Perímetro y área

 

Objetivos de aprendizaje

·         Encontrar el perímetro de un polígono.

·         Encontrar el área de un polígono.

·         Encontrar el área y el perímetro de polígonos no estándares.

 

Introducción

 

El perímetro y el área son dos elementos fundamentales en matemáticas. Para ayudarte a cuantificar el espacio físico y también para proveer las bases de matemáticas más avanzadas como en el álgebra, trigonometría, y cálculo. El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura y el área nos da una idea de qué tanta superficie cubre dicha figura.

 

El conocimiento del área y el perímetro lo aplican muchas personas día con día, como los arquitectos, ingenieros, y diseñadores gráficos, y es muy útil también para la gente en general. Entender cuánto espacio tienes y aprender cómo conjuntar figuras te ayudará cuando pintas tu cuarto, compras una casa, remodelas la cocina, o construyes un escritorio.

 

Perímetro

 

El perímetro de una figura de dos dimensiones es la distancia alrededor de la figura. Puedes imaginar una cuerda siguiendo los lados de la figura. La longitud de la cuerda será el perímetro. O caminar alrededor de un parque, caminas la distancia del perímetro del parque. Algunas personas encuentran útil pensar “peri-metro” donde peri es “periferia” y metro es “medida”.

 

Si la figura es un polígono, entonces puedes sumar todas las longitudes de sus lados para encontrar el perímetro. Ten cuidado de asegurarte que todas las longitudes están medidas en las mismas unidades. Medimos el perímetro en unidades lineales, que representan una sola dimensión. Ejemplos de unidades de medida de longitud son pulgadas, centímetros, o pies.

 

 

Ejemplo

Problema

Encontrar el perímetro de la figura siguiente. Todas las medidas están en pulgadas.

 

 

P = 5 + 3 + 6 + 2 + 3 + 3

Como todos los lados están medidos en pulgadas, sólo sumamos las longitudes de los 6 lados para obtener el perímetro.

Respuesta

P = 22 pulgadas

Recuerda incluir las unidades.

 

 

Esto significa que una cuerda envuelta alrededor del polígono y que recorre toda la distancia, medirá 22 pulgadas de largo.

 

 

Ejemplo

Problema

Encontrar el perímetro de un triángulo con lados que miden 6 cm, 8 cm, y 12 cm.

 

P = 6 + 8 + 12

Como todos los lados están medidos en centímetros, sólo sumamos las longitudes de los 3 lados para obtener el perímetro.

Respuesta

P = 26 centímetros

 

 

 

Algunas veces, necesitas usar lo que conoces sobre los polígonos para poder encontrar el perímetro. Veamos el rectángulo del siguiente ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Un rectángulo tiene un largo de 8 centímetros y un ancho de 3 centímetros. Encontrar el perímetro.

 

 

 

P = 3 + 3 + 8 + 8

Como éste es un rectángulo, los lados opuestos tienen la misma longitud, 3 cm y 8 cm. Suma las longitudes de los cuatro lados para encontrar el perímetro.

Respuesta

P = 22 cm

 

 

 

Observa que el perímetro de un rectángulo siempre tiene dos pares de longitudes iguales. En el ejemplo anterior pudiste escribir también P = 2(3) + 2(8) = 6 + 16 = 22 cm. La fórmula para el perímetro de un rectángulo normalmente se escribe como P = 2l + 2w, donde l es el largo del rectángulo y w es el ancho del rectángulo.

 

 

El área de paralelogramos

 

El área de una figura de dos dimensiones describe la cantidad de superficie que cubre la figura. Medimos el área en unidades cuadradas de un tamaño fijo. Ejemplos de unidades cuadradas son pulgadas cuadradas, centímetros cuadrados, o millas cuadradas. Cuando encontramos el área de un polígono, contamos cuántos cuadrados de cierto tamaño cubrirán la región dentro del polígono.

 

Veamos un cuadrado de 4 x 4.

 

 

Puedes contar y obtener 16 cuadrados, entonces el área es de 16 unidades cuadradas. Contar 16 cuadrados no toma mucho tiempo, pero ¿qué pasa si queremos encontrar el área es un cuadrado más grande o las unidades más pequeñas? Podría tomar mucho tiempo contar todos los cuadrados.

 

Afortunadamente, puedes usar la multiplicación. Como hay 4 filas de 4 cuadrados, puedes multiplicar 4 • 4 para obtener 16 cuadrados Y esto puede generalizarse a una fórmula para encontrar el área de un cuadrado de cualquier longitud, s: Área = s • s = s2.

