Resolviendo problemas de porcentajes

 

Objetivos de aprendizaje

·         Identificar la cantidad, la base, y el porcentaje en problemas de porcentajes.

·         Encontrar el porcentaje desconocido de un problema.

 

Introducción

Los porcentajes son la razón de un número con 100. Son más fáciles de comparar que las fracciones, puesto que siempre tienen el mismo denominador, 100. Una tienda puede ofrecer el 10% de descuento. Lo que ahorras es siempre una porción o fracción del precio, pero un precio más alto significa un descuento más grande. Las tasas de interés de una cuenta de ahorros funcionan de la misma manera. Entre más dinero guardes en tu cuenta, más dinero obtendrás de interés. Es útil entender cómo se calculan estos porcentajes.

 

Partes de un problema de porcentajes

Jeff tiene un cupón para una tienda de guitarras por 15% de descuento en cualquier compra mayor de $100. Quiere comprar una guitarra usada que tienen un precio de $330. Jeff se pregunta cuánto dinero le ahorrará el cupón del precio $220.

 

Los problemas de porcentajes trabajan con tres cantidades: el porcentaje, la cantidad, y la base.

 

Los porcentajes tienen el símbolo de porcentaje (%) o la palabra “porcentaje.” En el problema anterior, 15% es el porcentaje de descuento sobre el precio.

 

La base es la cantidad total. En el problema anterior, el precio total de la guitarra es de $220, que es la base.

 

La cantidad es el número que se relaciona con el porcentaje. Siempre es parte del total. En el problema anterior, la cantidad es desconocida. Como el porcentaje es porcentaje de descuento, la cantidad será la cantidad de descuento del precio.

 

Regresaremos al problema un poco más tarde. Los siguientes ejemplos muestran cómo identificar las tres partes, el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

Ejemplo

Problema

Identifica el porcentaje, la cantidad y la base de éste problema.

¿30 es el 20% de qué número?

 

Porcentaje: El porcentaje es el número con el símbolo %: 20%.

 

Base: La base es la cantidad total, que en éste caso es desconocida.

 

Cantidad: La cantidad basada en el porcentaje es 30.

Respuesta

Porcentaje = 20%

Cantidad = 30

Base = desconocida

 

El problema anterior dice que 30 es una porción de otro número. Eso significa que 30 es la cantidad.

 

Identifica el porcentaje, la cantidad y la base de éste problema:

 

¿Qué porcentaje de 30 es 3?

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

El porcentaje es desconocido, porque el problema pregunta “Qué porcentaje?” La base es el total en la situación, entonces la base es 30. La cantidad es la porción del total, que es 3 en éste caso.

 

 

 

Resolviendo con ecuaciones

Los problemas de porcentajes se pueden resolver escribiendo ecuaciones. Una ecuación utiliza el signo igual (=) para mostrar que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor.

 

Los porcentajes so fracciones, y al igual que las fracciones, cuando encontramos un porcentaje (o fracción, o porción) de otra cantidad, multiplicas.

 

El porcentaje de la base es la cantidad.

 

El porcentaje de la Base es la Cantidad.

 

Porcentaje · Base = Cantidad

 

En los ejemplos siguientes, el valor desconocido es representado con la letra n. El valor desconocido se puede representar con cualquier letra, o con una caja  o con un signo de interrogación.

 

Ejemplo

Problema

Escribe una ecuación que represente el siguiente problema. ¿30 es el 20% de qué número?

 

¿20% de qué número es 30?

Reescribe el problema de la forma “porcentaje de la base es la cantidad.”

 

El porcentaje es:   20%

La base es: desconocida

La cantidad es: 30

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

Porcentaje · Base = Cantidad

     20% ·  n = 30

Escribe la ecuación de porcentaje usando n como la base, que es la cantidad desconocida.

Respuesta

20% · n = 30.

 

 

Una vez que tienes la ecuación, puedes resolverla y encontrar el valor desconocido. Para hacer esto, piensa en la relación entre multiplicar y dividir. Observa los siguientes pares de multiplicación y división, y busca un patrón en cada fila.

 

Multiplicación

División

2 · 3 = 6

6 ÷ 2 = 3

8 · 5 = 40

40 ÷ 8 = 5

7 · 4 = 28

28 ÷ 7 = 4

6 · 9 = 54

54 ÷ 6 = 9

 

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Lo que una hace, la otra lo “deshace.”

 

Cuando tienes una ecuación como 20% · n = 30, puedes dividir 30 entre 20% para encontrar lo desconocido: n =  30 ÷ 20%.

 

Puedes resolver esto escribiendo el porcentaje como un decimal o una fracción y luego dividir.

 

n = 30 ÷ 20% =  30 ÷ 0.20 = 150

 

 

Ejemplo

Problema

¿Qué porcentaje de 72 es 9?

