Propiedades de las funciones logarítmicas

 

Objetivos de aprendizaje

·         Expresar el logaritmo de un producto como una suma de logaritmos.

·         Expresar el logaritmo de un cociente como una resta.

·         Expresar el logaritmo de una potencia como un producto.

·         Simplificar expresiones logarítmicas.

 

Introducción

 

En tus estudios del álgebra, te has topado con muchas propiedades, como la conmutativa, la asociativa y la distributiva. Estas propiedades te ayudan a simplificar una expresión o una ecuación complicada.

 

Lo mismo sucede con los logaritmos. Hay un grupo de propiedades que te ayudan a simplificar expresiones complejas de logaritmos. Como los logaritmos se relacionan estrechamente con las expresiones exponenciales, no es de sorprender que las propiedades de los logaritmos se parezcan a las propiedades de los exponentes. Como un recordatorio, aquí están las propiedades de los exponentes.

 

Propiedades de los exponentes

 

Producto de potencias:

Cociente de potencias:

Potencia de una potencia:

 

 

Una propiedad importante y básica de los logaritmos es logb bx = x. Esto tiene sentido cuando conviertes el enunciado a su equivalente en ecuación exponencial. ¿El resultado? bx = bx.

 

Encontremos el valor de yen. Recuerda , entonces significa que y y debe ser 2, lo que significa . Obtendrás la misma respuesta que  es igual a 2 usando la propiedad logb bx = x.

 

Logaritmo de un producto

 

Recuerda que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con los exponentes, para multiplicar números con la misma base, sumas los exponentes. Con los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

 

 

Logaritmo de un producto

 

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:

logb (MN) = logb M + logb N

 

 

 

Intentemos con el siguiente ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Usar la propiedad del producto para reescribir .

 

 

 

 

Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.

 

Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar ambos sumandos.

Reescribe log2 4 como log2 22 y log2 8 como log2 23, luego usa la propiedad logbx = x.

O, reescribe log2 4 = y como 2y = 4 para encontrar y = 2 y log2 8 = y como 2y = 8 para encontrar y = 3.

Usa el método que más tenga sentido para ti.

Respuesta

 

 

 

Otra manera de simplificar sería multiplicando 4 y 8 como primer paso.

 

 

¿Obtienes la misma respuesta que en el ejemplo!

 

Observa la similaridad con la propiedad del exponente: bmbn = bm + n, mientras que logb (MN) = logb M + logb N. En ambos casos, un producto se vuelve una suma.

 

 

Ejemplo

Problema

Usar la propiedad del producto para reescribir log3 (9x).

 

log3 (9x) = log3 9 + log3 x

Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.

 

log3 9 + log3 x =

log3 32 + log3 x =

2 + log3 x

Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar log3 9 pero no log3 x.

Reescribe log3 9 como log3 32, luego usa la propiedad logb bx = x.

O, simplifica log3 9 convirtiendo log3 9 = y a 3y = 9 y encuentra que y = 2.

 

Usa el método que más tenga sentido para ti.

Respuesta

log3(9x) = 2 + log3 x

 

 

 

Si el producto tiene muchos factores, sólo sumas los logaritmos individuales:

logb (ABCD) = logb A + logb B + logb C + logb D.

 

 

Reescribe log2 8a y simplifica.

 

A) 3 log2 a

B) log2 3a

C) log2 (3 + a)

D) 3 + log2 a

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 3 log2 a

Incorrecto. Los logaritmos individuales deben sumarse, no multiplicarse. La respuesta correcta es 3 + log2 a.

 

B) log2 3a

Incorrecto. Encontraste que log2 8 = 3, pero primero debes aplicar la propiedad del logaritmo de un producto. La respuesta correcta es 3 + log2 a.

 

C) log2 (3 + a)

Incorrecto. La propiedad del logaritmo de un producto dice que separas el 8 y a en logaritmos separados. La respuesta correcta es 3 + log2 a.

 

D) 3 + log2 a

Correcto. La propiedad del logaritmo de un producto dice que log2 8a = log2 8 + log2 a y log2 8 = 3.

 

 

 

Logaritmo de un cociente

 

Puedes usar la similaridad entre las propiedades de los exponentes y los logaritmos para encontrar la propiedad para el cociente de un logaritmo. Con los exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, sumas los exponentes. Para dividir dos números con la misma base, restas los exponentes. ¿Cuál crees que es la propiedad para el logaritmo de un cociente?

 

Como seguramente sospechaste, el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.

 

Logaritmo de un cociente

 

 

Con ambas propiedades:  y, un cociente se vuelve una resta.

 

 

Ejemplo

 

Problema

Usar la propiedad del cociente para reescribir .

 

 

log2  = log2 x – log2 2

Usar la propiedad del cociente para reescribir como una resta.

Respuesta

= log2 x – 1

La primera expresión no puede simplificarse más. Sin embargo, la segunda expresión sí. ¿Qué exponente en la base (2) da un resultado de 2? Como 21 = 2, sabes que log2 2 = 1.

 

 

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: .

 

A) 4 – log3 a

B)

C) log3 (4 – a)

D)

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4 – log3 a

Correcto. La propiedad del logaritmo de un cociente dice que y log81 = 4.

 

B)

Incorrecto. Los logaritmos individuales deben restarse, no dividirse. La respuesta correcta es 4 – log3 a.

