Resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas

 

 

Objetivos de aprendizaje

·         Resolver ecuaciones exponenciales.

·         Resolver ecuaciones logarítmicas.

 

Introducción

 

Como sabes, a veces el álgebra requiere que resuelvas ecuaciones para encontrar valores desconocidos. Esto también sucede con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Hay algunas estrategias, junto con algunas propiedades, que puedes usar para resolver estas ecuaciones.

 

Resolviendo ecuaciones exponenciales

 

Puedes ver una ecuación como 4x = 16 y la resuelves preguntándote, “¿4 a qué potencia es 16? 42 es 16, entonces x = 2.” Ecuaciones como 4x = 17 son un poco más difíciles. Sabes que x debe ser un poco más de 2, porque 17 es un poco más que 16. Una manera de encontrar x con más precisión, es usando logaritmos.

 

Cuando resolvías otras ecuaciones algebraicas, normalmente te basabas en la idea de que puedes cambiar ambos lados de la ecuación de la misa manera y obtener una ecuación válida. Esto también sucede con los logaritmos: Si x = y, entonces logbx = logby, no importa qué sea b.

 

Veamos esto con una ecuación cuya solución ya conozcas: 4x = 16. Puedes usar logaritmo común (logaritmo común) o logaritmo natural (logaritmo natural). En el siguiente ejemplo, usarás log común.

 

Ejemplo

Problema

Resolver 4x = 16.

 

4x = 16

log 4x = log 16

 

Saca el logaritmo común de ambos lados. (Recuerda, cuando la base no está escrita, se trata de la base 10.)

 

¿Qué puedes hacer con la nueva ecuación?

 

log 4x = log 16

x log 4 = log 16

Usa la propiedad de la potencia de los logaritmos para simplificar el logaritmo del lado izquierdo de la ecuación.

 

x log 4 = log 16

Recuerda que log 4 es un número. Puedes dividir ambos lados de la ecuación entre log 4 para obtener x.

Respuesta

Usa una calculadora para evaluar los logaritmos y el cociente.

 

 

Ya sabías, x = 2. Ahora intentemos con nuestro ejemplo más difícil, 4x = 17. El procedimiento es exactamente el mismo.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver 4x = 17.

 

4x = 17

log 4x = log 17

 

Saca el logaritmo común de ambos lados.

 

log 4x = log 17

x log 4 = log 17

Usa la propiedad de la potencia de los logaritmos para simplificar el logaritmo del lado izquierdo.

 

x log 4 = log 17

Divide ambos lados entre log 4 para obtener x

Respuesta

Usa una calculadora para evaluar los logaritmos y el cociente.

 

 

Pudiste haber usado el log común o el log natural con el mismo ejemplo. Usaste una de estas bases, para poder usar la calculadora y encontrar los valores.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver e2x = 54.

 

e2x = 54

ln e2x = ln 54

 

Como la base es e, usa el logaritmo natural. (Si la base fuera 10, usarías el logaritmo común.)

 

ln e2x = ln 54

2x = ln 54

Recuerda que los logaritmos y las funciones exponenciales son inversos. Cuando tienes logbbm, el logaritmo deshace el exponente y el resultado es sólo m. Entonces ln

e2x = logee2x = 2x.

 

x =

Divide ambos lados entre 2 para obtener x.

Respuesta

x = 1.99449...

¡Usa una calculadora para evaluar los logaritmos y el cociente en la derecha y ya terminaste!

 

 

Otro tipo de ecuación exponencial tiene expresiones exponenciales a ambos lados. Cuando las bases son las mismas o los exponentes son los mismos, puedes simplemente comparar las partes que son diferentes. Veamos estos ejemplos.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver 32x + 5 = 33x – 2.

 

32x + 5 = 33x – 2

 

Aquí hay dos expresiones exponenciales con la misma base. Si las dos expresiones son iguales, entonces sus exponentes deben ser iguales. (Piensa en ello — si tienes 3a y 3b y ab, entonces 3a no puede tener el mismo valor que 3b.)

 

2x + 5 = 3x – 2

Entonces, escribe una nueva ecuación que iguale los exponentes uno con otro.

 

5 = x – 2

7 = x

Resuelve la ecuación lineal como lo haces normalmente.

Comprobación

32(7) + 5 = 33(7) – 2

319 = 319

Comprueba la solución en la ecuación original.

 

No necesitas calcular 319. ¡Cuando ambos lados sean iguales, sabes que es correcto!

Respuesta

x = 7

 

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver (x + 4)8 = 78.

 

(x + 4)8 = 78

 

De nuevo. Tienes dos expresiones exponenciales que son iguales una con otra. En este caso, ambos lados tienen el mismo exponente y esto significa que las bases deben ser iguales.

 

x + 4 = 7

Escribe una nueva ecuación que iguale las bases una con otra.

 

x = 3

Resuelve la ecuación lineal como lo haces normalmente.

Comprobación

(3 + 4)8 = 78

78 = 78

 

Comprueba la solución en la ecuación original.

 

No necesitas calcular 78. ¡Cuando ambos lados sean iguales, sabes que es correcto!

Respuesta

x = 3

 

 

 

Resolver 103x – 2 = 13.

