Sólidos
Objetivos de aprendizaje
· Identificar los sólidos geométricos.
· Encontrar el volumen de sólidos geométricos.
· Encontrar el volumen de sólidos geométricos compuestos.
Introducción
Vivir en un mundo de dos dimensiones sería bastante aburrido. Afortunadamente, todos los objetos físicos que ves y usas todos los días — computadoras, teléfonos, carros, zapatos — existen en tres dimensiones. Todos tienen largo, ancho, y altura. (Incluso los objetos muy delgados, como una hoja de papel, son tridimensionales. El grosor de una hoja de papel puede ser una fracción de milímetro, pero existe.)
En el mundo de la geometría, es común ver figuras tridimensionales, En matemáticas, el lado de una figura tridimensional se llama cara. Los poliedros son figuras que tienen cuatro o más caras, cada una de ellas un polígono. Estos incluyen a los cubos, los prismas, y las pirámides. Algunas veces puedes ver figuras que están compuestas de dos o más figuras. Veamos algunos poliedros comunes.
El primer conjunto de sólidos contienen bases rectangulares. Observa la tabla siguiente, que muestra cada figura en su forma sólida y transparente.
| Nombre | Definición | Forma sólida | Forma transparente |
| Cubo | Un poliedro de seis lados que tiene cuadrados congruentes por caras. |
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| Prisma rectangular | Un poliedro que tiene tres pares de caras, rectangulares, congruentes y paralelas. |
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| Pirámide | Un poliedro con una base poligonal y una colección de caras triangulares que se encuentran en un punto. |
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Observa los distintos nombres que se usan para estas figuras. Un cubo es diferente a un cuadrado, aunque a veces se confunde uno con otro — un cubo tiene tres dimensiones, mientras que un cuadrado sólo tiene dos. De la misma manera, podrías describir una caja de zapatos como un prisma rectangular (y no simplemente un rectángulo), y las antiguas pirámides de Egipto como... bueno, como pirámides (¡no triángulos!)
En el conjunto de sólidos siguiente, cada figura tiene una base circular.
| Nombre | Definición | Forma sólida | Forma transparente |
| Cilindro | Una figura sólida con un par de bases circulares paralelas y una superficie redonda entre ellos |
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| Cono | Una figura sólida con una base circular y alrededor, una cara que disminuye a un punto |
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Tomemos un momento para comparar una pirámide y un cono. Observa que la pirámide tiene una base rectangular y caras triangulares planas; un cono tiene una base circular y un cuerpo redondeado.
Finalmente, veamos una figura que es única: una esfera.
| Nombre | Definición | Forma sólida | Forma transparente |
| Esfera | Una figura sólida redondeada donde cada punto de la superficie está a la misma distancia del centro. |
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Hay muchos objetos esféricos alrededor — balones de futbol, pelotas de tenis, y balones de basquetbol. Si bien no son perfectamente esféricos, generalmente nos referimos a ellos como esferas.
| Ejemplo | ||
| Problema | Una figura tridimensional tiene las siguientes propiedades: · Tiene una base rectangular. · Tiene cuatro caras triangulares. ¿Qué tipo de sólido es? | |
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| Una base rectangular indica que debe tratarse de un cubo, un prisma rectangular, o una pirámide. |
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| Como las caras son triangulares, debe ser una pirámide. |
| Respuesta | El sólido es una pirámide. |
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Recuerda que el perímetro mide una dimensión (longitud), y el área mide dos dimensiones (largo y ancho). Para medir la cantidad de espacio que ocupa una figura tridimensional, necesitas usar otra medida llamada volumen.
Para visualizar lo que mide el “volumen”, observa la imagen transparente del prisma rectangular mencionado anteriormente (o sólo piensa en una caja de zapatos vacía). Imagina que apilas cubos idénticos dentro de la casa de tal manera que no quedan espacios entre ellos. Imagina que llenas toda la caja de esta manera. Si cuentas el número de cubos que caben dentro del prisma rectangular, tendrás su volumen.
