Introducción a los logaritmos naturales y comunes

 

Objetivos de aprendizaje

·         Usar una calculadora para encontrar algoritmos o potencias de base e.

·         Graficar funciones exponenciales y logarítmicas de base e.

·         Encontrar logaritmos de base distinta de e o 10 usando la fórmula de cambio de base.

 

 

En las funciones exponenciales y logarítmicas, cualquier número puede ser la base. Sin embargo, hay dos bases que se usan tan frecuentemente en las matemáticas que tienen nombres especiales para sus logaritmos, ¡y las calculadoras científicas tienen teclas especiales para ellos! Estos son los logaritmos comunes y los logaritmos naturales.

 

 

Un logaritmo común es cualquier logaritmo con base 10. Recuerda que nuestro sistema numérico es base 10; hay diez dígitos del 0-9 y el valor de posición se determina en grupos de diez. Puedes recordar un “logaritmo común,” entonces, como un logaritmo cuya base es nuestra base “común”, 10.

 

Los logaritmos naturales son distintos a los algoritmos comunes. Mientras que la base de los logaritmos comunes es 10, la base de un logaritmo natural es el número especial e. Si bien esto parece una variable, representa un número irracional aproximadamente igual a 2.718281828459. (Como pi, continúa sin un patrón repetido en sus dígitos.) e también se llama número de Euler o constante de Napier y se escogió la letra e en honor del matemático Leonhard Euler (pronunciado oiler).

 

e es un número complicado pero interesante. Veámoslos más de cerca a través del lente de una fórmula que ya has visto antes: interés compuesto.

 

La fórmula del interés compuesto es , donde A es la cantidad de dinero después de t años, P es el principal o inversión inicial, r es la tasa de interés anual (expresada como decimal, no como porcentaje), m es el número de periodos compuestos en un año y t es el número de años.

 

Imagina qué pasa cuando el compuesto sucede frecuentemente. Si el interés es compuesto anualmente, entonces m = 1. Si el compuesto es mensual, entonces m = 12. El compuesto diario se representaría por m = 365; por cada hora sería m = 8,760. Puedes ver que al aumentar la frecuencia de los periodos compuestos, el valor de m aumenta rápidamente. ¡Imagina el valor de m si el interés fuera compuesto cada minuto o cada segundo!

 

Incluso puedes ir más allá de un segundo y eventualmente obtener un compuesto continuamente. Observa los valores en esta tabla, que se parece mucho a la expresión multiplicada por P en la fórmula anterior. Conforme x aumenta, la expresión se parece cada vez más a un compuesto continuo.

 

 

Observa que si bien x aumenta mucho (multiplicándose por 10 cada vez), el valor de  no aumenta tan rápido. De hecho, se acerca cada vez más y más a 2.718281828459…o el valor que ahora llamamos e.

 

La función f(x) = e^x tiene muchas aplicaciones en economía, negocios y biología. e es un número importante por esta razón.

 

 

Las calculadores científicas y las graficadoras tienen teclas que te ayudan a trabajar con e. Busca en tu calculadora y encuentra la tecla etiquetada como “e” o “exp.” (Algunas calculadoras graficadoras podrían requerir que uses el menú para encontrar e. Si no puedes ver la tecla, consulta tu manual o pregunta a tu instructor.)

 

La manera de evaluar expresiones exponenciales usando e (como e³) depende de tu calculadora. En algunas calculadoras presionas la tecla [e^x] y luego el exponente y presionas la tecla enter. En otras primero escribes el exponente y luego presionas la tecla [e^x]. Es importante que sepas cómo funciona tu calculadora. Con tu calculadora trata de encontrar e³. El resultado debe ser 20.0855369… (la cantidad de dígitos desplegados también depende de tu calculadora).

 

 

 

 

Puedes encontrar potencias de 10 (la base común) de la misma manera. Algunas calculadoras tienen la tecla [10^] o [10^x] que puedes usar para las potencias de 10. Otra manera de encontrar potencias de 10 es usar la tecla [x^y] o [y^x] que sirve para cualquier base (aunque si usas este método, tienes que introducir dos números, la base, 10 y el exponente al que la quieres elevar).

 

 

 

 

Los logaritmos naturales (usando e como base) y los logaritmos comunes (usando 10 como base) también están disponibles en las calculadoras científicas y graficadoras. Cuando un logaritmo se escribe sin base, debes asumir que es base 10. Por ejemplo:

 

log 100 = log₁₀100 = 2

 

Los logaritmos naturales también tienen su propio símbolo: ln.

