Fracciones y decimales

 

Objetivos de aprendizaje

·         Leer y escribir números en notación decimal.

·         Escribir decimales como fracciones.

·         Escribir fracciones como decimales.

 

 

Además de la notación en fracciones, la notación decimal es otra manera de escribir números entre 0 y 1. Los decimales también se pueden usar para escribir números entre cualquier otro par de números enteros. Por ejemplo, podrías escribir un cheque por $2,003.38. O, al medir una habitación, podrías toparte con que su longitud es un número entre dos números enteros, como 35.24 pies. En ésta sección veremos cómo leer y escribir números decimales, y reescribirlos como fracciones.

 

Para leer y escribir números escritos en notación decimal, necesitas conocer el valor de posición de cada dígito, es decir, el valor de un dígito basado en su posición dentro del número. Es igual que con números decimales, donde la posición de un numeral en relación con el punto decimal determina su valor de posición. Por ejemplo, el valor de posición del 4 en 45.6 es en el lugar de las decenas mientras que el valor de posición del 6 en 45.6 es en el lugar de las décimas.

 

Los números decimales son números cuyo valor de posición se basa en 10s. Los números enteros son en realidad números decimales que son mayores o iguales a cero. La tabla de los valores de posición puede extenderse para incluir los números menores que uno, que a veces son llamados fracciones decimales. Se usa un punto decimal para separar la parte del número entero y la parte del número fraccionario.

 

Digamos que estas midiendo la longitud de una calle y obtienes la medida de 745 pies. Llamarías éste número setecientos cuarenta y cinco. Después, una medición más exacta muestra que mide 745.36 pies. Pongamos éste número en la tabla de valores de posición.

Lo que quieres examinar ahora son los valores de posición de la parte decimal, que están subrayados en la tabla siguiente.

 

 

 

 

Nota cómo los nombres de valor de posición inician a partir del punto decimal. A la izquierda del punto decimal están las unidades, las decenas y las centenas, donde pones los dígitos que representan a los números enteros que son mayores o iguales que cero. A la derecha del punto decimal están las décimas y las centésimas, donde pones los dígitos que representan números que son fracciones de uno, número que son mayores que cero y menores que uno.

 

 

Repitiendo, el valor de posición de un número depende de qué tan lejos esta del punto decimal, Esto es evidente en la tabla siguiente, donde cada número tiene el dígito “4” ocupando un valor de posición diferente.

 

 

 

Imagina que un globo aerostático se desinfla, el volumen del aire fa de 1,000 litros, a 100 litros, a 10 litros, a 1 litro. Observa que estás dividiendo el valor de posición por decenas al moverte hacia la derecha, Divides 100 entre 10 para obtener el valor de las decenas. Esto es porque hay 10 decenas en 100, Luego, divides 10 entre 10 para obtener el valor de las unidades, porque hay 10 unidades en 10.

 

Ahora, supongamos que el globo continúa perdiendo volumen, yendo de 1 litro, a 0.1 litros, a 0.01 litros y luego a 0.001 litros. Observa que continúas dividiendo entre 10 cuando te mueves a los decimales. Divides 1 entre 10 () para obtener el valor de las décimas, lo que es básicamente partir uno en 10 piezas. Y para obtener el valor de las centésimas, partes una décima en otras 10 piezas, lo que resulta en la fracción . La relación entre decimales y fracciones se resume en la tabla siguiente.

 

 

 

Considera un número con más dígitos: Un pescador tiene una red llena de pescados que pesa 1,357.924 kilos. Para escribir éste número, necesitas usar el lugar de los millares, que está formado de 10 centenas. También necesitas usar el lugar de las milésimas, que son 1/10 de una centésima. En otras palabras, hay diez milésimas en una centésima.

 

 

 

Como puedes observar, yendo desde el punto decimal a la izquierda están las unidades, las decenas, las centenas, los millares, etc. Éste es el “lado sin ésimas” que son los números mayores o iguales a 1. Moviéndose desde el punto decimal hacia la derecha están las décimas, las centésimas, las milésimas. Éste es el “lado con ésimas” que son los números menores que 1.

