Encontrando el dominio y el rango
Objetivos de aprendizaje
· Encontrar el dominio de una función de raíz cuadrada.
· Encontrar el dominio y el rango de una función a partir de su forma algebraica.
Introducción
Las funciones son correspondencias entre dos conjuntos, llamados dominio y el rango. Cuando defines una función, normalmente dices qué tipo de números pueden tener el dominio (x) y el rango (f(x)). Pero incluso si dices que son números reales, eso no significa que se pueden tomar todos los números reales para x. Tampoco significa que todos los números reales pueden ser valores de la función, f(x). Puede haber restricciones en el dominio y en el rango. Las restricciones dependen parcialmente del tipo de la función.
En este tema, todas las funciones estarán restringidas a valores de números reales. Esto es, sólo los números reales pueden ser usados en el dominio y sólo los números reales pueden estar en el rango.
Hay dos razones principales por los que los dominios pueden estar restringidos.
· No se puede dividir entre 0.
· No puedes sacar la raíz cuadrada (o par) de un número negativo, porque el resultado no sería un número real.
¿En qué tipo de funciones sucederían estos problemas?
La división entre 0 podría ocurrir cuando la función tiene una variable en el denominador de una expresión racional. Esto es, hay que poner atención en las funciones racionales. Veamos algunos ejemplos y observa que la “división entre 0” no necesariamente significa que x es 0!
| Función | Notas |
|
| Si x = 0, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 0. |
|
| Si x = 3, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 3. |
|
| Si bien puedes simplificar esta función como f(x) = 2, cuando x = 1 la función original incluiría la división entre 0. Entonces x ≠ 1. |
|
| x = 1 y x = −1 harían 0 el denominador. De nuevo, esta función puede simplificarse como |
|
| Este es un ejemplo cuando no hay restricciones en el dominio, aunque haya una variable en el denominador. Porque x2 ≥ 0, x2 + 1 nunca será 0. Lo menos que puede ser es 1, por lo que no hay peligro de una división entre 0. |
, pero cuando x = 1 o x = −1 la función original incluiría la división entre 0, entonces x ≠ 1 y x ≠ −1.
Las raíces cuadradas de números negativos pueden ocurrir cuando la función tiene una variable dentro de un radical con una raíz par. Veamos estos ejemplos y observa que “la raíz cuadrada de un número negativo” ¡no necesariamente significa que el valor dentro del radical es negativo! Por ejemplo, si x = −4, entonces −x = −(−4) = 4, un número positivo.
| Función | Restricciones al Dominio |
|
| Si x < 0, estarías sacando la raíz cuadrada de un número negativo, entonces x ≥ 0. |
|
| Si x < −10, estarías sacando la raíz cuadrada de un número negativo, entonces x ≥ −10. |
|
| ¿Cuándo es negativa -x? Sólo cuando x es positiva. (Por ejemplo, si x = −3, entonces −x = 3. Si x = 1, entonces −x = −1.) Esto significa que x ≤ 0. |
|
| x2 – 1 debe ser positivo, x2 – 1 > 0. Entonces x2 > 1. Esto sólo sucede cuando x es mayor que 1 o menor que −1: x ≤ −1 o x ≥ 1. |
|
| No hay restricciones en el dominio, aunque hay una variable dentro del radical. Pero x2 ≥ 0, x2 + 10 nunca será negativo. Lo menor que puede ser es 10, por lo que no hay peligro de sacar la raíz cuadrada de un número negativo. |
| Los dominios pueden restringirse si:
· la función es una función racional y el denominador es 0 para algún valor de x. · la función es una función radical con un índice par (como una raíz cuadrada) y el radicando puede ser negativo para algún valor de x.
|
Rango
Recuerda, aquí el rango está restringido para todos los números reales. El rango también está determinado por la función y el dominio. Considera estas gráficas y piensa qué valores de y son posibles. y qué valores (si los hay) no lo son. En cada caso, las funciones se evalúan con números reales — esto es, x y f(x) sólo pueden ser números reales.
| Función cuadrática, f(x) = x2 – 2x – 3 |
|
|
Recuerda que la función cuadrática básica: f(x) = x2 siempre debe ser positiva, entonces f(x) ≥ 0 en este caso. En general, las funciones cuadráticas siempre tienen un punto con un máximo (si se abre hacia abajo) o un mínimo (si se abre hacia arriba, como la mostrada). Esto significa que el rango de una función cuadrática siempre estará restringido para empezar sobre el valor mínimo o debajo del valor máximo. Para la función anterior, el rango es f(x) ≥ −4.
