que tu calculadora trabaje con grados. La respuesta correcta es 19.47°.   C) 19.47° Correcto. La solución de la ecuación se obtiene calculando .   D) 70.53° Incorrecto. En lugar de calcular , calculaste . La respuesta correcta es 19.47°.

 

 

 

Las seis funciones trigonométricas se definen como razones de los lados en un triángulo rectángulo. Sus valores dependen sólo del ángulo y no de un triángulo rectángulo particular. Una manera de recordar las definiciones de seno, coseno, y tangente es memorizando COHCAHCOCA. Las otras tres funciones — cosecante, secante, y cotangente — son recíprocas de las primeras tres.

 

Puedes usar una calculadora para encontrar los valores de las funciones. También puedes usar una calculadora para encontrar los valores de las funciones trigonométricas inversas. Esto es, dada una razón, puedes encontrar el ángulo que la produce.