El volumen se mide en unidades cúbicas. La caja de zapatos ilustrada arriba puede medirse en pulgadas cúbicas (normalmente representadas como in3 o pulgcadas3), mientas que las Pirámides de Egipto se miden más apropiadamente en metros cúbicos (m3 o metros3).
Para encontrar el volumen de un sólido geométrico, podrías crear una versión transparente del sólido, crear un montón de cubos de 1x1x1, y luego acomodarlos dentro. Sin embargo, ¡Eso podría tomar demasiado tiempo! Una forma más fácil de encontrar el volumen es familiarizarse con algunas fórmulas geométricas.
Revisemos de nuevo los sólidos geométricos y hagamos una lista con la fórmula para el volumen de cada uno.
Cuando revises la lista siguiente, podrás notar que algunas de las fórmulas son similares a las fórmulas para el área. Para encontrar el volumen de un prisma rectangular, encontramos el área de la base y luego multiplicamos por la altura.
| Nombre | Forma transparente | Fórmula del volumen |
| Cubo |
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a = la longitud de un lado |
| Prisma rectangular |
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l = largo w = ancho h = altura |
| Pirámide |
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l = largo w = ancho h = altura |
Recuerda que todos los cubos son prismas rectangulares, por lo que la fórmula para encontrar el volumen de un cubo es el área de la base por la altura.
Ahora veamos sólidos que tienen base circular.
| Nombre | Forma transparente | Fórmula del volumen |
| Cilindro |
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r = radio h = altura |
| Cono |
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r = radio h = altura |
Aquí vemos de nuevo el número 
.
El volumen de un cilindro es el área de su base, 
, multiplicada por su altura, h.
Compara la fórmula para el volumen de un cono (
) con la fórmula para el volumen de una pirámide (
). El numerador de la fórmula del cono es la fórmula del volumen del cilindro, y el numerador de la fórmula de la pirámide es la fórmula del volumen de un prisma rectangular. Luego se divide entre 3 para encontrar el volumen del cono y de la pirámide. Observar patrones similares en las fórmulas te puede ayudar a recordar qué fórmula se refiere a qué sólido.
Finalmente, la fórmula de una esfera se muestra abajo. Observa que el radio está elevado al cubo, no al cuadrado y que la cantidad 
se multiplica por
.
| Nombre | Forma transparente | Fórmula del volumen |
| Esfera |
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r = radio |
Aplicando las fórmulas
Sabes cómo identificar los sólidos, y también conoces las fórmulas para calcular el su volumen. Para encontrar el volumen de una figura, todo lo que necesitas es sustituir las dimensiones del sólido en la fórmula y calcular.
En los ejemplos siguientes, observa que se usan unidades cúbicas (metros3, pulgadas3, pies3).
| Ejemplo | ||
| Problema | Encontrar el volumen de un cubo con lados que miden 6 metros. | |
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a = longitud de los lados | Identifica la fórmula apropiada. |
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| Sustituye a = 6 en la fórmula. |
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| Calcula el volumen. |
| Respuesta | Volumen = 216 metros3 |
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| Ejemplo | ||
| Problema | Encuentra el volumen de la figura mostrada.
| |
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| Pirámide. | Identifica la figura. Tiene una base rectangular y se levanta hacia un punto, por lo que es una pirámide. |
|
|
l = largo w = ancho h = alto | Identifica la fórmula apropiada. |
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| 4 = largo 3 = ancho 8 = alto
| Usa la imagen para identificar las dimensiones. Luego sustituye l = 4, w = 3, y h = 8 en la fórmula. |
|
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| Calcula el volumen. |
| Respuesta | El volumen de la pirámide es de 32 pulgadas3. | |
| Ejemplo | ||
| Problema | Encuentra el volumen de la siguiente figura.
