El teorema de Pitágoras

 

Objetivos de aprendizaje

·         Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.

·         Resolver problemas de aplicación con el Teorema de Pitágoras.

 

Introducción

 

Hace mucho tiempo, un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. A esta propiedad — que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura — se le conoce como Teorema de Pitágoras.

 

Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarnos a saber más sobre la construcción de los triángulos. Y la mejor parte — ni siquiera necesitas hablar Griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.

 

El teorema de Pitágoras

 

Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de derivar su teoría.

 

 

El teorema de Pitágoras

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

 

Esta relación se representa con la fórmula:

 

En el recuadro anterior, habrás notado la palabra “cuadrado,” así como los 2s arriba de las letras en Elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, elevar al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos números comunes elevados al cuadrado se muestran en la siguiente tabla.

 

Número

Número multiplicado por sí mismo

Cuadrado

1

12 = 1 • 1

1

2

22 = 2 • 2

4

3

32 = 3 • 3

9

4

42 = 4 • 4

16

5

52 = 5 • 5

25

10

102 = 10 • 10

100

 

Cuando ves la ecuación , puedes pensar en esto como “la longitud del lado a multiplicada por sí misma, mas la longitud del lado b multiplicada por sí misma es igual a la longitud de c multiplicada por sí misma.”

 

Intentemos el Teorema de Pitágoras con un triángulo.

 

 

El teorema es válido para este triángulo rectángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para todos los triángulos rectángulos.

 

El Teorema de Pitágoras puede también representarse en términos de área. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Puedes ver la ilustración siguiente para el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.

 

 

Observa que el Teorema de Pitágoras sólo funciona para triángulos rectángulos.

 

 

Encontrando la longitud de la hipotenusa

 

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Puesto de otra manera, si conoces las longitudes de a y b, puedes encontrar c.

 

 

En el triángulo anterior, tenemos las medidas de los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.

 

El Teorema de Pitágoras.

Sustituir los valores conocidos para a y b.

Evaluar.

Simplificar. Para encontrar el valor de c, piensa sobre un número que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a 169. ¿Funciona el 10? ¿O el 11? ¿12? ¿13? (Puedes usar una calculadora para multiplicar los números que no son familiares)

13 = c

La raíz cuadrada de 169 es 13

 

Usando la fórmula, puedes encontrar que la longitud de c, la hipotenusa, es 13.

 

En este caso, no conocías el valor de c — tenías el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, y la tuviste que encontrar de ahí. Cuando se te da una ecuación como  y se te pide el valor de c, a esto se le llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Nota que encontraste un número, c, cuya raíz cuadrada fue 169.)

 

Encontrar la raíz cuadrada requiere algo de práctica, pero también toma ventaja de la multiplicación, la división, y un poco de prueba y error. Observa la tabla siguiente.

 

Número x

Número y el cual, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número x

Raíz cuadrada y

1

1 • 1

1

4

2 • 2

2

9

3 • 3

3

16

4 • 4

4

25

5 • 5

5

100

10 • 10

10

 

Es buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, porque son frecuentes en matemáticas. Si puedes recordar estos números — o si puedes usar una calculadora para encontrarlos — calcular las raíces cuadradas será cuestión de recordar.

 

 

¿Para cuál de estos triángulos es ?

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

 

Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es el Triángulo B.

 

B)

 

Correcto. Este es un triángulo rectángulo; cuando sumas los cuadrados de sus catetos, obtienes el cuadrado de su hipotenusa.

 

C)

 

Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es el Triángulo B.

 

D)

 

Incorrecto. Este no es un triángulo rectángulo, por lo que no puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar r. La respuesta correcta es el Triángulo B.

 

 

 

Encontrando la longitud de un cateto

 

Puedes usar la misma fórmula para encontrar la longitud del cateto de un triángulo si te proporcionan las medidas de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el siguiente ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra la longitud del lado a del triángulo siguiente. Usa una calculadora para estimar la raíz cuadrada para una posición decimal.

:U07_L2_T1_tt_img5.png

 

a = ?

b = 6

c = 7

En este triángulo rectángulo, te proporcionan las medidas de la hipotenusa, c, y de un cateto, b. La hipotenusa está siempre opuesta al ángulo recto y siempre es el lado más largo del triángulo

 

Para encontrar la longitud del cateto a, sustituye los valores conocidos en el Teorema de Pitágoras.

 

Resuelve a2. Piensa: ¿Qué número, cuando se le suma 36, resulta en 49?

 

Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada de 13. La calculadora te da la respuesta 3.6055…, que se puede redondear a 3.6 (Como estás aproximando, utilizas el símbolo .)

Respuesta

 

 

 

¿Cuál de las siguientes operaciones utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante, x?

 

 

A)

 

B) x + 8 = 10

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. En este triángulo, sabes que la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) tiene una longitud de 10. Las longitudes de los catetos son 8 y x. La respuesta correcta es .

 

B) x + 8 = 10

Incorrecto. El Teorema de Pitágoras es una relación entre las longitudes de los catetos al cuadrado de un lado. La respuesta correcta es .

 

C)

Correcto. En este triángulo, la hipotenusa tiene una longitud de 10, y los catetos una longitud de 8 y x. Sustituyendo en el Teorema de Pitágoras tenemos: ; esta ecuación es la misma que , o . ¿Qué número, multiplicado por sí mismo, es igual a 36? Eso sería x = 6.

 

D)

Incorrecto. En este triángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a 10 (siempre el lado más largo y opuesto al ángulo rectángulo) no 8. La respuesta correcta es .

 

 

 

Usando el teorema para resolver problemas del mundo real

 

El Teorema de Pitágoras es tal vez una de las fórmulas más usadas que verás en matemáticas porque hay muchas aplicaciones en el mundo real. Los arquitectos e ingenieros usan esta fórmula extensivamente cuando construyen edificios, puentes, y rampas. Observa los siguientes ejemplos.

 

Ejemplo

Problema

Los dueños de una casa quieren convertir los escalones de la entrada en una rampa. El porche mide 3 pies por encima del suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a una distancia de 12 pies de la base del porche. ¿Qué tan larga será la rampa?

 

Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada, y redondea tu respuesta a la décima más cercana.

 

Para resolver un problema como este, es buena idea dibujar un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.

 

:U07_L2_T1_tt_img6.png

 

a = 3

b = 12

c = ?

Identifica los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sabes que el triángulo es rectángulo porque el suelo y la porción del porche son perpendiculares — esto significa que puedes usar el Teorema de Pitágoras para res o ver el problema. Identifica a, b, y c.

 

Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de c.

 

12.4 = c

Usa una calculadora para encontrar c. La raíz cuadrada de 153 es 12.369…, por lo que puedes redondear eso a 12.4.

Respuesta

La rampa medirá 12.4 pies.

 

 

 

Ejemplo

Problema

Un barco tiene una vela con forma de triángulo rectángulo. El lado más largo de la vela mide 17 yardas, y el lado de abajo de la vela mide 8 yardas. ¿Qué tan alta es la vela?

 

Dibuja la imagen para ayudarte a visualizar el problema. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre será el lado más largo, entonces debe ser de 17 yardas. El problema también te dice que el lado inferior del triángulo mide 8 yardas.

 

Aplica el Teorema de Pitágoras.

 

a = 15

15 • 15 = 225, entonces a = 15.

Respuesta

La altura de la vela es 15 yardas.

 

 

Sumario

 

El Teorema de Pitágoras dice que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El teorema se representa con la fórmula . Es decir, si conoces la longitud de dos de los lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado. Recuerda, este teorema sólo funciona para triángulos rectángulos.