1,   3   5   7  . 9   2   4

    lado sin ésimas         lado con ésimas

 

El patrón que va a la derecha o a la izquierda del punto decimal es el mismo – pero hay dos diferencias importantes:   1.      Los valores de posición a la derecha del punto decimal terminan en “ésimas”. 2.      No hay “unésimas.” De tu trabajo con fracciones, sabes que 5 y  son lo mismo.

 

 

 

 

¿Cuál es el valor de posición del 7 en 324.2671?   A) millares   B) milésimas   C) centenas   D) centésimas   Mostrar/Ocultar Respuesta A) millares Incorrecto. El dígito 7 está a la derecha del punto decimal, lo que significa que es menor que uno y en el lado de las ésimas. La respuesta correcta es milésimas.   B) milésimas Correcto. El dígito 7 está a tres lugares decimales a la derecha del punto decimal, lo que significa que está en el lugar de las milésimas.   C) centenas Incorrecto. El dígito 7 está a tres lugares decimales a la derecha del punto decimal, lo que significa que está en el lugar de las milésimas.   D) centésimas Incorrecto. El dígito 7 está a tres lugares decimales a la derecha del punto decimal, lo que significa que está en el lugar de las milésimas.

 

 

 

La forma más fácil de leer un número decimal es leer la fracción decimal como una fracción. (Aunque no debes simplificar la fracción.) Supongamos que tienes 0.4 gramos de yogurt en una taza. Dirías, “4 décimas de gramo de yogurt” porque el 4 está en el lugar de las décimas.

 

Observa que el denominador de la fracción escrito en forma de fracción siempre es una potencia de 10, y el número de ceros en el denominador es el mismo que el número de posiciones decimales a la derecha del punto decimal. Mira los ejemplos en la tabla siguiente.

 

 

Observa que 0.5 tiene un lugar decimal. Su fracción equivalente, , tiene un denominador de 10 — que es un 1 seguido de un cero. En general, cuando conviertes decimales a fracciones, el denominador es siempre 1, seguido del número de cero que corresponden al número de posiciones decimales en el número original.

 

Otra forma de determinar qué número poner en el denominador es usar el valor de posición del último dígito sin la parte “ésima”. Por ejemplo, si el número es 1.458, el 8 está en el lugar de las milésimas. Quita el “ésimas” y te quedan “mil”, por lo que el número se escribe como  .

 

 

 

 

Recuerda que un número mixto es la combinación de un número entero y una fracción. En el caso de un decimal, un número mixto es también una combinación de un número entero y una fracción, donde la fracción se escribe como una fracción decimal.

 

Para leer números mixtos, di el número entero, seguido de la palabra “punto” (representando el punto decimal), y el número a la derecha del punto decimal, seguido del nombre y el valor de posición del último dígito. Observa el diagrama siguiente, en el que el último dígito está en el lugar de las diez milésimas.

 

 

 

 

Otra manera de pensar en esto es con dinero. Supongamos que pagas $15,264.25 por un carro. Leerías esto como quince mil dos cientos sesenta y cuatro dólares con veinticinco centavos. En éste caso, los “centavos” significan “centésimas de dólar,” por lo que es lo mismo que decir quince mil dos cientos sesenta y cuatro punto veinticinco. Algunos ejemplos se muestran en la tabla siguiente.

 

 

 

 

 

 

 

Escribe 2.364 con palabras.     A) dos punto tres cientos sesenta y cuatro centésimas   B) dos punto tres cientos sesenta y cuatro milésimas   C) dos mil tres cientos sesenta y cuatro   D) tres cientos sesenta y cuatro punto dos   Mostrar/Ocultar Respuesta A) dos punto tres cientos sesenta y cuatro centésimas Incorrecto. No indicaste bien el lugar decimal. La respuesta correcta es dos punto tres cientos sesenta y cuatro milésimas.   B) dos punto tres cientos sesenta y cuatro milésimas Correcto. 2.364 es lo mismo que , por lo que además del número 2 tienes tres cientos sesenta y cuatro milésimas.   C) dos mil tres cientos sesenta y cuatro Incorrecto. Ignoraste el punto decimal. La respuesta correcta es dos punto tres cientos sesenta y cuatro milésimas.   D) tres cientos sesenta y cuatro punto dos Incorrecto. No indicaste el lugar decimal correctamente, y el número entero debe mencionarse antes de la parte decimal. La respuesta correcta es dos punto tres cientos sesenta y cuatro milésimas.