 

A) x = 5

B) x = 1.03798…

C) x = 1.52164…

D) x = 3.11394…

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) x = 5

Incorrecto. Probablemente olvidaste sacar e logaritmo de 13 así como el de 103x – 2. La respuesta correcta es x = 1.03798….

 

B) x = 1.03798…

Correcto. 103x – 2 = 13 puede escribirse como log 103x – 2 = log 13 y log 103x – 2 = 3x – 2,

entonces 3x – 2 = log 13. Esto resulta en

x = .

 

C) x = 1.52164…

Incorrecto. Probablemente usaste el logaritmo natural en el lado izquierdo (ln 13), pero el logaritmo común en el lado izquierdo (log 103x – 2 = 3x – 2). La respuesta correcta es x = 1.03798….

 

D) x = 3.11394…

Incorrecto. Probablemente sacaste los logaritmos correctamente y sumaste 2 a ambos lados, pero olvidaste dividir entre 3. La respuesta correcta es x = 1.03798….

 

 

 

Resolviendo ecuaciones logarítmicas

 

Hay varias estrategias que puedes usar para resolver ecuaciones logarítmicas. La primera ya la has usado antes: ¡Reescribir la ecuación logarítmica como una ecuación exponencial!

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver ln x = 4.657. Con x en milésimas.

 

ln x = 4.657

loge x = 4.657

e4.657 = x

Recuerda que los logaritmos naturales tienen base e. Reescribe este logaritmo como una ecuación exponencial.

Respuesta

105.3196… = x

x 105.320

Usa una calculadora para evaluar e4.657 y redondea a milésimas.

 

 

Esto funciona sin importar la base.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver log7 x = 3.843. Con x en milésimas.

 

log7 x = 3.843

73.843 = x

Reescribe este logaritmo como una ecuación exponencial.

Respuesta

1768.9345…= x

x 1768.935

Usa una calculadora para evalúa 73.843y redondea a milésimas.

 

 

Las ecuaciones logarítmicas pueden tener entradas donde la variable tiene un coeficiente distinto de 1. O donde la variable está al cuadrado. En estos casos, necesitas completar algunos pasos para resolver la variable.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver log53x2 = 1.96. Con x en centésimas.

 

51.96 = 3x2

Reescribe este logaritmo como una ecuación exponencial.

 

23.44127… = 3x2

Evalúa 51.96.

 

7.81375… = x2

x = ±2.7953…

x ±2.80

Resuelve como normalmente lo harías. En este caso, divide ambos lados entre 3, luego usa la propiedad de la raíz cuadrada para encontrar los posibles valores de x. No olvides que cuando usas la propiedad de la raíz cuadrada, debes considerar las raíces positiva y negativa. Redondea a centésimas.

Comprobación

log5 3x2 = 1.96

log5 3(-2.80)2 = 1.96

log5 3(7.84) = 1.96

log5 23.52 = 1.96

 

Comprueba tu respuesta sustituyendo el valor de x en la ecuación original. Como

(-2.80)2 y (+2.80)2 son positivos no necesitamos comprobar +2.80 separadamente.

 

Aplica la fórmula de cambio de base para cambiar de base 5 a base 10.

 

La comprobación muestra que tomando en cuenta el redondeo, resulta un enunciado válido, por lo que sabes que la respuesta es correcta.

Respuesta

x ±2.80

 

 

 

Las ecuaciones podrían también incluir más de un logaritmo. Puedes usar las propiedades de los logaritmos para combinarlos en un sólo logaritmo. Nota: Encontrarás útil tomar nota de las propiedades que usas en cada paso, para asegurarte que las estás usando apropiadamente y para encontrar errores.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver .

 

Primero observa que todos los logaritmos tienen la misma base. (Estos son logaritmos comunes, por lo que todas las bases son 10). Cuando usas las propiedades, es absolutamente necesario que todas las bases sean iguales.

 

 

Usa la propiedad de la potencia para reescribir 2log 3 como log 32

y para reescribir  como .

 

 

log 9 + log 4 – log 3 = log x

Evalúa los exponentes.

 

log (9 • 4) – log 3 = log x

log 36 – log 3 = log x

Usa la propiedad del producto, , para combinar log 9 + log 4.

 

 

log  = log x

log 12 = log x

Usa la propiedad del cociente, , para combinar log 36 – log 3.

Respuesta

x = 12

Como el logaritmo de 12 y el logaritmo de x son iguales, x debe ser igual a 12.

 

 

Resolver log x + log 3 = log 24.

 

A) 0.460…

B) 2.892…

C) 8

D) 21

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 0.460…

Incorrecto. Usa la propiedad del producto para combinar log x + log 3 en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

 

B) 2.892…

Incorrecto. Usa la propiedad del producto para combinar log x + log 3 en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

 

C) 8

Correcto. log x + log 3 = log 3x. Entonces log 3x = log 24, 3x = 24 y x = 8.

 

D) 21

Incorrecto. Usa la propiedad del producto para combinar log x + log 3 en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

 

 

 

Sumario

Hay varias estrategias que puedes usar para resolver ecuaciones con exponentes y logaritmos. Sacar los logaritmos de ambos lados es útil con ecuaciones exponenciales. Reescribir una ecuación logarítmica como una ecuación exponencial también es útil. Puedes usar las propiedades de los logaritmos para combinar muchos logaritmos en uno.