Círculos
Objetivos de aprendizaje
· Identificar las propiedades de los círculos.
· Encontrar la circunferencia de un círculo.
· Encontrar el área de un círculo.
· Encontrar el área y el perímetro de figuras geométricas compuestas.
Introducción
Los círculos son una figura común. Los vemos en todos lados — las ruedas de un carro, Frisbees volando por el aire, discos compactos conteniendo datos. Todos estos son círculos.
Un círculo es una figura de dos dimensiones al igual que los polígonos y los cuadriláteros. Sin embargo, los círculos se miden de manera distinta — incluso debes usar diferentes términos para describirlos. Estudiemos esta figura tan interesante.
Un círculo representa un conjunto de puntos, todos ellos a una misma distancia de un punto específico. Este punto se llama centro. La distancia del centro del círculo a cualquier punto del círculo se llama radio.
Cuando juntamos dos radios para formar un sólo segmento de recta cruzando el círculo, tenemos un diámetro. El diámetro de un círculo pasa por el centro del círculo y tiene sus puntos extremos en el círculo.
El diámetro de cualquier círculo es dos veces la longitud del radio del círculo. Se puede representar por la expresión 2r, o “el doble del radio.” Entonces si conocemos el radio del círculo, podemos multiplicar por 2 para encontrar el diámetro; esto también significa que si conocemos el diámetro del círculo, podemos dividir entre 2 para encontrar el radio.
Ejemplo | ||
Problema | Encontrar el diámetro del círculo.
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| d = 2r d = 2(7) d = 14 | El diámetro es dos veces el radio, o 2r. El radio de este círculo es igual a 7 pulgadas, entonces el diámetro es 2(7) = 14 pulgadas. |
Respuesta | El diámetro es de 14 pulgadas. |
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Ejemplo | ||
Problema | Encontrar el diámetro del círculo.
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| El radio es la mitad del diámetro, o . El diámetro de este círculo mide 36 pies, entonces el radio mide pies. |
Respuesta | El radio mide 18 pies. |
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La distancia alrededor del círculo se llama circunferencia. (Recuerda, la distancia alrededor de un polígono es el perímetro.)
Una propiedad interesante sobre los círculos es que la razón de la circunferencia de un círculo y su diámetro es la misma para todos los círculos. No importa el tamaño del círculo, la razón de la circunferencia y el diámetro será la misma.
Algunas medidas de objetos diferentes se muestran abajo. Las medidas son precisas al milímetro. Observa la razón de la circunferencia al diámetro para cada una — a pesar de que los objetos son distintos, la razón para cada uno es aproximadamente la misma.
Objeto | Circunferencia (C) (redondeada a la centésima más cercana) | Diámetro (d) | Razón |
Taza | 253 mm | 79 mm |
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Cuarto | 84 mm | 27 mm |
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Tazón | 37.25 in | 11.75 in |
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La circunferencia y el diámetro son medidas aproximadas, porque no hay manera de medir exactamente las dimensiones. Si pudieras medirlas con más precisión, notarías que la razón se acercaría a 3.14 para cada uno de los objetos. El nombre matemático de la razón es pi, y se representa con la letra Griega .
es un decimal que no termina y que no se repite , por lo que es imposible escribirlo todo. Los primeros 10 dígitos de son 3.141592653; normalmente se redondea a 3.14 o se estima como la fracción . Observa que 3.14 y son aproximaciones de , y se usan en cálculos donde no es importante ser preciso.
Como sabes que la razón de la circunferencia al diámetro (o ) es consistente para todos los círculos, puedes usar este número para encontrar la circunferencia de un círculo si conoces su diámetro.
= , entonces C = d
También, como d = 2r, entonces C = d = (2r) = 2r.
La circunferencia de un círculo
Para encontrar la circunferencia (C) de un círculo, usa una de las siguientes fórmulas:
Si conoces el diámetro (d) de un círculo: Si conoces el radio (r) de un círculo:
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Ejemplo | ||
Problema | Encontrar la circunferencia del círculo.
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| Para calcular la circunferencia dado el diámetro de 9 pulgadas, usamos la fórmula . Usar 3.14 como una aproximación de .
Como estamos usando una aproximación de , no podemos dar una medida exacta de la circunferencia. En su lugar, usamos el símbolo para indicar “aproximadamente igual a.” |
Respuesta | La circunferencia es 9 o aproximadamente 28.26 pulgadas. |
Ejemplo | ||
Problema | Encontrar la circunferencia de un círculo con un radio de 2.5 yardas. | |
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| Para calcular la circunferencia de un círculo dado el radio de 2.5 yardas, usamos la fórmula . Usamos 3.14 como una aproximación de . |
Respuesta | La circunferencia es 5 o aproximadamente 15.7 yardas. |
Un círculo tiene un radio de 8 pulgadas. ¿Cuál es su circunferencia, redondeada a la pulgada más cercana?