 

 

Como vimos anteriormente, cada decimal puede escribirse como una fracción. Para convertir un decimal a una fracción, coloca el número antes del punto decimal en el numerador de la fracción y escribe el número 10, 100, o 1,000, u otra potencia de 10 en el denominador. Por ejemplo, 0.5 se escribiría como . Notarás que es una fracción que puede simplificase, ya que  se reduce a , que es la respuesta final.

 

Vamos a familiarizarnos con la relación entre posiciones decimales y ceros en el denominador estudiando algunos ejemplos. Observa que en cada ejemplo, el número de posiciones decimales es distinto.

 

 

Veamos un ejemplo en el que un número con dos posiciones decimales se escribe como una fracción

 

 

Ahora, examinemos cómo se hace en el ejemplo siguiente con dígitos en tres posiciones decimales

 

 

 

Puedes escribir una fracción como un decimal incluso cuando hay ceros a la derecha del punto decimal. Aquí hay un ejemplo en el que el único dígito mayor que cero está en el lugar de las milésimas.

 

 

 

Cuando escribes decimales mayores que 1, sólo necesitas cambiar la parte decimal a una fracción y conservar el número entero. Por ejemplo, 6.35 puede escribirse como 6 .

 

 

 

Escribe 0.25 como una fracción.   A) B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente pusiste el dígito de las décimas en el numerador, y el dígito de las centésimas en el denominador. La respuesta correcta es .   B) Correcto. El número 0.25 puede escribirse como , lo que se simplifica a .   C) Incorrecto. Probablemente confundiste el numerador y el denominador. La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. Probablemente pusiste el dígito de las décimas en el lugar del denominador, y el dígito de las centésimas en el lugar del numerador. La respuesta correcta es .

 

 

 

Del mismo modo que puedes escribir un decimal como una fracción, cada fracción puede escribirse como un decimal. Para escribir una fracción como un decimal, divide el numerador (arriba) de la fracción por el denominador (abajo) de la fracción. Usa la división larga si es necesario, y fíjate en dónde poner el punto decimal en tu respuesta. Por ejemplo, para escribir  como un decimal, divide 3 entre 5, lo que resulta en 0.6.

 

 

Observa que también pudiste haber pensado en el problema así: , y luego resolver ?. Una manera de plantear éste problema es que 10 es cinco veces mayor que 2, entonces ? tendrá que ser también 5 veces mayor que 1. ¿Qué número es 5 veces mayor que 1? Cinco, entonces la solución es .

 

Ahora veamos un problema más complejo, donde el dígito final de la respuesta está en el lugar de las milésimas.

 

 

Convertir fracciones a decimales a veces resulta en respuestas con números decimales que se repiten. Por ejemplo, se convierte en 0.666, un decimal repetido, en el que el número 6 se repite indefinidamente. Lo puedes escribir como , con una barra sobre el primer dígito decimal que indica que el 6 se repite. Observa el siguiente ejemplo de un problema en el que dos dígitos consecutivos se repiten.

 

 

Con números mayores que 1, conserva el número entero del número mixto como un número entero en el decimal. Luego usa la división larga para convertir la parte fraccional. Por ejemplo,  puede escribirse como 2.15.

 

 

 

Consejos para convertir fracciones a decimales   Para escribir una fracción como decimal, divide el numerador (arriba) de la fracción entre el denominador (abajo) de la fracción.   En el caso de decimales repetidos, escribe el dígito o dígitos repetidos con una barra sobre él. Por ejemplo, 0.333 se puede escribir como .

 

 

 

La notación decimal es otra manera de escribir números que son menores que 1 o que combinan números enteros con fracciones decimales, a veces llamados números mixtos. Cuando escribes números en notación decimal, puedes usar la tabla de valores de posición que incluye posiciones para número menores que uno. Puedes escribir números en notación fraccionaria (fracciones) en notación decimal (decimales), y puedes escribir decimales como fracciones. Siempre puedes convertir den notación fraccional a notación decimal.