Usa 3.14 por
| |
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| Cilindro. | Identifica la figura. Tiene una base circular y un grosor uniforme (o altura), por lo que es un cilindro. |
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|
| Identifica la fórmula apropiada. |
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| Usa la imagen para identificar las dimensiones. Luego sustituye r = 7 y h = 1 en la fórmula. |
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| Calcula el volumen usando 3.14 como una aproximación de |
| Respuesta | El volumen es 49 | |
o aproximadamente 153.86 pies3.
| Encontrar el volumen de un prisma rectangular que mide 8 pulgadas de largo, 3 pulgadas de ancho, y 10 pulgadas de alto.
A) 24 pulgadas2 B) 30 pulgadas2 C) 240 pulgadas3 D) 720 pulgadas3
|
Los sólidos compuestos están hechos de dos o más sólidos geométricos. Puedes también encontrar el volumen de estos sólidos, siempre y cuando puedas encontrar los sólidos individuales que los forman.
Observa la imagen de la cápsula. En cada extremo tiene media esfera. Puedes encontrar el volumen del sólido separándolo. ¿En qué sólidos puedes dividir esta figura?
Puedes romperla en un cilindro y dos mitades de esfera.
Las mitades de esfera forman una esfera completa, entonces si conoces las fórmulas para el volumen de un cilindro y una esfera, puedes encontrar el volumen de la cápsula..
| Ejemplo | ||
| Problema | Si el radio de los extremos esféricos mide 6 pulgadas, encuentra el volumen del siguiente sólido. Usa 3.14 por
| |
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| Identifica el sólido compuesto. La cápsula puede verse como un cilindro con la mitad de una esfera a cada lado. |
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| Volumen de un cilindro: Volumen de una esfera: | Identifica las fórmulas apropiadas. |
|
| Volumen de un cilindro: Volumen de una esfera: | Sustituye las dimensiones en las fórmulas.
La altura del cilindro se refiere a la sección entre las dos bases circulares, Esta dimensión está dada como 24 pulgadas, entonces h = 24.
El radio de la esfera mide 6 pulgadas. Puedes usar r = 6 en ambas fórmulas. |
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| Volumen del cilindro:
Volumen de la esfera: | Calcula el volumen del cilindro y de la esfera. |
|
| Volumen de la cápsula: 2712.96 + 904.32 | Suma los volúmenes. |
| Respuesta | El volumen de la cápsula es 1,152 | |
3617.28
| Ejemplo | ||
| Problema | Un escultor talla un prisma rectangular de una pieza de madera. Luego, en la punta, le ahueca una pirámide invertida. El sólido, y sus dimensiones, se muestran a la derecha. ¿Cuál es el volumen de la pieza terminada? |
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| Identifica el sólido compuesto. La escultura puede verse como un prisma rectangular sin una pirámide. |
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| Volumen de un prisma rectangular:
Volumen de una pirámide: | Identifica las fórmulas apropiadas. |
|
| Volumen del prisma rectangular: Volumen de la pirámide: | Sustituye las dimensiones en las fórmulas, y calcula. |
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| Volumen de la escultura: | Resta el volumen de la pirámide del volumen del prisma rectangular. |
| Respuesta | El volumen de la escultura es |
|
= 
pies3.
| Una máquina toma un cilindro sólido de 9 mm de altura y 7 mm de diámetro, y le hace un agujero de lado a lado. El agujero que crea tiene un diámetro de 3 mm. ¿Cuál de las siguientes expresiones calcula correctamente el volumen del sólido?
A) B) C) D)
|
, no 
. La respuesta correcta es 
, luego restas el volumen del cilindro vacío, que se calcula multiplicando 
.
Sumario
Los sólidos tridimensionales tienen largo, ancho, y alto. Usas una medida llamada volumen para encontrar la cantidad de espacio que los sólidos pueden contener. Para encontrar el volumen de un sólido geométrico, puedes usar una fórmula de volumen específica para cada sólido. A veces, te encontrarás con sólidos compuestos. Estos son sólidos que combinan dos o más sólidos básicos. Para encontrar el volumen de estos, identifica los sólidos más simples que lo conforman, encuentra los volúmenes de estos sólidos, y combínalos como sea necesario.