 

Porcentaje: desconocido

Base:     72

Cantidad: 9

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

n · 72 = 9

Escribe la ecuación de porcentaje: Porcentaje · Base = Cantidad. Usa n para el valor desconocido (porcentaje).

 

n = 9 ÷ 72

Divide para deshacer la multiplicación de n veces 72.

 

Divide 9 entre 72 para encontrar el valor de n, el valor desconocido.

 

n = 0.125

 

n = 12.5%

Recorre el punto decimal dos espacios a la derecha para escribir el decimal como un porcentaje.

Respuesta

12.5% de 72 es 9.

 

 

Puedes estimar para saber si la respuesta es razonable. Usa 10% y 20%, que son números cercanos a 12.5%, para ver si te llevan cerca de la respuesta.

 

10% de 72 = 0.1 · 72 = 7.2

20% de 72 = 0.2 · 72 = 14.4

 

Observa que 9 está entre 7.2 y 14.4, entonces 12.5% es razonable ya que está entre 10% y 20%.

 

 

Ejemplo

Problema

¿Cuál es el 110% de 24?

 

Porcentaje:  110%

Base:      24

Cantidad: desconocida

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

110% · 24 = n

Escribe la ecuación de porcentaje: Porcentaje · Base = Cantidad. Usa n para el valor desconocido (porcentaje).

 

1.10 · 24 = n

 

 

 

1.10 · 24 = 26.4 = n

Escribe el porcentaje como un decimal recorriendo el punto decimal dos lugares a la izquierda.

 

Multiplica 24 por 1.10 o 1.1.

Respuesta

26.4 es 110% de 24.

 

 

Este problema es un poco más fácil de estimar. 100% de 24 es 24. Y 110% es un poco más que 24. Entonces, 26.4 es una respuesta razonable.

 

 

¿18 es qué porcentaje de 48?

 

A) 0.375%

B) 8.64%

C) 37.5%

D) 864%

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 0.375%

Incorrecto. Probablemente calculaste bien, pero olvidaste mover el punto decimal cuando reescribiste la respuesta como un porcentaje. La ecuación para éste problema es n · 48 = 18. La división correspondiente es 18 ÷ 48, entonces n = 0.375. Reescribiendo éste decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, 37.5%.

 

B) 8.64%

Incorrecto. Probablemente usaste 18 o 48 como el porcentaje, en lugar de la cantidad y la base. La ecuación para éste problema es n · 48 = 18. La división correspondiente es 18 ÷ 48, entonces n = 0.375. Reescribiendo éste decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, 37.5%.

 

C) 37.5%

Correcto. La ecuación para éste problema es n · 48 = 18. La división correspondiente es 18 ÷ 48, entonces n = 0.375. Reescribiendo éste decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, 37.5%.

 

D) 864%

Incorrecto. Probablemente usaste 18 o 48 como el porcentaje, en lugar de la cantidad y la base, y también olvidaste reescribir el porcentaje como un decimal antes de multiplicar. La ecuación para éste problema es n · 48 = 18. La división correspondiente es 18 ÷ 48, entonces n = 0.375. Reescribiendo éste decimal como un porcentaje da la respuesta correcta, 37.5%.

 

 

 

Usando proporciones para resolver problemas de porcentajes

Los problemas de porcentaje también se pueden resolver escribiendo una proporción. Una proporción es una ecuación que iguala dos razones o fracciones. Con problemas de porcentaje, una de las razones es el porcentaje, escrito como . La otra razón es la cantidad con la base.

 

Porcentaje =

 

Ejemplo

Problema

Escribe una proporción para encontrar la solución a la siguiente pregunta. ¿30 es el 20% de qué número?

 

 =

El porcentaje en éste problema es 20%. Escribe el porcentaje en forma fraccional, con 100 como denominador.

 

El porcentaje se escribe como la razón , la cantidad es 30, y la base es desconocida.

 

 

      20 • n = 30 • 100

20 • n = 3,000

                n = 3,000 ÷ 20

     n = 150

Encuentra el producto cruzado y resuelve el valor desconocido, n, dividiendo 3,000 entre 20.

Respuesta

30 es 20% de 150.

 

 

 

Ejemplo

Problema

¿Qué porcentaje de 72 es 9?

 

 Porcentaje =

 

 

El porcentaje es la razón de n a 100. La cantidad es 9, y la base es 72.

 

n • 72 = 9 • 100

n • 72 = 900

n = 900 ÷ 72

n = 12.5

Encuentra el producto cruzado y resuelve n dividiendo 900 entre 72.

 

 

Respuesta

 

12.5% de 72 es 9.

El porcentaje es = 12.5%.

 

 

Ejemplo

Problema

¿Cuál es el 110% de 24?

 

Porcentaje =

 

 

El porcentaje es la razón . La cantidad es desconocida, y la base es 24.

 

              24 • 110 = 100 • n

 2,640 ÷ 100= n

           26.4 = n

Encuentra el producto cruzado y resuelve n dividiendo 2,640 entre 100.