 

C) log3 (4 – a)

Incorrecto. La propiedad del logaritmo de un cociente dice que separes 81 y a en logaritmos distintos. La respuesta correcta es 4 – log3 a.

 

D)

Incorrecto. Encontraste que log3 81 = 4, pero primero debes aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente. La respuesta correcta es 4 – log3 a.

 

 

Logaritmo de una potencia

La propiedad faltante de los exponentes es la potencia de una potencia: . La similaridad con el logaritmo de una potencia es un poco más difícil de ver.

 

Logaritmo de una potencia

 

 

Con ambas propiedades,  y , la potencia “n” se vuelve un factor.

 

 

Ejemplo

Problema

Usar la propiedad de la potencia para simplificar log3 94.

 

log3 94 = 4 log3 9

 

Podrías encontrar 94, pero eso no haría más fácil simplificar el logaritmo. Usa la propiedad de la potencia para reescribir log3 94 como 4log3 9.

 

4 log3 9 = 4•2

Podrías reconocer que 32 = 9, log3 9 = 2.

Respuesta

log3 94 = 8

Multiplica los factores.

 

 

Observa que en este caso también pudiste haber simplificado reescribiendo como 3 a la potencia: log3 94 = log3 (32)4. Usando las propiedades de los exponentes, esto es log3 38 y por la propiedad logb bx = x, ¡esto debe ser 8!

 

 

Ejemplo

Problema

Usa las propiedades de los logaritmos para reescribir log4 64x.

 

 

 

 

 

Usa la propiedad de la potencia para reescribir  como .

 

Reescribe  como, luego usa la propiedad  para simplificar .

O, pudiste haber reconocido que como 43 = 64, log464 = 3.

 

 

 

Respuesta

log4 64x = 3x

Multiplica los factores.

 

 

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:  log2 x8?

 

A) log2 3x

B) 8 log2 x

C) log2 8x

D) 3 log2 x

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) log2 3x

Incorrecto. El exponente se vuelve un factor fuera del logaritmo. La respuesta correcta es

8 log2 x.

 

B) 8 log2 x

Correcto. Con la propiedad de la potencia, log2 x8 = 8log2 x. Y ya no puedes simplificar más.

 

C) log2 8x

Incorrecto. El exponente se vuelve un factor fuera del logaritmo. La respuesta correcta es

8 log2 x.

 

D) 3 log2 x

Incorrecto. Probablemente notaste que log2 8 = 3, por lo que usaste 3 en lugar de 8 cuando sacaste el exponente para ponerlo como factor. Sin embargo, el exponente debe sacarse del logaritmo para hacerse factor sin ningún otro cambio. La respuesta correcta es 8 log2 x.

 

 

 

Simplificando expresiones logarítmicas

 

Las propiedades se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas que tengan logaritmos

 

 

Ejemplo

Problema

Usar las propiedades de los logaritmos para expandir  en 4 términos más simples.

 

 

 

 

Usa la propiedad del cociente para reescribir  como una resta de logaritmos.

 

Ahora tienes dos logaritmos, cada uno con un producto. Aplica la regla del producto a cada uno.

 

¡Ten cuidado con la resta! Como todo el log10 cd se resta, debes restar ambas partes del término, (log10 c + log10 d).

Respuesta

 = log10 a + log10 b – log10 c – log10 d

 

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar log6 (ab)4, escribiéndolo como dos términos separados.

 

 

 

 

Usa la propiedad de la potencia para reescribir log6 (ab)4 como

4 log6 (ab).

 

Estás sacando el logaritmo de un producto, por lo que aplicas la propiedad del producto.

 

Ten cuidado: el valor de 4 se multiplica por todo el logaritmo, por lo que usas paréntesis cuando reescribes log6 (ab) como (log6 a + log6 b)

Respuesta

log6 (ab)4  = 4 log6 a + 4 log6 b

 

Usa la propiedad distributiva.

 

 

Simplificar log3 x2y.

 

A) 2(log3 x + log3 y)

B) log3 x2 + log3 y

C) 2 log3 xy

D) 2 log3 x + log3 y

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 2(log3 x + log3 y)

Incorrecto. Seguramente empezaste incorrectamente aplicando la propiedad de la potencia o pudiste haber empezado correctamente con la propiedad del producto pero luego aplicaste incorrectamente la propiedad de la potencia. La respuesta correcta es 2 log3 x + log3 y.

 

B) log3 x2 + log3 y

Incorrecto. Si bien aplicaste correctamente la propiedad del producto, log3x2 puede ser simplificado aún más. La respuesta correcta es 2 log3 x + log3 y.

 

C) 2 log3 xy

Incorrecto. Seguramente empezaste incorrectamente aplicando la propiedad de la potencia. Empieza con la propiedad del producto. La respuesta correcta es 2 log3 x + log3 y.

 

D) 2 log3 x + log3 y

Correcto. log3 x2y = log3 x2 + log3 y = 2 log3 x + log3 y.

 

 

Sumario

Al igual que los exponentes, los logaritmos tienen propiedades que te permiten simplificarlos cuando sus entradas son un producto, un cociente o un valor elevado a una potencia. Las propiedades de los exponentes y las propiedades de los logaritmos son muy similares.

 

 

Exponentes

Logaritmos

Propiedad del producto

Propiedad del cociente

Propiedad de la potencia

 

Observa cómo la propiedad del producto lleva a una suma, la propiedad del cociente lleva a una resta y la propiedad de la potencia lleva a una multiplicación para ambos exponentes y logaritmos.