A) 25 pulgadas B) 50 pulgadas C) 64 pulgadas2 D) 201 pulgadas
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es un número importante en la geometría. Ya lo has usado para calcular la circunferencia de un círculo. También usas cuando quieres encontrar el área de un círculo.
El área de un círculo
Para encontrar el área (A) de un círculo, usas la fórmula:
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Ejemplo | ||
Problema | Encontrar el área del círculo.
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| Para encontrar el área de este círculo, usa la fórmula .
Recuerda escribir la respuesta en términos de unidades cuadradas, porque estás encontrando un área. |
Respuesta | El área es 9 o aproximadamente 28.26 pies2. |
Un botón tiene un diámetro de 20 milímetros. ¿Cuál es el área del botón? Usa 3.14 como una aproximación de .
A) 62.8 mm B) 314 mm2 C) 400 mm2 D) 1256 mm2
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Ahora que sabes cómo calcular la circunferencia y el área de un círculo, puedes usar ese conocimiento para encontrar el perímetro y el área de figuras compuestas. El truco para resolver este tipo de problemas consiste en identificar las figuras (y partes de figuras) que forman la figura compuesta, calcular sus dimensiones individualmente, y luego sumaras.
Por ejemplo, observa la imagen siguiente. ¿Es posible encontrar el perímetro?
El primer paso es identificar figuras simples que formen la figura compuesta. Puedes separarla en un rectángulo y un semicírculo, como se muestra abajo.
Sabes cómo encontrar el perímetro de un rectángulo, y sabes cómo encontrar la circunferencia de un círculo. Aquí, el perímetro de los tres lados del rectángulo es 8 + 20 + 20 = 48 pies. (Observa que sólo tres lados del rectángulo se sumarán al perímetro de la figura compuesta porque el otro lado no es realmente un lado; ¡está cubierto por el semicírculo!)
Para encontrar la circunferencia del semicírculo, usas la fórmula con un diámetro de 8 pies, y luego le restas la mitad al resultado. La circunferencia del semicírculo es , o aproximadamente 12.56 pies, por lo que el perímetro mide alrededor de 60.56 pies.
Ejemplo | ||
Problema | Encuentra el perímetro (a la centena más cercana) de la figura compuesta, hecha por un semicírculo y un triángulo.
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| Identifica las figuras pequeñas dentro de la figura compuesta. Esta figura contiene un semicírculo y un triángulo. |
| Diámetro (d) = 1
Circunferencia del semicírculo= o aproximadamente 1.57 pulgadas | Encuentra la circunferencia del círculo, Luego divide entre 2 para encontrar la circunferencia del semicírculo. |
| pulgadas
| Encuentra el perímetro total sumando la circunferencia del semicírculo y las longitudes de los dos lados. Como nuestra medida de la circunferencia del semicírculo es aproximada, el perímetro también será aproximado. |
Respuesta | Aproximadamente 3.57 pulgadas |
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Ejemplo | ||
Problema | Encontrar el área de la figura compuesta, hecha de tres cuartos de un círculo y un cuadrado, a la centena más cercana.
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| Identifica las figuras pequeñas dentro de la figura compuesta. La figura contiene una región circular y un cuadrado. Si encuentras el área de cada una, puedes encontrar el área de toda la figura. |
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| Encuentra el área del cuadrado. |
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. | Encuentra el área de la región circular. El radio es de 2 pies.
Observa que la región es de un círculo completo, entonces necesitas multiplicar el área del círculo por . Usa 3.14 como una aproximación de . |
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4 pies2 + pies2 = aproximadamente 13.42 pies2 | Suma las dos regiones. Como tus medidas del área circular son aproximadas, el área de la figura también será aproximada. |
Respuesta | El área mide aproximadamente 13.42 pies2. |
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¿Cuál es el área (a la centena más cercana) de la figura mostrada abajo? (Ambas regiones son semicírculos.)
A) 16.56 in2 B) 7.14 in2 C) 4 in2 D) 3.14 in2
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Sumario
Los círculos son figuras geométricas importantes. La distancia alrededor de un círculo se llama circunferencia, y el espacio interior de un círculo se llama área. Calcular la circunferencia y el área de un círculo requiere de un número llamado pi (), que es un número infinito y que no se repita. Pi normalmente se aproxima a los valores 3.14 y . Puedes encontrar el perímetro y el área de figuras compuestas — incluyendo figuras que contienen fracciones de círculos — aplicando apropiadamente las fórmulas de la circunferencia y del área.