 

ln 100 = log_e100 = 4.60517…

 

Las teclas de los logaritmos normalmente son más fáciles de encontrar, pero podrían funcionar de manera distinta en una calculadora que en otra. La mayoría de las calculadoras científicas requieren que teclees primero la entrada y luego presiones la tecla [log] (común) o [ln] (natural). Otras calculadoras funcionan al revés; presiona la tecla [log] o [ln] y luego teclea la entrada y presiona [Enter] o [=].

 

En tu calculadora, encuentra la tecla del logaritmo común ([log] o [log₁₀]) y la tecla del logaritmo natural ([ln]) y verifica que ln 100 = log_e100 = 4.60517….

 

 

 

 

 

 

Usa una calculadora para calcular ln 7.   A) 0.845098… B) 1.945910… C) 1096.633… D) 10,000,000   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 0.845098… Incorrecto. Encontraste el valor de log 7, esto es, log107. La respuesta correcta es 1.945910….   B) 1.945910… Correcto. Identificaste correctamente las teclas de tu calculadora y encontraste el logaritmo natural de 7.   C) 1096.633… Incorrecto. Encontraste el valor de e7. La respuesta correcta es 1.945910….   D) 10,000,000 Incorrecto. Encontraste el valor de 107. La respuesta correcta es 1.945910….

 

 

 

Graficar funciones con la base e no es diferente de graficar cualquier otra función exponencial o logarítmica: Crea una tabla de valores, grafica los puntos y conéctalos con una curva suave. Puedes usar una calculadora cuando crees la tabla.

 

 

 

 

El mismo proceso funciona para las funciones logarítmicas. Escoge valores de x y usa una calculadora para encontrar los valores de y.

 

 

 

 

Algunas veces las entradas del logaritmo o el exponente en la base, serán más complicadas que sólo una variable. En esos casos, asegúrate de usar la entrada correcta en la calculadora.

 

Nota: Si tu calculadora usa el método “entrada al final” para los logaritmos, debes calcular la entrada separadamente y escribirla o usar paréntesis para asegurarte de que has tecleado correctamente. Por ejemplo, cuando calculas el log(3x) con x = 4, la respuesta correcta es 1.079. Si no usas los paréntesis, la calculadora encontrara log 3 y multiplicará por 4 para obtener 1.908… .

 

 

 

 

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a f(x) =e0.5x?   A)                                                                     B)           C)                                                                    D)             Mostrar/Ocultar Respuesta A)   Incorrecto. Esta es una gráfica lineal. En realidad es f(x) = (e0.5)x. La repuesta correcta es la Gráfica C.   B)   Incorrecto. Esta gráfica decrece, mientras que f(x) = e0.5x aumenta. La repuesta correcta es la Gráfica C.   C)   Correcto. Esta gráfica muestra f(x) =e0.5x.   D)   Incorrecto. Esta es la gráfica de f(x) = ln(0.5x). La repuesta correcta es la Gráfica C.

 

 

 

Ahora sabes cómo encontrar logaritmos de base 10 y base e de cualquier número. ¿Qué si quisieras calcular log₇36? Convirtiendo a una ecuación exponencial, tienes 7^x = 36. Sabes que 7¹ es 7 y 7² es 49, por lo que puedes deducir que x debe estar entre 1 y 2, probablemente muy cerca de 2. Pero ¿cuál escoger? No tienes una tecla para la base 7, por lo que debes usar la fórmula de cambio de base para cambiar de una función log a otra base.

 

Fórmula de cambio de base

 

Observa que a aparece como la base en ambos logaritmos en el lado derecho de la fórmula. Por ejemplo,, usando una nueva base de 10. Podrías decir también o incluso . Por supuesto, la última no es más fácil de calcular que la expresión original, pero usando la teclas [log] o [ln] en la calculadora, puedes usar  o  para encontrar log₇ 36.

 

 

Si hubieras usado logaritmos naturales, habrías obtenido el mismo resultado:

 

 

 

 

Encontrar log5 200.   A) 40 B) 0.303… C) 3.292… D) 2.301…   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 40 Incorrecto. Encontraste el valor de 200 ÷ 5. La respuesta correcta es 3.292….   B) 0.303… Incorrecto. Cuando usas la fórmula de cambio de base, el log de la base original es el denominador: . La respuesta correcta es 3.292….   C) 3.292… Correcto.   D) 2.301… Incorrecto. Encontraste el valor de log 200. La respuesta correcta es 3.292….

 

 

Los logaritmos comunes (base 10, escritos como log x sin base) y los logaritmos naturales (base e, escritos como ln x) se usan muy a menudo. Las calculadoras científicas y graficadoras tienen teclas o elementos de menú que te permiten encontrar fácilmente log x y ln x, así como 10^x y e^x. Usando estas teclas y la fórmula de cambio de base, puedes encontrar logaritmos de cualquier base.