 

 

Puedes escribir “in2” para pulgadas cuadradas y “ft2” para pies cuadrados.

 

Para ayudarte a encontrar el área de muchas categorías distintas de polígonos, los matemáticos han desarrollado fórmulas. Estas fórmulas sirven para encontrar rápidamente la medida en lugar de contar. Las fórmulas que vamos a ver se han desarrollado a partir de contar el número de cuadrados dentro de un polígono. Veamos un rectángulo.

 

 

Puedes contar individualmente los cuadrados, pero es mucho más fácil multiplicar 3 por 5 para encontrar el número más rápido. Y, en general, el área de un rectángulo puede calcularse multiplicando largo por ancho.

 

 

 

 

Ejemplo

Problema

Un rectángulo tiene un largo de 8 centímetros y un ancho de 3 centímetros. Encontrar el área.

 

A = l • w

Empieza con la fórmula para el área de un rectángulo, que multiplica el largo por el ancho.

 

A = 8 • 3

Sustituye 8 por el largo y 3 por el ancho.

Respuesta

A = 24 cm2

Asegúrate de incluir las unidades, en éste caso centímetros cuadrados.

 

 

Se necesitarían 24 cuadrados, cada uno de ellos midiendo 1 cm por lado, para cubrir éste rectángulo.

 

La fórmula para el área de un paralelogramo (recuerda, un rectángulo es un tipo de paralelogramo) es la misma que la del rectángulo: Área = l • w. Observa que en un rectángulo, el largo y el ancho son perpendiculares. Esto debe ser válido también para todos los paralelogramos. Normalmente se usa la Base (b) por la Altura (h) que es la línea perpendicular a la base. Entonces la fórmula para un paralelogramo se escribe, A = b • h.

 

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el área del paralelogramo.

 

 

 

             A = b • h

Empieza con la fórmula para el área de un paralelogramo:

 

Área = basealtura.

 

Sustituye los valores en la fórmula.

 

Multiplica.

Respuesta

El área del paralelogramo es 8 ft2.

 

 

Encuentra el área de un paralelogramo con altura de 12 pies y base de 9 pies.

 

A) 21 ft2

B) 54 ft2

C) 42 ft

D) 108 ft2

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 21 ft2

Incorrecto. Parece que sumaste las dimensiones; recuerda que para encontrar el área, debes multiplicar la base por la altura. La respuesta correcta es 108 ft2.

 

B) 54 ft2

Incorrecto. Parece que multiplicaste la base por la altura y luego dividiste entre 2. Para encontrar el área, debes multiplicar la base por la altura. La respuesta correcta es 108 ft2.

 

C) 42 ft

Incorrecto. Parece que sumaste 12 + 12 + 9 + 9. Esto te daría el perímetro de un rectángulo de 12 por 9. Para encontrar el área, debes multiplicar la base por la altura. La respuesta correcta es 108 ft2.

 

D) 108 ft2

Correcto. La altura del paralelogramo es 12 y la base es 9; el área es 12 por 9, o 108 ft2.

 

 

 

El área de triángulos y trapezoides

 

La fórmula para encontrar el área del triángulo puede explicarse con un triángulo rectángulo. Observa la imagen siguiente — un rectángulo con la misma altura y base del triángulo original. ¡El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo!

 

 

Como el área de los dos triángulos congruentes es la misma que el área del rectángulo, puedes crear la fórmula: Área =  para encontrar el área de un triángulo.

 

Cuando usas la fórmula para el triángulo para encontrar su área, es importante identificar la base y la altura, que es perpendicular a la base.

 

Ejemplo

Problema

Un triángulo tiene una altura de 4 pulgadas y una base de 10 pulgadas. Encontrar el área.

 

 

 

Empieza con la fórmula para el área de un triángulo.

 

Sustituye 10 por la base y 4 por la altura.

 

Multiplica.

Respuesta

A = 20 in2

 

 

 

Ahora veamos un trapezoide. Para encontrar el área de un trapezoide, tomamos la longitud promedio de las dos bases paralelas y multiplicamos por la longitud de la altura: .

 

Un ejemplo se muestra a continuación. Observa que la altura del trapezoide siempre será perpendicular a las bases (de la misma forma cuando encontramos la altura de un paralelogramo).

 

 

Ejemplo

Problema

Encontrar el área del trapezoide.

 

 

 

 

Empieza con la fórmula para el área de un trapezoide.