Respuesta

26.4 es 110% de 24.

 

 

 

¿18 es el 125% de qué número?

 

A) 0.144

B) 14.4

C) 22.5

D)  (o más o menos 694.4)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 0.144

Incorrecto. Probablemente no escribiste una proporción y sólo dividiste 18 entre 125. O, estableciste incorrectamente una fracción como  y la igualaste a la base, n. El porcentaje en éste caso es 125%, por lo que la fracción debe ser . La base es desconocida y la cantidad es 18, entonces la otra fracción es . Resolviendo la proporción  nos da n = 14.4.

 

B) 14.4

Correcto. El porcentaje en éste caso es 125%, por lo que una de las fracciones en la proporción debe ser . La base es desconocida y la cantidad es 18, entonces la otra fracción es . Resolviendo la proporción  nos da n = 14.4.

 

C) 22.5

Incorrecto. Probablemente pusiste la cantidad (18) sobre 100 en la proporción, en lugar de el porcentaje (125). Tal vez pensaste que 18 era el porcentaje y 125 era la base. La fracción correcta del porcentaje para la proporción es . La base es desconocida y la cantidad es 18, entonces la otra fracción es . Resolviendo la proporción  nos da n = 14.4.

 

D)  (o más o menos 694.4)

Incorrecto. Probablemente confundiste la cantidad (18) con el porcentaje (125) cuando estableciste la proporción. La fracción correcta del porcentaje para la proporción es . La base es desconocida y la cantidad es 18, entonces la otra fracción es . Resolviendo la proporción  nos da n = 14.4.

 

 

Volvamos al problema que examinamos al principio. Ahora puedes resolverlo como se muestra en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo

Problema

Jeff tiene un cupón para una tienda de guitarras por 15% de descuento en cualquier compra mayor de $100. Quiere comprar una guitarra usada que tienen un precio de $330. Jeff se pregunta cuánto dinero le ahorrará el cupón del precio $220.

 

¿Cuánto es el 15% de $220?

Simplifica el problema eliminando palabras extra.

 

     Porcentaje: 15%

Base:  220

Cantidad: n

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

15% · 220 = n

Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad

 

0.15 · 220  = 33

Convierte 15% a 0.15, luego multiplica por 220. 15 % de $220 es $33.

Respuesta

El cupón le va a descontar $33 del precio original.

 

 

Puedes estimar y ver si la respuesta es razonable. Como 15% está a la mitad de 10% y 20%, encuentra esos números.

 

10% de 220 = 0.1 · 220 = 22

20% de 220 = 0.2 · 220 = 44

 

La respuesta, 33, está entre 22 y 44. Por lo que $33 parece razonable.

 

Existen muchas otras situaciones que tratan con porcentajes. A continuación se muestran algunas.

 

Ejemplo

Problema

Evelyn compró algunos libros en la librería local. La cuenta total fue de $31.50, que incluye el 5% de impuesto. ¿Cuánto costaron los libros antes de impuestos?

 

¿Qué número + 5% de dicho número es $31.50?

 

¿105% de qué número es = 31.50?

En éste problema, sabes que el impuesto de 5% se añade al costo de los libros. Entonces si el costo de los libros es 100%, el costo más el impuesto es 105%.

 

Porcentaje: 105%

             Base: n

Cantidad: 31.50

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

105% · n = 31.50

Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad

 

1.05 · n = 31.50

Convierte 105% a decimales.

 

n = 3.50 ÷ 1.05 = 30

Divide para deshacer la multiplicación n veces 1.05.

Respuesta

Los libros costaron $30 antes de impuestos.

 

 

Ejemplo

Problema

Susana trabajó 20 horas la semana pasada. Ésta semana, trabajó 35 horas. En términos de porcentaje, ¿cuánto trabajó de más ésta semana con respecto a la semana pasada?

 

¿35 es qué porcentaje de 20?

Simplifica el problema eliminando palabras extra.

 

Porcentaje: n

                Base: 20

Cantidad: 35

Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad.

 

n · 20 = 35

Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad

 

n = 35 ÷ 20

Divide para deshacer la multiplicación n veces 20.

 

n = 1.75 = 175%

Convierte 1.75 a porcentaje

Respuesta

Como 35 es 175% de 20, Susana trabajó 75% más ésta semana que la semana pasada. (Puedes pensar en esto como que “Susana trabajó 100% de las horas que trabajó la semana pasada, y además 75% extra.”)

 

 

Sumario

 

Los problemas de porcentajes tienen tres partes: el porcentaje, la base (el total), y la cantidad. Cualquiera de estas partes podría ser un valor desconocido que hay que encontrar. Para resolver problemas de porcentajes, puedes usar la ecuación, Porcentaje · Base = Cantidad, y resolver los valores desconocidos. O, puedes establecer una proporción, Porcentaje = , donde el porcentaje es la razón de un número y 100. Luego puedes usar el producto cruzado para resolver la proporción.