Otras funciones polinomiales con grados pares tendrán restricciones de rango similares. Las funciones polinomiales con grados impares, como f(x) = x3, no tendrán restricciones.
| Función radical, f(x) = |
|
|
Las funciones de raíz cuadrada se ven como una media parábola, hacia un lado. El hecho de que la porción de la raíz cuadrada siempre debe ser positiva restringe el rango de la función básica, 
, a sólo valores positivos. Cambios en esta función, como el negativo enfrente del radical o la resta de 2, pueden cambiar el rango. El rango de la función anterior es f(x) ≤ −2.
| Función racional, f(x) = |
|
|
Las funciones racionales pueden parecer complicadas. No hay nada obvio que restrinja el rango. Sin embargo, las funciones racionales tienen asíntotas — líneas a las que la gráfica se acerca, pero nunca las cruza o las toca. Como puedes ver en la gráfica anterior, la restricción del dominio provee una asíntota, x = 6. La otra es la línea y = 1, que provee una restricción al rango. En este caso, no hay valores de x para los que f(x) = 1. Entonces, el rango para esta función es todos los números reales, excepto el 1.
Encontrar el dominio y el rango de distintas funciones normalmente consiste en preguntarte a ti mismo, ¿qué valores no puede tener esta función?
| Ejemplo | |
| Problema | ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = x + 3? |
| Esta es una función lineal. Recuerda que las funciones lineales continúan infinitamente en cada dirección.
Cualquier número real puede sustituirse por x y obtener una salida con sentido. Para cualquier número real, siempre puedes encontrar un valor de x que te de un número en la salida. A menos que la función lineal sea constante, como f(x) = 2, no hay restricción en el rango. | |
| Respuesta | El dominio y el rango son todos los números reales. |
| Ejemplo | |
| Problema | ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = −3x2 + 6x + 1? |
| Esta es una función cuadrática. No hay expresiones racionales ni radicales, por lo que no hay nada que restrinja el dominio. Cualquier número real puede ser usado para x y obtener un resultado con sentido.
Como el coeficiente de x2 es negativo, abrirá hacia abajo. Con las funciones cuadráticas, recuerda que hay ya sea un valor máximo, o un valor mínimo. En este caso, hay un valor máximo.
El vértice, o punto de inflexión, está en (1, 4). En la gráfica, puedes ver que f(x) ≤ 4. | |
| Respuesta | El dominio es todos los números reales y el rango es todos los número reales f(x) tales que f(x) ≤ 4. |
Puedes comprobar que el vértice está en (1, 4). Como una función cuadrática tiene dos imágenes de espejo, la línea de reflexión debe estar en medio de los dos puntos con el mismo valor de y. El vértice debe quedar en la línea de reflexión, ¡porque es el único punto que no tiene una imagen espejo!
En el ejemplo anterior, observa que cuando x = 2 y cuando x = 0, el valor de la función es 1. (Puedes verificar esto evaluando f(2) y f(0).) Esto es, (2, 1) y (0, 1) están en la gráfica. La línea de reflexión aquí es x = 1, por lo que el vértice debe estar en el punto (1, f(1)). Evaluando f(1) da f(1) = 4, por lo que el vértice está en (1, 4).
| Ejemplo | |
| Problema | ¿Cuál es el dominio y el rango de la función |
| Esta es una función radical. El dominio de una función radical es cualquier valor de x cuyo radicando (el valor dentro del signo radical) no es negativo x + 5 ≥ 0, entonces x ≥ −5.
Como la raíz cuadrada siempre debe ser positiva o 0,
| |
| Respuesta | El dominio es todos los números reales x donde x ≥ −5 y el rango es todos los números reales f(x) tales que f(x) ≥ −2. |
| Ejemplo | |
| Problema | ¿Cuál es el dominio y el rango de la función |
| Esta es una función racional. El dominio de una función racional está restringido donde el denominador es 0. En este caso, x + 2 es el denominador y este es 0 sólo cuando x = −2.
Para el rango, crea una gráfica usando una herramienta para graficar y observa las asíntotas:
Una asíntota, una asíntota vertical, está en x =−2, como esperarías de la restricción del dominio. La otra, una asíntota horizontal, aparentemente está cerca de y = 3. (De hecho, está en y = 3.)
| |
| Respuesta | El dominio es todos los números reales excepto el −2 y el rango es todos los números reales excepto el 3. |
?
Puedes comprobar la asíntota horizontal y = 3. ¿Es posible que 
sea igual a 3? Escribe una ecuación e intenta resolverla.
Como el intento de resolverla termina en un enunciado inválido — ¡0 no puede ser igual a 6! — la ecuación no tiene solución. No hay valores de x para los que 
, entonces esto prueba que el rango está restringido.
| Encuentra el dominio y el rango de la función f(x) = x2 + 7.
A) El dominio es todos los números reales y el rango es todos los números reales f(x) tales que f(x) ≥ 7.
B) El dominio es todos los números reales x tales que x ≥ 0 y el rango es todos los números reales f(x) tales que f(x) ≥ 7.
C) El dominio es todos los números reales x tales que x ≥ 0 y el rango es todos los números reales.
D) El dominio y el rango son todos los números reales.
|
Sumario
Si bien se dice que una función acepta todos los “números reales,” podría suceder que la función tenga restricciones en su dominio y en su rango. Podría haber algunos números reales que no pueden ser parte del dominio o parte del rango. Esto sucede particularmente en las funciones racionales y las funciones radicales, que pueden tener restricciones en el dominio, en el rango o ambos. Otras funciones, como las funciones cuadráticas y las funciones polinomiales de grado par, también pueden tener restricciones en el rango.