 

Sustituye 4 y 7 por las bases y 2 por la altura para encontrar A.

Respuesta

El área del trapezoide es 11 cm2.

 

 

Fórmulas para el área

 

Usa las siguientes fórmulas para encontrar las áreas varias figuras.

 

cuadrado: 

 

rectángulo: 

 

paralelogramo: 

 

triángulo: 

 

trapezoide: 

 

 

 

Trabajando con perímetros y áreas

 

Muchas veces necesitas encontrar el área o el perímetro de una figura que no es un polígono estándar. Los artistas y arquitectos, por ejemplo, normalmente tratan con formas complejas. Sin embargo, incluso las formas complejas pueden verse como una composición de formas más pequeñas y menos complicadas, como rectángulos, trapezoides, y triángulos.

 

Para encontrar el perímetro de una figura no estándar, también necesitas encontrar la distancia alrededor de la figura sumando las longitudes de cada lado.

 

Encontrar el área de una figura no estándar es un poco diferente. Necesitas crear regiones dentro de la figura de las cuales puedas encontrar el área, y luego sumar todas las áreas. Observa como se hace..

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el área y el perímetro del polígono.

 

P = 18 + 6 + 3 + 11 + 9.5 + 6 + 6

P = 59.5 cm

Para encontrar el perímetro, suma todas las longitudes de los lados. Empieza desde arriba y continúa alrededor de la figura según las manecillas del reloj.

 

 

Área del Polígono = (Área de A) + (Área de B)

Para encontrar el área, divide el polígono en dos regiones separadas. El área de todo el polígono será igual a la suma de las áreas de las regiones más simples.

 

La región A es un rectángulo. Para encontrar el área, multiplica el largo (18) por el ancho (6).

 

El área de la región A es 108 cm2.

 

La región B es un triángulo. Para encontrar el área, usa la fórmula , donde la base es 9 y la altura es 9.

 

El área de la Región B es 40.5 cm2.

 

108 cm2 + 40.5 cm2 = 148.5 cm2.

Suma ambas regiones.

Respuesta

Perímetro = 59.5 cm

Área = 148.5 cm2

 

 

 

También puedes usar lo que conoces sobre el perímetro el área para resolver problemas con situaciones como comprar una cerca o pintura, o determinar que tan grande es una alfombra para la sala. Aquí tenemos un ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Rosie está plantando en un jardín con las dimensiones mostradas abajo. Quiere poner una capa delgada de aserrín en toda la superficie del jardín. El aserrín cuesta $3 por pie cuadrado. ¿Cuánto dinero necesita para comprarlo?

 

 

 

Esta figura es una combinación de dos figuras más simples: un rectángulo y un trapezoide. Encuentra el área de cada una.

 

Encuentra el área del rectángulo.

 

Encuentra el área del trapezoide.

 

32 ft2 + 44 ft2 = 76 ft2

Suma las medidas.

 

76 ft2 • $3 = $228

Multiplica por $3 para encontrar cuánto va a gastar Rosie.

Respuesta

Rosie gastará $228 para cubrir su jardín con aserrín.

 

 

Encuentra el área de la figura siguiente.

 

 

A) 11 ft2

B) 18 ft2

C) 20.3 ft

D) 262.8 ft2

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 11 ft2

Correcto. Esta figura es un trapezoide, por lo que puedes usar la fórmula  para encontrar el área: .

 

B) 18 ft2

Incorrecto. Parece que multiplicaste 2 por 9 para obtener 18 ft2; esto funcionaría si la figura fuera un rectángulo. Esta figura es un trapezoide, entonces usas la fórmula . La respuesta correcta es 11 ft2.

 

C) 20.3 ft

Incorrecto. Parece que sumaste todas las dimensiones. Esto te daría el perímetro. Para encontrar el área de un trapezoide, usa la fórmula . La respuesta correcta es 11 ft2.

 

D) 262.8 ft2

Incorrecto. Parece que multiplicaste todas las dimensiones. Esta figura es un trapezoide, entonces usas la fórmula . La respuesta correcta es 11 ft2.

 

 

 

Sumario

El perímetro de una figura de dos dimensiones es la distancia alrededor de la figura. Se calcula sumando todos los lados (siempre y cuando tengan las mismas unidades). El área de una figura de dos dimensiones se calcula contando el número de cuadrados que pueden cubrir la figura. Muchas fórmulas han sido desarrolladas para encontrar rápidamente el área de polígonos estándar, como triángulos y paralelogramos.